DISTRIBUȚII DE PROBABILITATE DISCRETE: CARACTERISTICI, EXERCIȚII - MATEMATICA - 2025

Cele mai discrete Distribuțiile de probabilitate sunt o funcție care asignează fiecărui element al X (S) = {x1, x2, …, xi, …}, unde X este o variabilă aleatoare discretă dată și S este spațiul eșantionului, probabilitatea ca evenimentul respectiv are loc. Această funcție f din X (S) definită ca f (xi) = P (X = xi) este uneori numită funcție de masă de probabilitate.

Această masă de probabilități este în general reprezentată sub formă de tabel. Deoarece X este o variabilă aleatorie discretă, X (S) are un număr fin de evenimente sau o infinitate contabilă. Printre cele mai comune distribuții de probabilitate discrete avem distribuția uniformă, distribuția binomială și distribuția Poisson.

caracteristici

Funcția de distribuție a probabilității trebuie să îndeplinească următoarele condiții:

Mai mult, dacă X ia doar un număr finit de valori (de exemplu x1, x2,…, xn), atunci p (xi) = 0 dacă i> ny, prin urmare, seria infinită a condiției b devine a serie finită.

Această funcție îndeplinește, de asemenea, următoarele proprietăți:

Fie B un eveniment asociat cu variabila aleatoare X. Aceasta înseamnă că B este conținut în X (S). Mai exact, să presupunem că B = {xi1, xi2, …}. Prin urmare:

Cu alte cuvinte, probabilitatea unui eveniment B este egală cu suma probabilităților rezultatelor individuale asociate cu B.

De aici putem concluziona că dacă a <b, evenimentele (X ≤ a) și (a <X ≤ b) sunt reciproc excluse și, în plus, unirea lor este evenimentul (X ≤ b), deci avem:

Tipuri

Distribuție uniformă pe n puncte

Se spune că o variabilă aleatoare X urmărește o distribuție caracterizată prin a fi uniformă în n puncte dacă fiecărei valori i se atribuie aceeași probabilitate. Funcția sa de masă de probabilitate este:

Să presupunem că avem un experiment care are două rezultate posibile, poate fi aruncarea unei monede ale cărei rezultate posibile sunt capete sau cozi, sau alegerea unui număr întreg al cărui rezultat poate fi un număr egal sau unul impar; acest tip de experiment este cunoscut sub numele de teste Bernoulli.

În general, cele două rezultate posibile se numesc succes și eșec, unde p este probabilitatea de succes și 1-p este probabilitatea de eșec. Putem determina probabilitatea succeselor x la n teste Bernoulli care sunt independente unele de altele, cu următoarea distribuție.

Distribuție binomială

Funcția care reprezintă probabilitatea obținerii x succeselor în n teste Bernoulli independente, a căror probabilitate de succes este p. Funcția sa de masă de probabilitate este:

Următorul grafic reprezintă funcția de masă de probabilitate pentru valori diferite ale parametrilor distribuției binomiale.

Următoarea distribuție își datorează numele matematicianului francez Simeon Poisson (1781-1840), care a obținut-o ca limită a distribuției binomiale.

Distribuție Poisson

Se spune că o variabilă aleatoare X are o distribuție Poisson a parametrului λ atunci când poate lua valorile întregi pozitive 0,1,2,3, … cu următoarea probabilitate:

În această expresie λ este numărul mediu corespunzător aparițiilor evenimentului pentru fiecare unitate de timp, iar x este numărul de ori când apare evenimentul.

Funcția sa de masă de probabilitate este:

Iată un grafic care reprezintă funcția masei de probabilitate pentru diferite valori ale parametrilor de distribuție Poisson.

Rețineți că, atât timp cât numărul de succese este scăzut și numărul de teste efectuate pe o distribuție binomială este mare, putem întotdeauna să aproximăm aceste distribuții, întrucât distribuția Poisson este limita distribuției binomiale.

Principala diferență între aceste două distribuții este că, în timp ce binomul depinde de doi parametri, și anume n și p, Poisson depinde doar de λ, care uneori se numește intensitatea distribuției.

Până acum am vorbit doar despre distribuții de probabilitate pentru cazurile în care experimentele diferite sunt independente unele de altele; adică atunci când rezultatul unuia nu este afectat de un alt rezultat.

Când apare cazul de a avea experimente care nu sunt independente, distribuția hipergeometrică este foarte utilă.

Distribuție hipergeometrică

Fie N numărul total de obiecte dintr-un set finit, din care putem identifica k dintre acestea într-un fel, formând astfel un subset K, al cărui complement este format din elementele Nk rămase.

Dacă alegem aleatoriu n obiecte, variabila aleatoare X care reprezintă numărul de obiecte aparținând lui K în alegerea respectivă are o distribuție hipergeometrică a parametrilor N, n și k. Funcția sa de masă de probabilitate este:

Următorul grafic reprezintă funcția de masă de probabilitate pentru valori diferite ale parametrilor distribuției hipergeometrice.

Exerciții rezolvate

Primul exercițiu

Să presupunem că probabilitatea ca un tub radio (plasat într-un anumit tip de echipament) să funcționeze mai mult de 500 de ore este 0,2. Dacă sunt testate 20 de tuburi, care este probabilitatea ca exact k dintre acestea să funcționeze mai mult de 500 de ore, k = 0, 1,2, …, 20?

Soluţie

Dacă X este numărul de tuburi care funcționează mai mult de 500 de ore, vom presupune că X are o distribuție binomială. Asa de

Așadar:

Pentru k≥11, probabilitățile sunt mai mici de 0,001

Astfel putem vedea cum crește probabilitatea ca k dintre acestea să funcționeze mai mult de 500 de ore, până când atinge valoarea maximă (cu k = 4) și apoi începe să scadă.

Al doilea exercițiu

O monedă este aruncată de 6 ori. Când rezultatul va fi scump, vom spune că este un succes. Care este probabilitatea ca doi capete să vină exact?

Soluţie

Pentru acest caz avem că n = 6 și ambele probabilități de succes și eșec sunt p = q = 1/2

Prin urmare, probabilitatea ca două capete să fie date (adică k = 2) este

Al treilea exercițiu

Care este probabilitatea de a găsi cel puțin patru capete?

Soluţie

Pentru acest caz avem acel k = 4, 5 sau 6

Al treilea exercițiu

Să presupunem că 2% din articolele produse într-o fabrică sunt defecte. Găsiți probabilitatea P să existe trei articole defecte într-un eșantion de 100 de articole.

Soluţie

Pentru acest caz am putea aplica distribuția binomială pentru n = 100 și p = 0.02 obținând ca rezultat:

Cu toate acestea, deoarece p este mic, folosim aproximarea Poisson cu λ = np = 2. Asa de,

Referințe

1. Kai Lai Chung. Teoria elementară a probabilității cu procese stocastice. Springer-Verlag New York Inc
2. Kenneth.H. Rosen. Matematica discretă și aplicațiile sale. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
3. Paul L. Meyer. Probabilitate și aplicații statistice. SA ALHAMBRA MEXICANA.
4. Seymour Lipschutz Ph.D. 2000 Probleme rezolvate ale matematicii discrete. McGraw-Hill.
5. Seymour Lipschutz Ph.D. Probleme de teorie și probabilitate. McGraw-Hill.