DERIVATE IMPLICITE: MODUL ÎN CARE SUNT REZOLVATE ȘI EXERCIȚIILE REZOLVATE - MATEMATICA - 2025

Cele Derivații implicite sunt instrumente folosite în tehnica diferenierea aplicată funcțiilor. Acestea sunt aplicate atunci când nu este posibil, prin metode obișnuite, să se rezolve pentru variabila dependentă. Această autorizare este realizată în funcție de variabila independentă.

De exemplu, în expresia 3xy ³ - 2y + xy ² = xy, expresia care definește „y” ca funcție de „x” nu poate fi obținută. Deci, prin derivarea expresiei diferențiale dy / dx se poate obține.

Cum se rezolvă derivatele implicite?

Pentru a rezolva un derivat implicit, începem cu o expresie implicită. De exemplu: 3xy ³ - 2y + xy ² - xy = 0. Acest lucru a fost deja rezolvat corect, însă acest lucru nu este o condiție necesară pentru a obține derivata lui y în raport cu x. Apoi, fiecare dintre elemente este derivat respectând regula lanțului pentru funcții mixte:

3xy ³ este compus din 2 variabile, prin urmare d (3xy ³ ) va fi tratat ca derivat al unui produs de funcții.

d (3xy ³ ) / dx = 3y ³ + 3y ^2. (3x) y '= 3y ³ + 9xy ² y'

În cazul în care elementul y 'este cunoscut sub numele de "y prime" și reprezintă dy / dx

-2y Este derivat conform legii KU = K.U '

d (-2y) = -2 y '

xy ² presupune un alt diferențial compus dintr-un produs cu funcții

d (xy ² ) = y ² + 2xy y '

-xy este tratat omologic

d (-xy) = -y - x y '

Ele sunt substituite în egalitate, știind că derivatul zero este zero.

3y ³ + 9xy ² y '- 2 y' + y ² + 2xy y '- y - x y' = 0

Elementele care au termenul y 'sunt grupate pe o parte a egalității

3y ³ + y ² - y = -9xy ² y '+ 2 y' + x y '

Factorul comun y 'este extras din partea dreaptă a egalității

3y ³ + y ² - y = y '(-9xy ² + x + 2)

În sfârșit, termenul care se înmulțește y 'este șters. Obținând astfel expresia corespunzătoare derivatului implicit al lui y în raport cu x.

y '= dy / dx = (3y ³ + y ² - y) / (- 9xy ² + x + 2)

Regula lanțului

În derivare implicită, regula lanțului este întotdeauna respectată. Toate expresiile diferențiale vor fi date ca funcție a variabilei independente X. Deci, fiecare variabilă θ în afară de X, trebuie să includă termenul dθ / dx după ce a fost derivată.

Acest termen va apărea doar în primul grad sau cu un exponent egal cu 1. Această calitate o face complet clară în cadrul metodelor tradiționale de factoring. Astfel, este posibilă obținerea expresiei care definește diferențialul dθ / dx.

Regula lanțului arată natura progresivă a procesului de diferențiere sau derivat. Unde pentru fiecare funcție compusă f, avem că expresia diferențială a f va fi

Comanda operațională

În fiecare formulă sau lege de derivare care se aplică, trebuie să se țină seama de ordinea variabilelor. Criteriile asociate variabilei independente sunt respectate, fără a modifica corelația acesteia cu variabila dependentă.

Relația variabilei dependente în momentul derivării este luată direct; Cu excepția faptului că aceasta va fi considerată a doua funcție, motiv pentru care se aplică criteriul de regulă a lanțului pentru funcțiile mixte.

Aceasta poate fi dezvoltată în expresii cu mai mult de 2 variabile. Sub aceleași principii, toate diferențele care se referă la variabilele dependente vor fi notate.

Grafic, este tratat același criteriu care definește derivatul. În timp ce derivatul este panta liniei tangente la curba din plan, restul diferențialelor aparținând variabilelor dependente (dy / dx, dz / dx) reprezintă planele tangente la corpurile vectoriale descrise de funcțiile variabile multiple.

Implicit

Se spune că o funcție este definită implicit dacă expresia y = f (x) poate fi reprezentată ca o funcție variabilă multiplă F (x, y) = 0 atâta timp cât F este definită în planul R ² .

3xy ³ - 2y + xy ² = xy se poate scrie sub forma 3xy ³ - 2y + xy ² - xy = 0

Având în vedere imposibilitatea de a face funcția y = f (x) explicită.

Istorie

Calculul diferențial a început să fie numit de diverși cercetători matematici în jurul secolului al XVII-lea. Prima dată când a fost menționată a fost prin contribuțiile lui Newton și Leibniz. Ambele au tratat calculul diferențial din diferite puncte de vedere, dar convergând în rezultatele lor.

În timp ce Newton s-a concentrat pe diferențiere ca viteză sau viteză de schimbare, abordarea lui Leibniz a fost mai geometrică. Se poate spune că Newton a atacat conjecturile lăsate de Apollonius din Perge și Leibniz ideile geometrice ale lui Fermat.

Derivația implicită apare imediat când se iau în considerare ecuațiile diferențiale și integrale. Acestea extindeau conceptul geometric al lui Leibniz la R ³ și chiar la spații multidimensionale.

Aplicații

Derivatele implicite sunt utilizate în diferite situații. Ele sunt frecvente în problemele de schimb între variabilele aferente, unde, în funcție de sensul studiului, variabilele vor fi considerate dependente sau independente.

De asemenea, au aplicații geometrice interesante, cum ar fi în problemele de reflexie sau de umbră, pe figuri a căror formă poate fi modelată matematic.

Sunt frecvent utilizate în domeniile economiei și ingineriei, precum și în diverse investigații asupra fenomenelor naturale și a clădirilor experimentale.

Exerciții rezolvate

Exercitiul 1

Definiți expresia implicită care definește dy / dx

Fiecare element al expresiei este diferențiat

Stabilirea regulii lanțului în fiecare caz competent

Gruparea pe o parte a egalității elementelor care au dy / dx

Este factorat folosind factorul comun

Se rezolvă obținând expresia căutată

Exercițiul 2

Definiți expresia implicită care definește dy / dx

Exprimarea instrumentelor derivate care trebuie efectuate

Derivarea implicită în conformitate cu regula lanțului

Factoring elemente comune

Gruparea termenului dy / dx pe o parte a egalității

Factor comun pentru elementul diferențial

Izolăm și obținem expresia căutată

Referințe

1. Calculul unei variabile unice. Ron Larson, Bruce H. Edwards. Cengage Learning, 10 nov 2008
2. Teorema funcțiilor implicite: istorie, teorie și aplicații. Steven G. Krantz, Harold R. Parks. Springer Science & Business Media, 9 noiembrie. 2012
3. Analiza multivariabilă. Satish Shirali, Harkrishan Lal Vasudeva. Springer Science & Business Media, 13 decembrie. 2010
4. Dinamica sistemului: modelarea, simularea și controlul sistemelor mecatronice. Decanul C. Karnopp, Donald L. Margolis, Ronald C. Rosenberg. John Wiley & Sons, 7 mar 2012
5. Calcul: Matematică și modelare. William Bauldry, Joseph R. Fiedler, Frank R. Giordano, Ed Lodi, Rick Vitray. Addison Wesley Longman, 1 ian 1999