ENEAGON: PROPRIETĂȚI, CUM SE FACE UN ENEAGON, EXEMPLE - MATEMATICA

O enegon este un poligon cu nouă laturi și nouă vârfuri, care pot fi sau nu regulate. Numele eneágono provine din greacă și este alcătuit din cuvintele grecești ennea (nouă) și gonon (unghiul).

Un nume alternativ pentru poligonul cu nouă laturi este nonagon, care provine de la cuvântul latin nonus (nouă) și gonon (vertex). Pe de altă parte, dacă laturile sau unghiurile eneagonului sunt inegale între ele, atunci aveți un eneagon neregulat. Dacă, pe de altă parte, toate cele nouă laturi și nouă unghiuri ale eneagonului sunt egale, atunci este un eneagon obișnuit.

Figura 1. eneagon regulat și eneagon neregulat. (Elaborare proprie)

Proprietățile eneagonului

Pentru un poligon cu n laturi suma unghiurilor sale interioare este:

(n - 2) * 180º

În enegon ar fi n = 9, deci suma unghiurilor sale interne este:

Sa = (9 - 2) * 180º = 7 * 180º = 1260º

În orice poligon, numărul de diagonale este:

D = n (n - 3) / 2 și în cazul enegonului, deoarece n = 9, atunci avem D = 27.

Enegon regulat

În eneagonul regulat sau nonagonul există nouă (9) unghiuri interne de măsură egală, prin urmare, fiecare unghi măsoară o nouă parte din suma totală a unghiurilor interne.

Măsura unghiurilor interne ale unui enegon este apoi 1260º / 9 = 140º.

Figura 2. Apotemul, raza, laturile, unghiurile și vârfurile unui eneagon obișnuit. (Elaborare proprie)

Pentru a obține formula pentru aria unui enegon obișnuit cu latura d, este convenabil să se facă unele construcții auxiliare, cum ar fi cele prezentate în figura 2.

Centrul O se găsește prin trasarea bisectoarelor a două laturi adiacente. Centrul O echidistant de la vârfuri.

O rază de lungime r este segmentul de la centrul O la un vertex al enegonului. Figura 2 prezintă razele OD și OE ale lungimii r.

Apotemul este segmentul care se deplasează de la centrul punctului mijlociu al unei părți a enegonului. De exemplu, JO este un apotem a cărui lungime este a.

Zona unei enegoni cunoscute partea și apotemul

Considerăm triunghiul ODE din figura 2. Zona acestui triunghi este produsul bazei sale DE și înălțimea OJ împărțit la 2:

Zona ODE = (DE * JO) / 2 = (d * a) / 2

Deoarece există 9 triunghiuri de suprafață egală în enegon, se concluzionează că aria aceluiași este:

Zona Enegon = (9/2) (d * a)

Zona unui enegon cunoscut

Dacă se cunoaște numai lungimea d a laturilor enegonului, atunci este necesar să se găsească lungimea apotemului pentru a putea aplica formula în secțiunea anterioară.

Considerăm triunghiul drept OJE în J (a se vedea figura 2). Dacă se aplică raportul trigonometric tangent, obținem:

tan (∡ OEJ) = OJ / EJ.

Unghiul ∡OEJ = 140º / 2 = 70º, deoarece EO este bisectorul unghiului intern al enegonului.

Pe de altă parte, JO este apotemul lungimii a.

Apoi, întrucât J este punctul mediu al ED, rezultă că EJ = d / 2.

Substituind valorile anterioare în relația tangentă avem:

bronz (70º) = a / (d / 2).

Acum ștergem lungimea apotemului:

a = (d / 2) bronz (70º).

Rezultatul anterior este substituit în formula de zonă pentru a obține:

Aria enegonului = (9/2) (d * a) = (9/2) (d * (d / 2) bronz (70º))

În cele din urmă, găsim formula care permite obținerea zonei enegonului obișnuit dacă este cunoscută doar lungimea d a laturilor sale:

Suprafața enegonului = (9/4) d ² bronz (70º) = 6.1818 d ²

Perimetrul enegonului obișnuit își cunoaște latura

Perimetrul unui poligon este suma laturilor sale. În cazul enegonului, deoarece fiecare dintre laturile măsoară o lungime d, perimetrul său va fi suma de nouă ori d, adică:

Perimetru = 9 d

Perimetrul enegonului își cunoște raza

Având în vedere triunghiul drept OJE din J (a se vedea figura 2), se aplică raportul de cosinus trigonometric:

cos (∡ OEJ) = EJ / OE = (d / 2) / r

Unde se obține de la:

d = 2r cos (70º)

Înlocuind acest rezultat, obținem formula pentru perimetru în funcție de raza enegonului:

Perimetru = 9 d = 18 r cos (70º) = 6.1564 r

Cum se face un enegon obișnuit

1- Pentru a construi un eneagon obișnuit, cu o riglă și o busolă, porniți de la circumferința c care circumscrie eneagonul. (vezi figura 3)

2- Două linii perpendiculare sunt trase prin centrul O al circumferinței. Apoi intersecțiile A și B ale uneia dintre linii sunt marcate cu circumferința.

3- Cu busola, formând un centru la interceptarea B și deschiderea egală cu raza BO, se trasează un arc care interceptează circumferința inițială într-un punct C.

Figura 3. Pași pentru construirea unui enegon obișnuit. (Elaborare proprie)

4- Etapa anterioară se repetă, dar făcând un centru la A și raza AO, se trasează un arc care interceptează circumferința c în punctul E.

5- Cu deschiderea AC și centrul în A, se trasează un arc de circumferință. În mod similar cu deschiderea BE și centrul B este desenat un alt arc. Intersecția acestor două arcuri este marcată ca punctul G.

6- Centrat la G și deschiderea GA, se trasează un arc care interceptează axa secundară (orizontală în acest caz) în punctul H. Intersecția axei secundare cu circumferința inițială c este marcată ca I.

7- Lungimea segmentului IH este egală cu lungimea d a laturii enegonului.

8- Cu deschiderea busolei IH = d, arcurile din raza A AJ, centrul J raza AK, centrul K raza KL și centrul L raza LP sunt trase succesiv.

9- În mod similar, pornind de la A și din partea dreaptă, sunt trase arcuri de rază IH = d care marchează punctele M, N, C și Q pe circumferința inițială c.

10- În sfârșit sunt desenate segmentele AJ, JK, KL, LP, AM, MN, NC, CQ și în final PB.

Trebuie menționat că metoda de construcție nu este în întregime exactă, deoarece se poate verifica dacă ultima latură PB este cu 0,7% mai lungă decât celelalte părți. Până în prezent, nu există o metodă de construcție cunoscută cu o riglă și busolă care să fie exactă 100%.

Exemple

Iată câteva exemple elaborate.

Exemplul 1

Vrem să construim un enegon obișnuit ale cărui laturi măsoară 2 cm. Ce rază trebuie să aibă circumferința care o circumscrie, astfel încât prin aplicarea construcției descrise anterior să se obțină rezultatul dorit?

Într-o secțiune anterioară, s-a dedus formula care leagă raza r a cercului circumscris cu latura d a unui enegon obișnuit:

d = 2r cos (70º)

Rezolvând pentru r din expresia anterioară avem:

r = d / (2 cos (70º)) = 1.4619 * d

Înlocuirea valorii d = 2 cm în formula anterioară dă o rază r de 2,92 cm.

Exemplul 2

Care este aria unui enegon obișnuit cu o latură de 2 cm?

Pentru a răspunde la această întrebare, trebuie să ne referim la formula, arătată anterior, care ne permite să găsim aria unei enegoni cunoscute pe lungimea d a laturii sale: