- Ce este o funcție omografică?
- Funcție omografică mixtă
- Chiar și a noua rădăcină a funcției omografice
- Logaritmul funcției omografice
- Cum să graficăm o funcție omografică?
- Imobiliar
- Asimptot vertical
- Asimptot orizontal
- Interval de creștere
- Scaderea intervalului
- Y intersecție
- Exemple
- Exercitiul 1
- Exercițiul 1.2
- Exercițiul 2
- Referințe
Funcția omografice sau ng rațional este un tip de funcție matematică constă din diviziunea polinomiale două componente. Se supune formei P (x) / Q (x), unde Q (x) nu poate lua o formă nulă.
De exemplu, expresia (2x - 1) / (x + 3) corespunde unei funcții omografice cu P (x) = 2x - 1 și Q (x) = x + 3.
Sursa: pixabay.com
Funcțiile omografice constituie o secțiune de studiu a funcțiilor analitice, fiind tratată din abordarea grafică și din studiul domeniului și intervalului. Acest lucru se datorează restricțiilor și motivelor care trebuie aplicate pentru rezoluțiile dvs.
Ce este o funcție omografică?
Sunt expresii raționale ale unei singure variabile, deși acest lucru nu înseamnă că nu există o expresie similară pentru două sau mai multe variabile, unde ar fi deja în prezența unor corpuri în spațiu care respectă aceleași tipare ca funcția omografică în plan.
Au rădăcini reale în unele cazuri, dar existența asimptotelor verticale și orizontale este întotdeauna menținută, precum și intervale de creștere și scădere. În mod obișnuit, doar una dintre aceste tendințe este prezentă, dar există expresii capabile să arate atât în dezvoltarea lor.
Domeniul său este restricționat de rădăcinile numitorului, deoarece nu există diviziune cu zero de numere reale.
Funcție omografică mixtă
Ele sunt foarte frecvente în calcul, în special diferențiale și integrale, fiind necesare pentru a deriva și anti-derivate sub formule particulare. Unele dintre cele mai comune sunt enumerate mai jos.
Chiar și a noua rădăcină a funcției omografice
Excludeți toate elementele domeniului care fac ca argumentul să fie negativ. Rădăcinile prezente în fiecare randament polinomial valori de zero atunci când sunt evaluate.
Aceste valori sunt acceptate de radical, deși trebuie luată în considerare restricția fundamentală a funcției omografice. În cazul în care Q (x) nu poate primi valori nule.
Soluțiile intervalelor trebuie interceptate:
Pentru a obține soluția intersecțiilor, se poate utiliza, printre altele, metoda semnului.
Logaritmul funcției omografice
De asemenea, este comună găsirea ambelor expresii într-una, printre alte combinații posibile.
Cum să graficăm o funcție omografică?
Funcțiile omografice corespund grafic cu hiperbolele din plan. Care sunt transportate orizontal și vertical în funcție de valorile care definesc polinoamele.
Există mai multe elemente pe care trebuie să le definim pentru a grafic o funcție rațională sau omografică.
Imobiliar
Primul va fi rădăcinile sau zerourile funcțiilor P și Q.
Valorile obținute vor fi notate pe axa x a graficului. Indicarea intersecțiilor graficului cu axa.
Asimptot vertical
Ele corespund liniilor verticale, care demarcează graficul în funcție de tendințele pe care le prezintă. Acestea ating axa x la valorile care fac numitorul zero și nu vor fi niciodată atinse de graficul funcției omografice.
Asimptot orizontal
Reprezentată de o linie de cusătură orizontală, demarcează o limită pentru care funcția nu va fi definită la punctul exact. Tendințele vor fi observate înainte și după această linie.
Pentru a o calcula trebuie să recurgem la o metodă similară cu metoda lui L’Hopital, folosită pentru a rezolva limitele funcțiilor raționale care tind spre infinit. Trebuie să luăm coeficienții celor mai înalte puteri din numărător și numitor al funcției.
De exemplu, următoarea expresie are un asimptot orizontal la y = 2/1 = 2.
Interval de creștere
Valorile ordonate vor avea tendințe marcate pe grafic datorită asimptotelor. În cazul creșterii, funcția va crește în valori, deoarece elementele domeniului sunt evaluate de la stânga la dreapta.
Scaderea intervalului
Valorile ordonate vor scădea pe măsură ce elementele de domeniu sunt evaluate de la stânga la dreapta.
Salturile găsite în valori nu vor fi luate în considerare deoarece crește sau scade. Acest lucru se întâmplă atunci când graficul este aproape de un asimptot vertical sau orizontal, unde valorile pot varia de la infinit la infinit negativ și invers.
Y intersecție
Setând valoarea lui x la zero, găsim interceptarea cu axa ordonată. Acestea sunt date foarte utile pentru obținerea graficului funcției raționale.
Exemple
Definiți graficul următoarelor expresii, găsiți rădăcinile lor, asimptote verticale și orizontale, intervale de creștere și scădere și intersecție cu axa ordonată.
Exercitiul 1
Expresia nu are rădăcini, deoarece are o valoare constantă în numărător. Restricția care va fi aplicată va fi x diferită de zero. Cu asimptot orizontal la y = 0, și asimptot vertical la x = 0. Nu există puncte de intersecție cu axa y.
Se observă că nu există intervale de creștere chiar cu saltul de la minus la plus infinit la x = 0.
Intervalul de scădere este
ID: (-∞; o) U (0, ∞)
Exercițiul 1.2
2 polinoame sunt observate ca în definiția inițială, deci procedăm conform etapelor stabilite.
Rădăcina găsită este x = 7/2, care rezultă din setarea funcției egală cu zero.
Asimptotul vertical este la x = - 4, care este valoarea exclusă din domeniu de condiția funcțională rațională.
Asimptotul orizontal este la y = 2, aceasta după divizarea 2/1, coeficienții variabilelor de gradul 1.
Are o interceptare y = - 7/4. Valoarea găsită după echivalarea x cu zero.
Funcția este în continuă creștere, cu un salt de la plus la minus la infinit în jurul rădăcinii x = -4.
Intervalul său de creștere este (-∞, - 4) U (- 4, ∞).
Atunci când valoarea x se apropie de minus infinit, funcția ia valori apropiate de 2. La fel se întâmplă și când x se apropie de mai mult de infinit.
Expresia se apropie de infinit atunci când se evaluează la - 4 de la stânga și minus infinit atunci când se evaluează la - 4 de la dreapta.
Exercițiul 2
Se observă graficul următoarei funcții omografice:
Descrieți comportamentul, rădăcinile, asimptotele verticale și orizontale, intervalele de creștere și scăderea și intersecția cu axa ordonată.
Numitorul expresiei ne spune prin factorizarea diferenței de pătrate (x + 1) (x - 1) valorile rădăcinilor. În acest fel, ambele asimptote verticale pot fi definite ca:
x = -1 și x = 1
Asimptotul orizontal corespunde axei abscisei, deoarece cea mai mare putere se află în numitor.
Singura sa rădăcină este definită de x = -1/3.
Expresia scade întotdeauna de la stânga la dreapta. Se apropie de zero când se apropie de infinit. Minus infinit pe măsură ce te apropii -1 de la stânga. Un infinit în plus, pe măsură ce se apropie -1 de la dreapta. Mai puțin infinit când se apropie 1 de la stânga și mai infinit când se apropie 1 de la dreapta.
Referințe
- Apropierea cu funcțiile raționale. Donald J. Newman. American Mathematical Soc., 31 dec. 1979
- Funcții raționale ortogonale. UNIVERSIDAD DE LA LAGUNA TENERIFE ADHEMAR BULTHEEL, Adhemar Bultheel, Pablo Gonzalez-Vera, Erik Hendriksen, Olav Njastad. Cambridge University Press, 13 febr. 1999
- Apropierea rațională a funcțiilor reale. PP Petrushev, Vasil Atanasov Popov. Cambridge University Press, 3 mar. 2011
- Funcții algebrice. Gilbert Ames Bliss. Curier Corporation, 1 ian 2004
- Journal of the Spanish Mathematical Society, Volumes 5-6. Societatea Spaniolă de Matematică, Madrid 1916