- caracteristici
- Tipuri
- Clasa întâi
- Clasa a doua
- Solvent
- Cea mai mare notă
- Exerciții rezolvate
- Primul exercițiu
- Soluţie
- Al doilea exercițiu
- Soluţie
- Referințe
Cele ecuatiilor polinomiale sunt o declarație care ridică egalitatea a două expresii sau membri, în cazul în care cel puțin unul dintre termenii care alcătuiesc sus fiecare parte a egalității sunt polinoame P (x). Aceste ecuații sunt numite în funcție de gradul variabilelor lor.
În general, o ecuație este o afirmație care stabilește egalitatea a două expresii, unde în cel puțin una dintre acestea există cantități necunoscute, care sunt numite variabile sau necunoscute. Deși există multe tipuri de ecuații, ele sunt în general clasificate în două tipuri: algebric și transcendent.
Ecuațiile polinomiale conțin doar expresii algebrice, care pot avea una sau mai multe necunoscute implicate în ecuație. În funcție de exponentul (gradul) pe care îl au, acestea pot fi clasificate în: gradul întâi (liniar), gradul doi (cvadratic), gradul al treilea (cubic), gradul al patrulea (cuartic), grad mai mare sau egal cu cinci și irațional.
caracteristici
Ecuațiile polinomiale sunt expresii care sunt formate dintr-o egalitate între doi polinoame; adică prin sume finite de multiplicări între valori necunoscute (variabile) și numere fixe (coeficienți), unde variabilele pot avea exponenți, iar valoarea lor poate fi un număr întreg pozitiv, inclusiv zero.
Exponenții determină gradul sau tipul ecuației. Termenul din expresia cu cel mai mare exponent va reprezenta gradul absolut al polinomului.
Ecuațiile polinomiale sunt cunoscute și sub denumirea de algebraic, coeficienții lor pot fi numere reale sau complexe, iar variabilele sunt numere necunoscute reprezentate de o literă, cum ar fi: "x".
Dacă înlocuirea unei valori pentru variabila "x" în P (x) rezultatul este egal cu zero (0), atunci se spune că această valoare satisface ecuația (este o soluție) și se numește în general rădăcina polinomului.
Când dezvoltați o ecuație polinomială doriți să găsiți toate rădăcinile sau soluțiile.
Tipuri
Există mai multe tipuri de ecuații polinomiale, care sunt diferențiate în funcție de numărul de variabile și, de asemenea, în funcție de gradul exponentului lor.
Astfel, ecuațiile polinomiale - unde primul său termen este un polinom care are o singură necunoscută, considerând că gradul său poate fi orice număr natural (n), iar al doilea termen este zero - poate fi exprimat după cum urmează:
a n * x n + a n-1 * x n-1 + … + a 1 * x 1 + a 0 * x 0 = 0
Unde:
- a n, a n-1 și 0 sunt coeficienți reali (numere).
- a n este diferită de zero.
- Exponentul n este un număr întreg pozitiv care reprezintă gradul ecuației.
- x este variabila sau necunoscuta de căutat.
Gradul absolut sau mai mare al unei ecuații polinomiale este exponentul cu cea mai mare valoare dintre toate cele care formează polinomul; astfel, ecuațiile sunt clasificate în:
Clasa întâi
Ecuațiile polinomiale de gradul I, cunoscute și sub numele de ecuații liniare, sunt cele în care gradul (cel mai mare exponent) este egal cu 1, polinomul este de forma P (x) = 0; y este compus dintr-un termen liniar și unul independent. Este scris astfel:
ax + b = 0.
Unde:
- a și b sunt numere reale și a ≠ 0.
- axul este termenul liniar.
- b este termenul independent.
De exemplu, ecuația 13x - 18 = 4x.
Pentru a rezolva ecuațiile liniare, toți termenii care conțin x necunoscut trebuie trecuți într-o parte a egalității, iar cei care nu au aceștia se deplasează în cealaltă parte, pentru a o rezolva și obține o soluție:
13x - 18 = 4x
13x = 4x + 18
13x - 4x = 18
9x = 18
x = 18 ÷ 9
x = 2.
Astfel, ecuația dată are o singură soluție sau rădăcină, care este x = 2.
Clasa a doua
Ecuațiile polinomiale de gradul doi, cunoscute și sub denumirea de ecuații cuadratice, sunt cele în care gradul (cel mai mare exponent) este egal cu 2, polinomul este de forma P (x) = 0 și este compus dintr-un termen patratic , unul liniar și unul independent. Se exprimă astfel:
ax 2 + bx + c = 0.
Unde:
- a, b și c sunt numere reale și a ≠ 0.
- ax 2 este termenul cvadratic, iar „a” este coeficientul termenului pătrat.
- bx este termenul liniar, iar „b” este coeficientul termenului liniar.
- c este termenul independent.
Solvent
În general, soluția la acest tip de ecuații este dată prin ștergerea x din ecuație și este după cum urmează, care se numește rezolutiv:
Acolo, (b 2 - 4ac) este denumit discriminant al ecuației și această expresie determină numărul de soluții pe care ecuația le poate avea:
- Dacă (b 2 - 4ac) = 0, ecuația va avea o singură soluție care este dublă; adică va avea două soluții egale.
- Dacă (b 2 - 4ac)> 0, ecuația va avea două soluții reale diferite.
- Dacă (b 2 - 4ac) <0, ecuația nu are nicio soluție (va avea două soluții complexe diferite).
De exemplu, avem ecuația 4x 2 + 10x - 6 = 0, pentru a o rezolva, identificați mai întâi termenii a, b și c, apoi o înlocuiți în formula:
a = 4
b = 10
c = -6.
Există cazuri în care ecuațiile polinomiale de gradul doi nu au toți cei trei termeni, și de aceea se rezolvă diferit:
- În cazul în care ecuațiile patratice nu au termenul liniar (adică b = 0), ecuația va fi exprimată ca ax 2 + c = 0. Pentru a o rezolva, rezolvați x 2 și aplicați rădăcinile pătrate în fiecare membru , amintind că cele două semne posibile pe care le poate avea necunoscutul trebuie luate în considerare:
ax 2 + c = 0.
x 2 = - c ÷ a
De exemplu, 5 x 2 - 20 = 0.
5 x 2 = 20
x 2 = 20 ÷ 5
x = ± √4
x = ± 2
x 1 = 2.
x 2 = -2.
- Când ecuația patratică nu are un termen independent (adică c = 0), ecuația va fi exprimată ca ax 2 + bx = 0. Pentru a o rezolva, trebuie luat factorul comun al necunoscutului x în primul membru; Deoarece ecuația este egală cu zero, este adevărat că cel puțin unul dintre factori va fi egal cu 0:
ax 2 + bx = 0.
x (ax + b) = 0.
Astfel, trebuie să:
x = 0.
x = -b ÷ a.
De exemplu: avem ecuația 5x 2 + 30x = 0. Mai întâi facem factor:
5x 2 + 30x = 0
x (5x + 30) = 0.
Sunt generați doi factori care sunt xy (5x + 30). Se consideră că unul dintre acestea va fi egal cu zero, iar celălalt este rezolvat:
x 1 = 0.
5x + 30 = 0
5x = -30
x = -30 ÷ 5
x 2 = -6.
Cea mai mare notă
Ecuațiile polinomiale de grad superior sunt cele care pleacă de la gradul al treilea înainte, care pot fi exprimate sau rezolvate cu ecuația polinomială generală pentru orice grad:
a n * x n + a n-1 * x n-1 + … + a 1 * x 1 + a 0 * x 0 = 0
Aceasta se folosește deoarece o ecuație cu un grad mai mare de doi este rezultatul factorizării unui polinom; adică este exprimat ca înmulțirea polinoamelor de gradul unu sau mai mare, dar fără rădăcini reale.
Soluția acestor tipuri de ecuații este directă, deoarece înmulțirea a doi factori va fi egală cu zero dacă unul dintre factori este nul (0); prin urmare, fiecare dintre ecuațiile polinomiale găsite trebuie rezolvată, stabilind fiecare dintre factorii lor egali cu zero.
De exemplu, avem ecuația de gradul trei (cubic) x 3 + x 2 + 4x + 4 = 0. Pentru a o rezolva, trebuie urmați următorii pași:
- Termenii sunt grupați:
x 3 + x 2 + 4x + 4 = 0
(x 3 + x 2 ) + (4x + 4) = 0.
- Membrii sunt descompuse pentru a obține factorul comun al necunoscutului:
x 2 (x + 1) + 4 (x + 1) = 0
(x 2 + 4) * (x + 1) = 0.
- În acest fel, se obțin doi factori, care trebuie să fie egali cu zero:
(x 2 + 4) = 0
(x + 1) = 0.
- Se poate vedea că factorul (x 2 + 4) = 0 nu va avea o soluție reală, în timp ce factorul (x + 1) = 0 o face. Deci soluția este:
(x + 1) = 0
x = -1.
Exerciții rezolvate
Rezolvați următoarele ecuații:
Primul exercițiu
(2x 2 + 5) * (x - 3) * (1 + x) = 0.
Soluţie
În acest caz, ecuația este exprimată ca înmulțirea polinoamelor; adică este factorat. Pentru rezolvarea acestuia, fiecare factor trebuie setat egal cu zero:
- 2x 2 + 5 = 0, nu are soluție.
- x - 3 = 0
- x = 3.
- 1 + x = 0
- x = - 1.
Astfel, ecuația dată are două soluții: x = 3 și x = -1.
Al doilea exercițiu
x 4 - 36 = 0.
Soluţie
S-a dat un polinom, care poate fi rescris ca o diferență de pătrate pentru a ajunge la o soluție mai rapidă. Astfel, ecuația este:
(x 2 + 6) * (x 2 - 6) = 0.
Pentru a găsi soluția ecuațiilor, ambii factori sunt setați la zero:
(x 2 + 6) = 0, nu are soluție.
(x 2 - 6) = 0
x 2 = 6
x = ± √6.
Astfel, ecuația inițială are două soluții:
x = √6.
x = - √6.
Referințe
- Andres, T. (2010). Olimpiada matematică Tresure. Springer. New York.
- Angel, AR (2007). Algebra elementară. Pearson Education ,.
- Baer, R. (2012). Algebra liniară și geometrie proiectivă. Corporația de curierat.
- Baldor, A. (1941). Algebră. Havana: cultură.
- Castaño, HF (2005). Matematică înainte de calcul. Universitatea din Medellin.
- Cristóbal Sánchez, MR (2000). Manual de pregătire olimpică pentru matematică. Universitatea Jaume I.
- Kreemly Pérez, ML (1984). Algebra superioară I.
- Massara, NC-L. (o mie noua sute nouazeci si cinci). Matematica 3.