FACTORING: METODE ȘI EXEMPLE - MATEMATICA - 2026

Factorizarea este o metodă prin care un polinom este exprimat ca factori de multiplicare, care pot fi numere sau litere sau ambele. Pentru a factoriza, factorii care sunt comuni la termeni sunt grupați și, în acest fel, polinomul este descompus în mai multe polinoame.

Astfel, atunci când factorii sunt înmulțiți împreună, rezultatul este polinomul inițial. Factoringul este o metodă foarte utilă atunci când aveți expresii algebrice, deoarece poate fi transformată în înmulțirea mai multor termeni simpli; de exemplu: 2a ² + 2ab = 2a _* (a + b).

Există cazuri în care un polinom nu poate fi luat în considerare, deoarece nu există un factor comun între termenii săi; astfel, aceste expresii algebrice sunt divizibile numai de la sine și de 1. De exemplu: x + y + z.

Într-o expresie algebrică, factorul comun este cel mai mare divizor comun al termenilor care îl compun.

Metode de factoring

Există mai multe metode de factoring, care sunt aplicate în funcție de caz. Unele dintre acestea sunt următoarele:

Factoring după factor comun

În această metodă sunt identificați acești factori care sunt comuni; adică cele care se repetă în termenii expresiei. Apoi se aplică proprietatea distributivă, se ia cel mai mare divizor comun și se completează factoringul.

Cu alte cuvinte, factorul comun al expresiei este identificat și fiecare termen este împărțit de ea; Termenii rezultați vor fi înmulțiți de cel mai mare divizor comun pentru a exprima factorizarea.

Exemplul 1

Factor (b ² x) + (b ² y).

Soluţie

Mai întâi găsiți factorul comun al fiecărui termen, care în acest caz este b ² , apoi divizați termenii după factorul comun, după cum urmează:

(b ² x) / b ² = x

(b ² y) / b ² = y.

Factorizarea este exprimată, înmulțind factorul comun cu termenii rezultați:

(b ² x) + (b ² y) = b ² (x + y).

Exemplul 2

Factor (2a ² b ³ ) + (3ab ² ).

Soluţie

În acest caz, avem doi factori care se repetă în fiecare termen care sunt „a” și „b” și care sunt ridicați la o putere. Pentru a-i determina, cei doi termeni sunt mai întâi descompuse în forma lor lungă:

2 _* a _* a _* b _* b _* b + 3a _* b _* b

Se poate observa că factorul „a” se repetă o singură dată în al doilea termen, iar factorul „b” se repetă de două ori în acest sens; deci în primul termen rămân doar 2, un factor „a” și un factor „b”; în timp ce în al doilea termen rămân doar 3.

Prin urmare, timpii în care se repetă „a” și „b” se scriu și se înmulțesc cu factorii care rămân de la fiecare termen, așa cum se arată în imagine:

Gruparea factoringului

Cum nu este în toate cazurile cel mai mare divizor comun al unui polinom este exprimat în mod clar, este necesar să se facă alți pași pentru a putea rescrie polinomul și deci factorul.

Unul dintre acești pași este să grupezi termenii polinomului în mai multe grupuri, apoi să folosești metoda factorului comun.

Exemplul 1

Factor ac + bc + anunț + bd.

Soluţie

Există 4 factori în care doi sunt comuni: în primul termen este «c» și în al doilea este «d». În acest fel, cei doi termeni sunt grupați și separați:

(ac + bc) + (anunț + bd).

Acum este posibil să se aplice metoda factorului comun, împărțind fiecare termen la factorul său comun și apoi înmulțind acel factor comun la termenii rezultați, astfel:

(ac + bc) / c = a + b

(ad + bd) / d = a + b

c (a + b) + d (a + b).

Acum obținem un binom care este comun pentru ambii termeni. Pentru a-l factoriza, acesta este înmulțit cu restul factorilor; în acest fel trebuie să:

ac + bc + ad + bd = (c + d) _* (a + b).

Factorie de inspecție

Această metodă este utilizată pentru factorizarea polinoamelor cvadratice, numite și trinomiale; adică cele care sunt structurate ca ax ² ± bx + c, unde valoarea „a” este diferită de 1. Această metodă este folosită și atunci când trinomul are forma x ² ± bx + c și valoarea „a” = 1.

Exemplul 1

Factor x ² + 5x + 6.

Soluţie

Avem un trinomial pătrat de formă x ² ± bx + c. Pentru a-l determina, mai întâi trebuie să găsiți două numere care, atunci când sunt înmulțite, dau ca rezultat valoarea «c» (adică 6) și că suma lor este egală cu coeficientul «b», care este 5. Aceste numere sunt 2 și 3 :

2 _* 3 = 6

2 + 3 = 5.

Astfel, expresia este simplificată astfel:

(x ² + 2x) + (3x + 6)

Fiecare termen este conținut:

- Pentru (x ² + 2x) termenul comun este luat: x (x + 2)

- Pentru (3x + 6) = 3 (x + 2)

Astfel, expresia este:

x (x +2) + 3 (x +2).

Deoarece avem un binom în comun, pentru a reduce expresia, înmulțim aceasta cu termenii rămași și trebuie:

x ² + 5x + 6 = (x + 2) _* (x + 3).

Exemplul 2

Factorul 4a ² + 12a + 9 = 0.

Soluţie

Avem un trinomial pătrat al axei formei ² ± bx + cy pentru a-l factoriza, înmulțim întreaga expresie cu coeficientul x ² ; în acest caz, 4.

4a ² + 12a +9 = 0

4a ² (4) + 12a (4) + 9 (4) = 0 (4)

16 a ² + 12a (4) + 36 = 0

4 ² a ² + 12a (4) + 36 = 0

Acum trebuie să găsim două numere care, atunci când sunt înmulțite unul cu celălalt, dau ca rezultat valoarea „c” (care este 36) și care atunci când sunt adăugate împreună dau ca rezultat coeficientul termenului „a”, care este 6.

6 _* 6 = 36

6 + 6 = 12.

În acest fel, expresia este rescrisă, ținând cont că 4 ² a ² = 4a _* 4a. Prin urmare, proprietatea distributivă se aplică pentru fiecare termen:

(4a + 6) _* (4a + 6).

În cele din urmă, expresia este împărțită la coeficientul unui ² ; adică 4:

(4 + 6) _* (4 + 6) / 4 = ((4 + 6) / 2) _* ((4 + 6) / 2).

Expresia este următoarea:

4a ² + 12a +9 = (2a +3) _* (2a + 3).

Factoring cu produse notabile

Există cazuri în care, pentru a factoriza pe deplin polinoamele cu metodele de mai sus, devine un proces foarte lung.

De aceea, o expresie poate fi dezvoltată cu formulele produselor remarcabile și astfel procesul devine mai simplu. Printre cele mai utilizate produse notabile se numără:

- Diferența a două pătrate: (a ² - b ² ) = (a - b) _* (a + b)

- Pătrat perfect al unei sume: a ² + 2ab + b ² = (a + b) ²

- Pătratul perfect al diferenței: a ² - 2ab + b ² = (a - b) ²

- Diferența a doi cuburi: a ³ - b ³ = (ab) _* (a ² + ab + b ² )

- Suma a doi cubi: a ³ - b ³ = (a + b) _* (a ² - ab + b ² )

Exemplul 1

Factor (5 ² - x ² )

Soluţie

În acest caz, există o diferență de două pătrate; prin urmare, formula de produs remarcabilă se aplică:

(a ² - b ² ) = (a - b) _* (a + b)

(5 ² - x ² ) = (5 - x) _* (5 + x)

Exemplul 2

Factor 16x ² + 40x + 25 ²

Soluţie

În acest caz, aveți un pătrat perfect dintr-o sumă, deoarece puteți identifica doi termeni pătrați, iar termenul care rămâne este rezultatul înmulțirii doi cu rădăcina pătrată a primului termen, cu rădăcina pătrată a celui de-al doilea termen.

a ² + 2ab + b ² = (a + b) ²

Pentru a factoriza doar rădăcinile pătrate ale primului și al treilea termen sunt calculate:

√ (16x ² ) = 4x

√ (25 ² ) = 5.

Apoi, cei doi termeni rezultați sunt exprimați separat de semnul operației și întregul polinom este pătrat:

16x ² + 40x + 25 ² = (4x + 5) ² .

Exemplul 3

Factorul 27a ³ - b ³

Soluţie

Expresia reprezintă o scădere în care doi factori sunt cubi. Pentru a le determina, se aplică formula pentru produsul notabil al diferenței de cuburi, care este:

a ³ - b ³ = (ab) _* (a ² + ab + b ² )

Astfel, pentru a factoriza, rădăcina cubă a fiecărui termen al binomului este luată și înmulțită cu pătratul primului termen, plus produsul primului cu al doilea termen, plus al doilea termen pătrat.

27a ³ - b ³

³√ (27a ³ ) = 3a

³√ (-b ³ ) = -b

27a ³ - b ³ = (3a - b) _*

27a ³ - b ³ = (3a - b) _* (9a ² + 3ab + b ² )

Factoring cu regula lui Ruffini

Această metodă este folosită atunci când aveți un polinom de grad mai mare de doi, pentru a simplifica expresia la mai multe polinoame de grad mai mic.

Exemplul 1

Factor Q (x) = x ⁴ - 9x ² + 4x + 12

Soluţie

Mai întâi căutăm numerele care sunt divizori de 12, care este termenul independent; Acestea sunt ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6 și ± 12.

Atunci x este înlocuit cu aceste valori, de la cea mai mică la cea mai mare, și astfel se stabilește cu care dintre valori diviziunea va fi exactă; adică restul trebuie să fie 0:

x = -1

Q (-1) = (-1) ⁴ - 9 (-1) ² + 4 (-1) + 12 = 0.

x = 1

Q (1) = 1 ⁴ - 9 (1) ² + 4 (1) + 12 = 8 ≠ 0.

x = 2

Q (2) = 2 ⁴ - 9 (2) ² + 4 (2) + 12 = 0.

Și așa mai departe pentru fiecare divizor. În acest caz, factorii găsiți sunt pentru x = -1 și x = 2.

Acum se aplică metoda Ruffini, conform căreia coeficienții expresiei vor fi împărțiți la factorii găsiți astfel încât divizarea să fie exactă. Termenii polinomiali sunt ordonați de la cel mai mare la cel mai mic exponent; în cazul în care un termen cu gradul următor lipsește în secvență, un 0 este plasat la locul său.

Coeficienții sunt localizați într-o schemă așa cum se arată în imaginea următoare.

Primul coeficient este redus și înmulțit de divizor. În acest caz, primul divizor este -1, iar rezultatul este plasat în coloana următoare. Apoi, valoarea coeficientului este adăugată vertical cu acel rezultat obținut și rezultatul este plasat mai jos. În acest fel, procesul se repetă până la ultima coloană.

Apoi, aceeași procedură se repetă din nou, dar cu al doilea divizor (care este 2), deoarece expresia poate fi încă simplificată.

Astfel, pentru fiecare rădăcină obținută polinomul va avea un termen (x - a), unde „a” este valoarea rădăcinii:

(x - (-1)) _* (x - 2) = (x + 1) _* (x - 2)

Pe de altă parte, acești termeni trebuie înmulțiți cu restul regulilor lui Ruffini 1: 1 și -6, care sunt factori care reprezintă un grad. În acest fel, expresia care este formată este: (x ² + x - 6).

Obținerea rezultatului factorizării polinomului prin metoda Ruffini este:

x ⁴ - 9x ² + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2) _* (x ² + x - 6)

În cele din urmă, polinomul de gradul 2 care apare în expresia anterioară poate fi rescris ca (x + 3) (x-2). Prin urmare, factorizarea finală este:

x ⁴ - 9x ² + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2) _* (x + 3) _* (x-2).

Referințe

1. Arthur Goodman, LH (1996). Algebra și trigonometria cu geometrie analitică. Pearson Education.
2. J, V. (2014). Cum să înveți copiii despre factorizarea unui polinom.
3. Manuel Morillo, AS (sf). Matematică de bază cu aplicații.
4. Roelse, PL (1997). Metode liniare pentru factorizarea polinomială pe câmpuri finite: teorie și implementări. Universität Essen.
5. Sharpe, D. (1987). Inele și Factorizare.