DOMENIUL ȘI CONTRADOMENUL UNEI FUNCȚII (CU EXEMPLE) - MATEMATICA - 2025

Conceptele de domeniu și contra-domeniu ale unei funcții sunt predate în mod obișnuit în cursurile de calcul care sunt predate la începutul diplomelor universitare.

Înainte de a defini domeniul și contradomainul, trebuie să știți care este o funcție. O funcție f este o lege (regula) corespondenței realizate între elementele a două mulțimi.

Setul din care sunt alese elementele se numește domeniu al funcției, iar setul către care sunt trimise aceste elemente prin f se numește contra-domeniu.

În matematică, o funcție cu domeniu A și contrar domeniu B este notată prin expresia f: A → B.

Expresia anterioară spune că elementele din mulțimea A sunt trimise setului B după legea corespondenței f.

O funcție atribuie fiecărui element din setul A un singur element din setul B.

Domeniu și contradomain

Dat fiind o funcție reală a unei variabile reale f (x), avem în vedere că domeniul funcției va fi toate acele numere reale, astfel încât, atunci când este evaluat în f, rezultatul este un număr real.

În general, contra-domeniu al unei funcții este setul de numere reale R. Contra-domeniu se mai numește set de sosire sau codomain al funcției f.

Este contradicția unei funcții întotdeauna R?

Nu. Atâta timp cât funcția nu este studiată în detaliu, setul de numere reale R este de obicei luat ca contra-domeniu.

Dar, după ce funcția a fost studiată, un set mai adecvat poate fi luat ca un contra-domeniu, care va fi un subset de R.

Setul corespunzător menționat în paragraful precedent se potrivește cu imaginea funcției.

Definiția imaginii sau intervalului unei funcții f se referă la toate valorile care provin din evaluarea unui element al domeniului din f.

Exemple

Următoarele exemple ilustrează modul în care se calculează domeniul unei funcții și imaginea acesteia.

Exemplul 1

Fie f o funcție reală definită de f (x) = 2.

Domeniul f este toate numerele reale, astfel încât, atunci când este evaluat la f, rezultatul este un număr real. Contrazisul pentru moment este egal cu R.

Deoarece funcția dată este constantă (întotdeauna egală cu 2), nu contează ce număr real este ales, deoarece la evaluarea acesteia în f rezultatul va fi întotdeauna egal cu 2, care este un număr real.

Prin urmare, domeniul funcției date este toate numerele reale; adică A = R.

Acum că se știe că rezultatul funcției este întotdeauna egal cu 2, avem că imaginea funcției este doar numărul 2, prin urmare, contra-domeniul funcției poate fi redefinit ca B = Img (f) = {Două}.

Prin urmare, f: R → {2}.

Exemplul 2

Fie g o funcție reală definită de g (x) = √x.

Atâta timp cât imaginea lui g nu este cunoscută, contradomainul lui g este B = R.

Cu această funcție, trebuie luat în considerare faptul că rădăcinile pătrate sunt definite numai pentru numere non-negative; adică pentru numere mai mari sau egale cu zero. De exemplu, √-1 nu este un număr real.

Prin urmare, domeniul funcției g trebuie să fie toate numere mai mari sau egale cu zero; adică x ≥ 0.

Prin urmare, A = [0, + ∞).

Pentru a calcula intervalul, trebuie menționat că orice rezultat al lui g (x), deoarece este o rădăcină pătrată, va fi întotdeauna mai mare sau egal cu zero. Adică B = [0, + ∞).

În concluzie, g: [0, + ∞) → [0, + ∞).

Exemplul 3

Dacă avem funcția h (x) = 1 / (x-1), avem aceea că această funcție nu este definită pentru x = 1, deoarece în numitor am obține zero și diviziunea cu zero nu este definită.

Pe de altă parte, pentru orice altă valoare reală rezultatul va fi un număr real. Prin urmare, domeniul este real, cu excepția unuia; adică A = R \ {1}.

În același mod, se poate observa că singura valoare care nu poate fi obținută ca rezultat este 0, deoarece pentru o fracție egală cu zero numerotatorul trebuie să fie zero.

Prin urmare, imaginea funcției este setul tuturor realurilor, cu excepția zero, deci B = R \ {0} este luată ca un contrazic.

În concluzie, h: R \ {1} → R \ {0}.

observaţii

Domeniul și imaginea nu trebuie să fie același set, așa cum se arată în Exemplele 1 și 3.

Când o funcție este grefată pe planul cartezian, domeniul este reprezentat de axa X, iar contradominiul sau intervalul este reprezentat de axa Y.

Referințe

1. Fleming, W., & Varberg, DE (1989). Precalculus Matematica. Sala Prentice PTR.
2. Fleming, W., & Varberg, DE (1989). Precalculus matematica: o abordare de rezolvare a problemelor (2, ed. Ilustrată). Michigan: Sala Prentice.
3. Fleming, W., & Varberg, D. (1991). Algebra și trigonometria cu geometrie analitică. Pearson Education.
4. Larson, R. (2010). Precalculus (8 ed.). Cengage Learning.
5. Leal, JM și Viloria, NG (2005). Geometrie analitică plan. Mérida - Venezuela: Editorial Venezolana CA
6. Pérez, CD (2006). Precalculation. Pearson Education.
7. Purcell, EJ, Varberg, D., & Rigdon, SE (2007). Calcul (ediția a noua). Sala Prentice.
8. Saenz, J. (2005). Calcul diferențial cu funcții transcendente timpurii pentru știință și inginerie (ediția a doua ediție). Ipotenuză.
9. Scott, CA (2009). Geometria planului cartezian, partea: Conics analitice (1907) (ed. Reimprimată). Sursa fulgerului.
10. Sullivan, M. (1997). Precalculation. Pearson Education.