DERIVATE SUCCESIVE (CU EXERCIȚII REZOLVATE) - MATEMATICA - 2025

De Derivații succesive sunt cele derivate de la o funcție după derivata a doua. Procesul de calcul al derivatelor succesive este următorul: avem o funcție f, pe care o putem deriva și astfel obținem funcția derivată f '. Putem deriva din nou acest derivat al lui f, obținând (f ')'.

Această nouă funcție se numește a doua derivată; toate derivatele calculate din a doua sunt succesive; Acestea, denumite și ordine superioară, au aplicații grozave, cum ar fi furnizarea de informații despre complotul graficului unei funcții, testul celui de-al doilea derivat pentru extremele relative și determinarea seriilor infinite.

Definiție

Folosind notația lui Leibniz, avem că derivata unei funcții „y” în raport cu „x” este dy / dx. Pentru a exprima a doua derivată a „y” folosind notația lui Leibniz, scriem astfel:

În general, putem exprima derivate succesive după cum urmează cu notația Leibniz, unde n reprezintă ordinea derivatului.

Alte notații utilizate sunt următoarele:

Câteva exemple în care putem vedea diferitele notații sunt:

Exemplul 1

Obțineți toate derivatele funcției f definite de:

Folosind tehnicile obișnuite de derivare, avem că derivata lui f este:

Repetând procesul putem obține a doua derivată, a treia derivată ș.a.

Rețineți că a patra derivată este zero și derivata de zero este zero, deci avem:

Exemplul 2

Calculați a patra derivată a următoarei funcții:

Prin derivarea funcției date avem ca rezultat:

Viteză și accelerație

Una dintre motivațiile care au dus la descoperirea derivatului a fost căutarea definirii vitezei instantanee. Definiția formală este următoarea:

Fie y = f (t) o funcție al cărei grafic descrie traiectoria unei particule la momentul t, atunci viteza ei în momentul t este dată de:

Odată obținută viteza unei particule, putem calcula accelerația instantanee, care este definită după cum urmează:

Accelerația instantanee a unei particule a cărei cale este dată de y = f (t) este:

Exemplul 1

O particulă se deplasează de-a lungul unei linii în funcție de funcția de poziție:

Unde „y” se măsoară în metri și „t” în câteva secunde.

- În ce moment este viteza 0?

- În ce moment este accelerația sa 0?

Atunci când derivăm funcția de poziție «și», avem viteza și accelerația acesteia sunt date, respectiv, de:

Pentru a răspunde la prima întrebare, este suficient să se determine când funcția v devine zero; aceasta este:

Procedăm cu următoarea întrebare într-un mod analog:

Exemplul 2

O particulă se deplasează de-a lungul unei linii conform următoarei ecuații de mișcare:

Determinați „t, y” și „v” când a = 0.

Știind că viteza și accelerația sunt date de

Procedăm la obținerea și obținerea:

Făcând a = 0, avem:

De unde putem deduce că valoarea lui t pentru a este egală cu zero este t = 1.

Apoi, evaluând funcția de poziție și funcția de viteză la t = 1, avem:

Aplicații

Derivare explicită

Derivații succesivi pot fi obținuți și prin derivare implicită.

Exemplu

Având în vedere următoarea elipsă, găsiți „y”:

Derivând implicit în raport cu x, avem:

Apoi implicit re-deriva cu privire la x ne oferă:

În cele din urmă, avem:

Extremele relative

O altă utilizare pe care o putem da derivatelor de ordinul secund este în calculul extremelor relative ale unei funcții.

Criteriul primei derivate pentru extremele locale ne spune că, dacă avem o funcție continuă f pe un interval (a, b) și există o c care aparține intervalului menționat astfel încât f 'dispare în c (adică că c este un punct critic), poate apărea unul dintre cele trei cazuri:

- Dacă f´ (x)> 0 pentru orice x aparținând lui (a, c) și f´ (x) <0 pentru x aparținând lui (c, b), atunci f (c) este un maxim local.

- Dacă f´ (x) <0 pentru orice x aparținând lui (a, c) și f´ (x)> 0 pentru x aparținând lui (c, b), atunci f (c) este un minim local.

- Dacă f´ (x) are același semn în (a, c) și în (c, b), implică faptul că f (c) nu este o extremă locală.

Folosind criteriul celei de-a doua derivate putem ști dacă un număr critic al unei funcții este un maxim local sau un minim, fără a fi necesar să vedem care este semnul funcției în intervalele menționate mai sus.

Criteriul celei de-a doua derivări ne spune că dacă f´ (c) = 0 și că f´´ (x) este continuu în (a, b), se întâmplă că dacă f´´ (c)> 0 atunci f (c) este un minim local și dacă f´´ (c) <0 atunci f (c) este un maxim local.

Dacă f´´ (c) = 0, nu putem încheia nimic.

Exemplu

Având în vedere funcția f (x) = x ⁴ + (4/3) x ³ - 4x ² , găsiți maximele relative și minimele lui f folosind criteriul celei de-a doua derivate.

Mai întâi calculăm f´ (x) și f´´ (x) și avem:

f´ (x) = 4x ³ + 4x ² - 8x

f´´ (x) = 12x ² + 8x - 8

Acum, f´ (x) = 0 dacă și doar dacă 4x (x + 2) (x - 1) = 0, iar acest lucru se întâmplă când x = 0, x = 1 sau x = - 2.

Pentru a determina dacă numerele critice obținute sunt extreme extreme, este suficient să se evalueze la f´ și astfel să se observe semnul acesteia.

f´´ (0) = - 8, deci f (0) este un maxim local.

f´´ (1) = 12, deci f (1) este un minim local.

f´´ (- 2) = 24, deci f (- 2) este un minim local.

Seria Taylor

Fie f o funcție definită după cum urmează:

Această funcție are o rază de convergență R> 0 și are derivate ale tuturor ordinelor din (-R, R). Derivatele succesive ale f ne oferă:

Luând x = 0, putem obține valorile lui c _n în funcție de derivatele lor după cum urmează:

Dacă luăm un = 0 ca funcție f (adică f ^ 0 = f), atunci putem rescrie funcția astfel:

Acum să luăm în considerare funcția ca o serie de puteri la x = a:

Dacă realizăm o analiză analogă celei anterioare, ar trebui să scriem funcția f as

Aceste serii sunt cunoscute ca serii Taylor de la f la a. Când a = 0 avem cazul particular numit seria Maclaurin. Acest tip de serie are o importanță matematică deosebită în special în analiza numerică, deoarece datorită acestora putem defini funcții în computere precum e ^x , sin (x) și cos (x).

Exemplu

Obțineți seria Maclaurin pentru e ^x .

Rețineți că, dacă f (x) = e ^x , atunci f ⁽ⁿ⁾ (x) = e ^x și f ⁽ⁿ⁾ (0) = 1, deci seria sa Maclaurin este:

Referințe

1. Frank Ayres, J., & Mendelson, E. (nd). Calcul 5ed. Mc Graw Hill.
2. Leithold, L. (1992). Calculul cu geometrie analitică. HARLA, SA
3. Purcell, EJ, Varberg, D., & Rigdon, SE (2007). Calcul. Mexic: Pearson Education.
4. Saenz, J. (2005). Calcul diferențial. Ipotenuză.
5. Saenz, J. (nd). Calcul integral. Ipotenuză.