- Cum faci o funcție bijectivă?
- Injectivitatea unei funcții
- Suriectivitatea unei funcții
- Condiționarea funcției
- Exemple: exerciții rezolvate
- Exercitiul 1
- Exercițiul 2
- Exercițiul 3
- Exercițiul 4
- Exerciții propuse
- Referințe
O funcție bijectivă este cea care îndeplinește dubla condiție de a fi injectiv și surjectiv . Adică, toate elementele domeniului au o singură imagine în codomain și, la rândul său, codomainul este egal cu rangul funcției ( R f ).
Se îndeplinește luând în considerare o relație unu la unu între elementele domeniului și codomain. Un exemplu simplu este funcția F: R → R definită de linia F (x) = x
Sursa: Autor
Se observă că pentru fiecare valoare a domeniului sau setului de pornire (ambii termeni se aplică în mod egal) există o singură imagine în setul de codomain sau de sosire. În plus, nu există niciun element al codomainului decât imaginea.
În acest fel F: R → R definit de linia F (x) = x este bijectivă
Cum faci o funcție bijectivă?
Pentru a răspunde la acest lucru, este necesar să fie clare cu privire la conceptele legate de injectivitatea și Overjectivity unei funcții , precum și a criteriilor de funcții de condiționare, pentru a le adapta la cerințele.
Injectivitatea unei funcții
O funcție este injectivă atunci când fiecare dintre elementele domeniului său este legat de un singur element al codomainului. Un element al codomainului poate fi doar imaginea unui singur element al domeniului, în acest fel valorile variabilei dependente nu pot fi repetate.
Pentru a considera o funcție injectivă , trebuie îndeplinite următoarele:
∀ x 1 ≠ x 2 ⇒ F (x 1 ) ≠ F (x 2 )
Suriectivitatea unei funcții
O funcție este clasificată ca surjectivă dacă fiecare element al codomainului său este o imagine a cel puțin unui element al domeniului.
Pentru a lua în considerare o funcție sugestivă , trebuie îndeplinite următoarele:
Fie F: D f → C f
∀ b ℮ C f E a ℮ D f / F (a) = b
Aceasta este modalitatea algebrică de a stabili că pentru fiecare „b” care aparține lui C f există o „a” care aparține lui D f astfel încât funcția evaluată în „a” să fie egală cu „b”.
Condiționarea funcției
Uneori, o funcție care nu este bijectivă poate fi supusă anumitor condiții. Aceste condiții noi îl pot face o funcție bijectivă. Sunt valabile toate tipurile de modificări ale domeniului și codomainului funcției, unde obiectivul este să îndeplinească proprietățile injectivității și surjectivității în relația corespunzătoare.
Exemple: exerciții rezolvate
Exercitiul 1
Fie ca funcția F: R → R să fie definită de linia F (x) = 5x +1
A:
Se observă că pentru fiecare valoare a domeniului există o imagine în codomain. Această imagine este unică ceea ce face din F o funcție injectivă . În același mod, observăm că codomainul funcției este egal cu rangul acesteia. Îndeplinind astfel condiția de surjectivitate .
Fiind injectivi și injectivi în același timp, putem concluziona
F: R → R definit de linia F (x) = 5x +1 este o funcție bijectivă.
Aceasta se aplică tuturor funcțiilor liniare (funcții al căror grad cel mai înalt al variabilei este unul).
Exercițiul 2
Fie ca funcția F: R → R să fie definită de F (x) = 3x 2 - 2
La trasarea unei linii orizontale, se observă că graficul se găsește cu mai multe ori. Datorită acestui lucru, funcția F nu este injectivă și, prin urmare, nu va fi bijectivă atât timp cât este definită în R → R
În mod similar, există valori codomain care nu sunt imagini cu niciun element al domeniului. Datorită acestui fapt, funcția nu este supusă, ceea ce merită, de asemenea, să condiționeze setul de sosire.
Procedăm la condiționarea domeniului și codomain al funcției
F: →
În cazul în care se observă că noul domeniu acoperă valorile de la zero la infinit pozitiv. Evitarea repetării valorilor care afectează injectivitatea.
De asemenea, codomainul a fost modificat, de la „-2” la infinit pozitiv, eliminând din codomain valorile care nu corespundeau nici unui element al domeniului
În acest fel se poate asigura că F : → definit de F (x) = 3x 2 - 2
Este bijectiv
Exercițiul 3
Fie ca funcția F: R → R să fie definită de F (x) = Sen (x)
În intervalul funcția sinusoasă își variază rezultatele între zero și unu.
Sursa: Autor.
Funcția F nu corespunde criteriilor de injectivitate și surjectivitate, deoarece valorile variabilei dependente sunt repetate la fiecare interval de π. Mai mult, termenii codomainului în afara intervalului nu sunt o imagine a vreunui element al domeniului.
Când se studiază graficul funcției F (x) = Sen (x) , se observă intervale în care comportamentul curbei îndeplinește criteriile de bijectivitate . Ca de exemplu, intervalul D f = pentru domeniu. Și C f = pentru codomain.
În cazul în care funcția variază rezultă de la 1 la -1, fără a repeta nicio valoare în variabila dependentă. Și, în același timp, codomain este egal cu valorile adoptate de expresia Sen (x)
Astfel funcția F: → definită de F (x) = Sen (x). Este bijectiv
Exercițiul 4
Se menționează condițiile necesare pentru D f și C f . Deci expresia
F (x) = -x 2 să fie bijectiv.
Sursa: Autor
Repetarea rezultatelor este observată atunci când variabila ia valori opuse:
F (2) = F (-2) = -4
F (3) = F (-3) = -9
F (4) = F (-4) = -16
Domeniul este condiționat, limitându-l la partea dreaptă a liniei reale.
D f =
În același mod, se observă că intervalul acestei funcții este intervalul, care atunci când acționează ca un codomain îndeplinește condițiile de surjectivitate.
În acest fel putem concluziona că
Expresia F: → definită de F (x) = -x 2 Este bijectivă
Exerciții propuse
Verificați dacă următoarele funcții sunt bijective:
F: → R definit de F (x) = 5ctg (x)
F: → R definit de F (x) = Cos (x - 3)
F: R → R definit de linia F (x) = -5x + 4
Referințe
- Introducere în logică și gândire critică. Merrilee H. Somon. Universitatea din Pittsburgh
- Probleme în analiza matematică. Piotr Biler, Alfred Witkowski. Universitatea din Wroclaw Polonia.
- Elemente de analiză abstractă. Dr. Mícheál O'Searcoid. Departamentul de matematică. Colegiul universitar Dublin, Beldfield, Dublind 4
- Introducere în logică și în metodologia științelor deductive. Alfred Tarski, New York Oxford. Presa Universitatii Oxford.
- Principiile analizei matematice. Enrique Linés Escardó. Editorial Reverté S. A 1991. Barcelona Spania.