Descompunerea aditiv unui întreg pozitiv constă din o exprimă ca sumă a două sau mai multe numere naturale. Astfel, avem că numărul 5 poate fi exprimat ca 5 = 1 + 4, 5 = 2 + 3 sau 5 = 1 + 2 + 2. Fiecare dintre aceste moduri de scriere a numărului 5 este ceea ce vom numi descompunere aditivă.

Dacă acordăm atenție putem vedea că expresiile 5 = 2 + 3 și 5 = 3 + 2 reprezintă aceeași compoziție; amândoi au aceleași numere. Cu toate acestea, doar pentru comoditate, fiecare dintre completări este scris de obicei după criteriul de la cel mai mic la cel mai mare.

Descompunere aditivă

Ca un alt exemplu, putem lua numărul 27, pe care îl putem exprima astfel:

27 = 7 + 10 + 10

27 = 9 + 9 + 9

27 = 3 + 6 + 9 + 9

27 = 9 + 18

Descompunerea aditivă este un instrument foarte util care ne permite să ne consolidăm cunoștințele despre sistemele de numerotare.

Descompunerea aditivului canonic

Când avem numere cu mai mult de două cifre, un mod special de a le descompune este în multiplii de 10, 100, 1000, 10 000, etc., care îl compun. Acest mod de a scrie orice număr se numește descompunere aditivă canonică. De exemplu, numărul 1456 poate fi descompus după cum urmează:

1456 = 1000 + 400+ 50 + 6

Dacă avem numărul 20 846 295, descompunerea aditivă canonică va fi:

20 846 295 = 20.000.000 + 800.000 + 40.000 + 6000 + 200 + 90 +5.

Datorită acestei descompuneri, putem vedea că valoarea unei cifre date este dată de poziția pe care o ocupă. Să luăm ca exemplu numerele 24 și 42:

24 = 20 + 4

42 = 40 +2

Aici putem vedea că în 24, 2 are o valoare de 20 de unități, iar 4 o valoare de 4 unități; pe de altă parte, în 42, 4 are o valoare de 40 de unități și cele 2 de două unități. Astfel, deși ambele numere folosesc aceleași cifre, valorile lor sunt total diferite datorită poziției pe care o ocupă.

Aplicații

Una dintre aplicațiile pe care le putem oferi descompunerii aditive este în anumite tipuri de dovezi, în care este foarte util să vedem un număr întreg pozitiv ca suma altora.

Exemplu teoremă

Să luăm ca exemplu următoarea teoremă cu dovezile respective.

- Fie Z un număr întreg format din 4 cifre, atunci Z este divizibil cu 5 dacă cifra corespunzătoare a unităților este zero sau cinci.

Demonstrație

Să ne amintim care este divizibilitatea. Dacă avem numere întregi „a” și „b”, spunem că „a” împarte „b” dacă există un „c” întreg, astfel încât b = a * c.

Una dintre proprietățile divizibilității ne spune că dacă „a” și „b” sunt divizibile prin „c”, atunci scăderea „ab” este de asemenea divizibilă.

Fie Z un număr întreg format din 4 cifre; prin urmare, putem scrie Z ca Z = ABCD.

Folosind descompunerea aditivului canonic avem:

Z = A * 1000 + B * 100 + C * 10 + D

Este clar că A * 1000 + B * 100 + C * 10 este divizibil cu 5. Pentru aceasta avem Z este divizibil cu 5 dacă Z - (A * 1000 + B * 100 + C * 10) este divizibil cu 5.

Dar Z - (A * 1000 + B * 100 + C * 10) = D și D este un număr dintr-o singură cifră, deci singura modalitate de a fi divizibil cu 5 este ca acesta să fie 0 sau 5.

Prin urmare, Z este divizibil cu 5 dacă D = 0 sau D = 5.

Rețineți că, dacă Z are n cifre, dovada este exact aceeași, se schimbă doar că acum am scrie Z = A ₁ A ₂ … A _n și obiectivul ar fi să demonstreze că A _n este zero sau cinci.

Partițiile

Spunem că o partiție a unui număr întreg pozitiv este o modalitate prin care putem scrie un număr ca o sumă de numere întregi pozitive.

Diferența dintre o descompunere aditivă și o partiție este că, în timp ce primul urmărește ca cel puțin să poată fi descompus în două adaosuri sau mai multe, partiția nu are această restricție.

Astfel, avem următoarele:

5 = 5

5 = 1 + 4

5 = 2 + 3

5 = 1 + 2 + 2

Cele de mai sus sunt partiții din 5.

Adică, fiecare descompunere aditivă este o partiție, dar nu orice partiție este neapărat o descompunere aditivă.

În teoria numerelor, teorema fundamentală a aritmeticii garantează că fiecare număr întreg poate fi scris unic ca produs al primelor.

Atunci când studiați partițiile, scopul este de a determina în câte feluri un număr întreg pozitiv poate fi scris ca suma altor numere întregi. Prin urmare, definim funcția de partiție așa cum este prezentată mai jos.

Definiție

Funcția de partiție p (n) este definită ca numărul de modalități prin care un număr întreg pozitiv n poate fi scris ca o sumă de numere întregi pozitive.

Revenind la exemplul de 5, avem:

5 = 5

5 = 1 + 4

5 = 2 + 3

5 = 1 + 1 + 3

5 = 1 + 2 + 2

5 = 1 + 1 + 1 + 2

5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1

Astfel, p (5) = 7.

Grafică

Ambele partiții și descompuneri aditive ale unui număr n pot fi reprezentate geometric. Să presupunem că avem o descompunere aditivă a lui n. În această descompunere, suplimentele pot fi aranjate astfel încât membrii sumei să fie ordonați de la cel puțin la cel mai mare. Deci, bine:

n = a ₁ + a ₂ + a ₃ + … + a _r cu

a ₁ ≤ a ₂ ≤ a ₃ ≤ … ≤ a _r .

Putem grafic această descompunere în felul următor: în primul rând marcăm _1- puncte, apoi în următorul marcăm ₂ puncte și așa mai departe până ajungem la _r .

Luăm de exemplu numărul 23 și următoarea descompunere a acestuia:

23 = 5 + 4 + 7 + 3 + 1 +3

Comandăm această descompunere și avem:

23 = 1 + 3 + 3 + 4+ 5 + 7

Graficul corespunzător ar fi: