DERIVAT DE COTANGENT: CALCUL, DOVADĂ, EXERCIȚII - MATEMATICA - 2025

Derivata cotangentă este egală cu opusul pătratului cosecant „-Csc ² “. Această formulă respectă legile derivatului prin definiție și diferențierea funcțiilor trigonometrice. Se notează după cum urmează:

d (ctg u) = -csc ² u. du

În cazul în care „du” simbolizează expresia derivată din funcția de argument, cu privire la variabila independentă.

Sursa: Pixabay.com

Cum se calculează?

Procedura de dezvoltare a acestor derivate este destul de simplă. Este suficient doar să identificăm corect argumentul și tipul de funcție pe care îl reprezintă.

De exemplu, expresia Ctg (f / g) are o diviziune în argumentul său. Acest lucru va necesita o diferențiere față de U / V, după dezvoltarea derivatului cotangentului.

Cotangentul este reciprocul tangentei. În mod algebric, aceasta înseamnă că:

(1 / tg x) = ctg x

Ctg x = Cos x / Sen x

Este incorect să spunem că funcția cotangentă este „inversa” tangentei. Acest lucru se datorează faptului că funcția tangentă inversă prin definiție este tangentă arc.

(Tg ^-1 x) = arctg x

Conform trigonometriei pitagoreice, cotangentul este implicat în următoarele secțiuni:

Ctg x = (cos x) / (sin x)

Ctg ² x + 1 = Csc ² x

Conform trigonometriei analitice, acesta răspunde la următoarele identități:

Ctg (a + b) = (1 - tg a. Tg b) / (tg a + tg b)

Ctg (a - b) = (1 + tg a. Tg b) / (tg a - tg b)

Ctg (2a) = (1 - tg ² a) / (2tg a)

Caracteristicile funcției cotangente

Este necesară analizarea diferitelor caracteristici ale funcției f (x) = ctg x pentru a defini aspectele necesare studierii diferențierii și aplicării acesteia.

Asimptote verticale

Funcția cotangentă nu este definită pe valorile care fac ca expresia „Senx” să fie zero. Datorită echivalentului său Ctg x = (cos x) / (sin x), va avea o determinare în toate „nπ” cu n aparținând numerelor întregi.

Adică, în fiecare dintre aceste valori ale lui x = nπ va exista un asimptot vertical. Pe măsură ce vă apropiați de la stânga, valoarea cotangentului va scădea rapid, iar pe măsură ce vă apropiați de la dreapta, funcția va crește la nesfârșit.

Domeniu

Domeniul funcției cotangente este exprimat prin mulțimea {x ∈ R / x ≠ nπ, n ∈ Z}. Aceasta se citește „x aparținând setului de numere reale, astfel încât x este diferit de nπ, cu n aparținând setului de numere întregi”.

Rang

Gama funcției cotangente este de la minus la plus la infinit. Prin urmare, se poate concluziona că rangul său este setul de numere reale R.

Frecvență

Funcția cotangentă este periodică, iar perioada sa este egală cu π. În acest fel, egalitatea Ctg x = Ctg (x + nπ) este îndeplinită, unde n aparține lui Z.

Comportament

Este o funcție ciudată, deoarece Ctg (-x) = - Ctg x. În acest fel, se știe că funcția prezintă o simetrie în raport cu originea coordonate. De asemenea, prezintă o scădere a fiecărui interval situat între 2 asimptote verticale succesive.

Nu are valori maxime sau minime, deoarece aproximările sale la asimptotele verticale prezintă comportamente în care funcția crește sau scade la nesfârșit.

Cero-urile sau rădăcinile funcției cotangente se găsesc la multipli impari de π / 2. Acest lucru înseamnă că Ctg x = 0 păstrează pentru valorile formei x = nπ / 2 cu n număr întreg impar.

Demonstrație

Există 2 modalități de a dovedi derivata funcției cotangente.

Diferență trigonometrică diferențială

Este dovedit derivatul funcției cotangente din echivalentul său la sinine și cosinus.

Este tratat ca derivat al unei diviziuni a funcțiilor

După derivare, factorii sunt grupați și scopul este de a imita identitățile pitagoreene

Înlocuirea identităților și aplicarea reciprocității, expresia

Dovadă prin definiția derivatului

Expresia următoare corespunde derivatului prin definiție. În cazul în care distanța dintre 2 puncte ale funcției se apropie de zero.

Înlocuind cotangentul avem:

Identitățile sunt aplicate pentru suma argumentelor și reciprocității

Fracția numărătorului este operată în mod tradițional

Eliminând elementele opuse și luând un factor comun, obținem

Aplicând identități și reciprocitate pitagoreice trebuie

Elementele evaluate în x sunt constante în ceea ce privește limita, de aceea pot lăsa argumentul acestui lucru. Apoi se aplică proprietăți ale limitelor trigonometrice.

Limita este evaluată

Apoi se ia în considerare până când se atinge valoarea dorită

Derivatul cotangentului este astfel demonstrat ca opusul pătratului cosecantului.

Exerciții rezolvate

Exercitiul 1

Pe baza funcției f (x), definiți expresia f '(x)

Derivarea corespunzătoare se aplică respectând regula lanțului

Derivând argumentul

Uneori este necesar să se aplice identități reciproce sau trigonometrice pentru a adapta soluțiile.

Exercițiul 2

Definiți expresia diferențială corespunzătoare F (x)

Conform formulei de derivare și respectând regula lanțului

Argumentul este derivat, în timp ce restul rămâne același

Derivând toate elementele

Operarea în mod tradițional a produselor din aceeași bază

Se adaugă elemente egale și se extrage factorul comun

Semnele sunt simplificate și operate. Dând cale către expresia pe deplin derivată

Referințe

1. Serie trigonometrică, volumul 1. A. Zygmund. Cambridge University Press, 2002
2. Calculul unei variabile unice. Ron Larson, Bruce H. Edwards. Cengage Learning, 10 nov 2008
3. Calcul cu trigonometrie și geometrie analitică. John H. Saxon, John Saxon, Frank Wang, Diana Harvey. Saxon Publishers, 1988
4. Analiza multivariabilă. Satish Shirali, Harkrishan Lal Vasudeva. Springer Science & Business Media, 13 decembrie. 2010
5. Dinamica sistemului: modelarea, simularea și controlul sistemelor mecatronice. Decanul C. Karnopp, Donald L. Margolis, Ronald C. Rosenberg. John Wiley & Sons, 7 mar 2012
6. Calcul: Matematică și modelare. William Bauldry, Joseph R. Fiedler, Frank R. Giordano, Ed Lodi, Rick Vitray. Addison Wesley Longman, 1 ian 1999