- multiplicarea unui număr real α de către un vector v : α v dând un alt vector și aparținând V .

Viziunea artistică a unui spațiu vectorial. Sursa: Pixabay

Pentru a indica un vector, folosim bold ( v este un vector), iar pentru scalare sau numere litere grecești (α este un număr).

Axiome și proprietăți

Pentru ca un spațiu vectorial să fie dat, următoarele opt axiome trebuie să conțină:

1-comutabilitate: u + v = v + u

2-Tranzitivitate: ( u + v ) + w = u + ( v + w )

3-Existența vectorului nul 0 astfel încât 0 + v = v

4-Existența contrariului: opusul lui v este (- v ), deoarece v + (- v ) = 0

5-Distribuibilitatea produsului față de suma vectorială: α ( u + v ) = α u + α v

6-Distribuibilitatea produsului față de suma scalară: (α + β) v = α v + β v

7-Asociativitatea produsului scalar: α (β v ) = (α β) v

8-Numărul 1 este elementul neutru deoarece: 1 v = v

Exemple de spații vectoriale

Exemplul 1

Vectori în planul (R²) sunt un exemplu de spațiu vectorial. Un vector în plan este un obiect geometric care are magnitudine și direcție. Este reprezentat de un segment orientat care aparține planului menționat și cu o dimensiune proporțională cu amploarea acestuia.

Suma a doi vectori din plan poate fi definită ca operația de translație geometrică a celui de-al doilea vector după primul. Rezultatul sumei este segmentul orientat care pornește de la originea primei și atinge vârful celui de-al doilea.

În figură se poate observa că suma în R² este comutativă.

Figura 2. Vectorii din plan formează spațiul vectorial. Sursa: creată de sine.

Este de asemenea definit produsul unui număr α și al unui vector. Dacă numărul este pozitiv, direcția vectorului inițial este păstrată și dimensiunea este α de ori a vectorului inițial. Dacă numărul este negativ, direcția este opusă, iar dimensiunea vectorului rezultat este valoarea absolută a numărului.

Vectorul opus oricărui vector v este - v = (- 1) v .

Vectorul nul este un punct în planul R², iar numărul zero de un vector dă vectorul nul.

Toate cele spuse sunt ilustrate în figura 2.

Exemplul 2

Ansamblul P al tuturor polinoamelor de grad mai mic sau egal cu două, inclusiv gradul zero, formează un set care satisface toate axiomele unui spațiu vectorial.

Fie polinomul P (x) = a x² + bx + cy Q (x) = d x² + ex + f

Suma a două polinoame este definită: P (x) + Q (x) = (a + d) x² + (b + e) ​​x + (c + f)

Suma polinoamelor aparținând setului P este comutativă și tranzitivă.

Polinomul nul aparținând mulțimii P este unul care are toți coeficienții săi egali cu zero:

0 (x) = 0 x² + 0 x + 0

Suma unui scalar α de un polinom este definită ca: α P (x) = α ∙ a x² + α ∙ bx + α ∙ c

Polinomul opus lui P (x) este -P (x) = (-1) P (x).

Din toate cele de mai sus rezultă că mulțimea P a tuturor polinoamelor de grad mai mic sau egal cu două este un spațiu vectorial.

Exemplul 3

Ansamblul M al tuturor matricilor de m rânduri xn coloane ale căror elemente sunt numere reale formează un spațiu vectorial real, în ceea ce privește operațiile de adăugare a matricilor și produsul unui număr de o matrice.

Exemplul 4

Ansamblul F al funcțiilor continue ale variabilei reale, formează un spațiu vectorial, deoarece este posibilă definirea sumei a două funcții, înmulțirea unui scalar cu o funcție, funcția nulă și funcția simetrică. De asemenea, îndeplinesc axiomele care caracterizează un spațiu vectorial.

Baza și dimensiunea unui spațiu vectorial

Baza

Baza unui spațiu vectorial este definită ca un set de vectori liniar independenți, astfel încât dintr-o combinație liniară a acestora poate fi generat orice vector din spațiul vectorial.

Combinarea liniară a doi sau mai mulți vectori constă în multiplicarea vectorilor cu unii scalari și apoi adăugarea lor în mod vectorial.

De exemplu, în spațiul vectorial al vectorilor în trei dimensiuni formate din R³, se folosește baza canonică definită de vectorii de unitate (de magnitudine 1) i , j , k .

Unde i = (1, 0, 0); j = (0, 1, 0); k = (0, 0, 1). Aceștia sunt vectorii cartezieni sau canonici.

Orice vector V aparținând lui R³ este scris ca V = a i + b j + c k , care este o combinație liniară a vectorilor de bază i , j , k . Un scalar sau numere a, b, c sunt cunoscute ca și componente carteziene ale V .

Se mai spune că vectorii de bază ai unui spațiu vectorial formează un grup generator al spațiului vectorial.

Dimensiune

Dimensiunea unui spațiu vectorial este numărul cardinal al unei baze vectoriale pentru spațiul respectiv; adică numărul de vectori care alcătuiesc baza menționată.

Acest cardinal este numărul maxim de vectori independenți liniar ai acelui spațiu vectorial și, în același timp, numărul minim de vectori care formează un grup generator din spațiul respectiv.

Bazele unui spațiu vectorial nu sunt unice, dar toate bazele aceluiași spațiu vector au aceeași dimensiune.

Subspațul vectorial

Un subspațiu vectorial S al unui spațiu vectorial V este un subset de V în care aceleași operații sunt definite ca în V și îndeplinește toate axiomele spațiale vectoriale. Prin urmare, subspațiul S va fi și un spațiu vectorial.

Exemplu de subspațiu vectorial sunt vectorii care aparțin planului XY. Acest subspațiu este un subset al unui spațiu vectorial cu dimensionalitate mai mare decât setul de vectori aparținând spațiului tridimensional XYZ.

Un alt exemplu de subspațiu vectorial S1 al spațiului vectorial S format din toate matricile 2 × 2 cu elemente reale este definit mai jos:

Pe de altă parte, S2 definit mai jos, deși este un subset de S, nu formează un subspaț vectorial:

Exerciții rezolvate

-Exercitiul 1

Fie vectorii V1 = (1, 1, 0); V2 = (0, 2, 1) și V3 = (0, 0, 3) în R³.

a) Arătați că sunt liniar independenți.

b) Arătați că formează o bază în R³, deoarece orice triplu (x, y, z) poate fi scris ca o combinație liniară de V1, V2, V3.

c) Găsiți componentele triplei V = (-3,5,4) în baza V1 , V2 , V3 .

Soluţie

Criteriul de a demonstra independența liniară constă în stabilirea următoarei serie de ecuații în α, β și γ

α (1, 1, 0) + β (0, 2, 1) + γ (0, 0, 3) = (0, 0, 0)

În cazul în care singura soluție la acest sistem este α = β = γ = 0, atunci vectorii sunt liniar independenți, în caz contrar nu.

Pentru a obține valorile α, β și γ, vă propunem următorul sistem de ecuații:

α ∙ 1 + β ∙ 0 + γ ∙ 0 = 0

α ∙ 1 + β ∙ 2 + γ ∙ 0 = 0

α ∙ 0 + β ∙ 1 + γ ∙ 3 = 0

Primul duce la α = 0, al doilea α = -2 ∙ β, dar din moment ce α = 0 atunci β = 0. A treia ecuație implică faptul că γ = (- 1/3) β, dar din moment ce β = 0 atunci γ = 0.

Raspunde la

Se concluzionează că este un set de vectori liniari independenți în R³.

Răspuns b

Acum să scriem triplul (x, y, z) ca o combinație liniară de V1, V2, V3.

(x, y, z) = α V1 + β V2 + γ V3 = α (1, 1, 0) + β (0, 2, 1) + γ (0, 0, 3)

α ∙ 1 + β ∙ 0 + γ ∙ 0 = x

α ∙ 1 + β ∙ 2 + γ ∙ 0 = y

α ∙ 0 + β ∙ 1 + γ ∙ 3 = z

Unde aveți:

α = x

α + 2 β = y

β + 3 γ = z

Primul indică α = x, al doilea β = (yx) / 2 iar al treilea γ = (z- y / 2 + x / 2) / 3. În acest fel, am găsit generatoarele de α, β și γ ale oricărei triplete de R³

Raspunde c

Să mergem mai departe pentru a găsi componentele triplei V = (-3,5,4) din baza V1 , V2 , V3 .

Înlocuim valorile corespunzătoare din expresiile găsite mai sus pentru generatoare.

În acest caz avem: α = -3; β = (5 - (- 3)) / 2 = 4; γ = (4- 5/2 + (- 3) / 2) / 3 = 0

Acesta este:

(-3,5,4) = -3 (1, 1, 0) + 4 (0, 2, 1) + 0 (0, 0, 3)

De ultimul:

V = -3 V1 + 4 V2 + 0 V3

Concluzionăm că V1, V2, V3 formează o bază în spațiul vectorial R³ al dimensiunii 3.

-Exercitiul 2

Se exprimă polinomul P (t) = t² + 4t -3 ca o combinație liniară de P1 (t) = t² -2t + 5, P2 (t) = 2t² -3t și P3 (t) = t + 3.

Soluţie

P (t) = x P1 (t) + y P2 (t) + z P3 (t)

unde trebuie determinate numerele x, y, z

Prin înmulțirea și gruparea termenilor cu același grad în t, obținem:

t² + 4 t -3 = (x + 2y) t² + (-2x -3y + z) t + (5x + 3z)

Ceea ce ne conduce la următorul sistem de ecuații:

x + 2y = 1

-2x -3y + z = 4

5x + 3z = -3

Soluțiile acestui sistem de ecuații sunt:

x = -3, y = 2, z = 4.

Acesta este:

P (t) = -3 P1 (t) + 2 P2 (t) + 4 P3 (t)

-Exercitiul 3

Arată că vectorii v1 = (1, 0, -1, 2); v2 = (1, 1, 0, 1) și v3 = (2, 1, -1, 1) din R⁴ sunt liniar independenți.

Soluţie

Combinăm liniar cei trei vectori v1 , v2 , v3 și solicităm că această combinație adaugă elementul nul al lui R⁴

a v1 + b v2 + c v3 = 0

Adică:

a (1, 0, -1, 2) + b (1, 1, 0, 1) + c (2, 1, -1, 1) = (0, 0, 0, 0)

Aceasta ne conduce la următorul sistem de ecuații:

a + b + 2 c = 0

b + c = 0

-a - c = 0

2 a + b + c = 0

Scăzând primul și al patrulea avem: -a + c = 0 ceea ce implică a = c.

Dar dacă ne uităm la a treia ecuație, avem că a = -c. Singurul mod în care a = c = (- c) deține este ca c să fie 0 și, prin urmare, a va fi și 0.

a = c = 0

Dacă conectăm acest rezultat la prima ecuație, concluzionăm că b = 0.

În cele din urmă a = b = c = 0, astfel încât se poate concluziona că vectorii v1, v2 și v3 sunt liniari independenți.

Referințe

1. Lipschutz, S. 1993. Algebră liniară. A doua editie. McGraw-Hill. 167-198.