COARDA (GEOMETRIE): LUNGIME, TEOREMĂ ȘI EXERCIȚII - MATEMATICA - 2025

O coardă , în geometrie plană, este segmentul de linie care unește două puncte pe o curbă. Se spune că linia care conține acest segment este o linie secantă la curbă. Acesta este adesea un cerc, dar acordurile pot fi desenate cu siguranță pe multe alte curbe, cum ar fi elipsele și parabolele.

În figura 1 din stânga există o curbă, din care aparțin punctele A și B. Coarda dintre A și B este segmentul verde. În dreapta este o circumferință și una dintre șirurile ei, deoarece este posibil să deseneze infinități.

Figura 1. La stânga coarda unei curbe arbitrare și la dreapta coarda unui cerc. Sursa: Wikimedia Commons.

În circumferință, diametrul său este deosebit de interesant, care este, de asemenea, cunoscut sub numele de coardă majoră. Este o coardă care conține întotdeauna centrul circumferinței și măsoară de două ori raza.

Figura următoare arată raza, diametrul, o coardă și, de asemenea, arcul unei circumferințe. Identificarea corectă a fiecăruia este importantă atunci când rezolvați problemele.

Figura 2. Elemente ale circumferinței. Sursa: Wikimedia Commons.

Lungimea coardelor unui cerc

Putem calcula lungimea coardelor într-un cerc din figurile 3a și 3b. Rețineți că un triunghi este întotdeauna format cu două laturi egale (izosceluri): segmente OA și OB, care măsoară R, raza circumferinței. A treia latură a triunghiului este segmentul AB, numit C, care este tocmai lungimea coardei.

Este necesar să trasați o linie perpendiculară pe coarda C pentru a bisecta unghiul θ care există între cele două raze și al cărui vertex este centrul O al circumferinței. Acesta este un unghi central - pentru că vertexul său este centrul - iar linia bisectoarei este, de asemenea, un secant la circumferință.

Se formează imediat două triunghiuri drepte, a căror hipotenuză măsoară R. Deoarece bisectoarea, și cu ea diametrul, împarte coarda în două părți egale, se dovedește că unul dintre picioare este jumătate din C, așa cum este indicat în Figura 3b.

Din definiția sinusului unui unghi:

sin (θ / 2) = picior opus / hipotenuză = (C / 2) / R

Prin urmare:

sin (θ / 2) = C / 2R

C = 2R sin (θ / 2)

Figura 3. Triunghiul format din două raze și o coardă de circumferință este izoscel (figura 3), deoarece are două laturi egale. Biserica o împarte în două triunghiuri drepte (figura 3b). Sursa: pregătit de F. Zapata.

Teorema de coarde

Teorema de coarde merge astfel:

Figura următoare prezintă două acorduri cu aceeași circumferință: AB și CD, care se intersectează în punctul P. În acordul AB sunt definite segmentele AP și PB, în timp ce în acordurile sunt definite CD CP și PD. Deci, conform teoremei:

AP. PB = CP. P.S.

Figura 4. Teorema coardelor unui cerc. Sursa: F. Zapata.

Rezolvarea exercițiilor de corzi

- Exercitiul 1

Un cerc are o coardă de 48 cm, care este la 7 cm de centru. Calculați aria cercului și perimetrul circumferinței.

Soluţie

Pentru a calcula aria cercului A, este suficient să cunoaștem raza circumferinței pătrate, deoarece este adevărat:

A = π.R ²

Acum, cifra care este formată cu datele furnizate este un triunghi drept, ale cărui picioare sunt de 7, respectiv 24 cm.

Figura 5. Geometria exercițiului rezolvat 1. Sursa: F. Zapata.

Prin urmare, pentru a găsi valoarea R ² , teorema lui Pitagora c ² = a ² + b ² se aplică în mod direct , deoarece R este ipotenuza triunghiului:

R ² = (7 cm) ² + (24 cm) ² = 625 cm ²

Deci, zona solicitată este:

A = π. 625 cm ² = 1963,5 cm ²

În ceea ce privește perimetrul sau lungimea L a circumferinței, aceasta se calculează prin:

L = 2π. R

Înlocuirea valorilor:

R = √625 cm ² = 25 cm

L = 2π. 25 cm = 157,1 cm.

- Exercițiul 2

Determinați lungimea coardelor unui cerc a cărui ecuație este:

x ² + y ² - 6x - 14y -111 = 0

Coordonatele punctului mediu al coardei sunt cunoscute a fi P (17/2; 7/2).

Soluţie

Punctul mijlociu al coardei P nu aparține circumferinței, dar punctele finale ale acordului sunt. Problema poate fi rezolvată folosind teorema șirului enunțată anterior, dar mai întâi este convenabil să scrieți ecuația circumferinței sub formă canonică, pentru a determina raza R și centrul său O.

Pasul 1: obțineți ecuația canonică a circumferinței

Ecuația canonică a cercului cu centrul (h, k) este:

(xh) ² + (yk) ² = R ²

Pentru a obține, trebuie să completați pătrate:

(x ² - 6x) + (y ² - 14y) -111 = 0

Rețineți că 6x = 2. (3x) și 14y = 2. (7y), astfel încât expresia anterioară este rescrisă astfel, rămânând neschimbată:

(x ² - 6x + 3 ² -3 ² ) + (y ² - 14y + 7 ² -7 ² ) -111 = 0

Și acum, amintind definiția produsului remarcabil (ab) ² = a ² - 2ab + b ² puteți scrie:

(x - 3) ² - 3 ² + (y - 7) ² - 7 ² - 111 = 0

= (x - 3) ² + (y - 7) ² = 111 + 3 ² + 7 ² → (x - 3) ² + (y - 7) ² = 169

Circumferința are centrul (3,7) și raza R = √169 = 13. Figura următoare arată graficul circumferinței și acordurile care trebuie utilizate în teoremă:

Figura 6. Graficul circumferinței exercițiului rezolvat 2. Sursa: F. Zapata folosind calculatorul online de grafică Mathway.

Pasul 2: determinați segmentele de utilizat în teorema șirurilor

Segmentele care urmează să fie utilizate sunt șirurile CD și AB, conform figurii 6, ambele sunt tăiate în punctul P, prin urmare:

CP. PD = AP. PB

Acum vom găsi distanța dintre punctele O și P, deoarece aceasta ne va oferi lungimea segmentului OP. Dacă adăugăm raza la această lungime, vom avea segmentul CP.

Distanța d _OP între două puncte de coordonate (x ₁ , y ₁ ) și (x ₂ , y ₂ ) este:

d _OP ² = OP ² = (x ₂ - x ₁ ) ² + (y ₂ - y ₁ ) ² = (3- 17/2) ² + (7- 7/2) ² = 121/4 + 49/4 = 170/4

d _OP = OP = √170 / 2

Cu toate rezultatele obținute, plus graficul, construim următoarea listă de segmente (a se vedea figura 6):

CO = 13 cm = R

OP = √170 / 2 cm

CP = OP + R = 13 + √170 / 2 cm

PD = OD - OP = 13 - √170 / 2 cm

AP = PB

2.AP = lungimea coardelor

Înlocuirea teoremei șirului:

CP. PD = AP. PB = = AP ²

= AP ²

253/2 = AP ²

AP = √ (253/2)

Lungimea șirului este 2.AP = 2 (√253 / 2) = √506

Cititorul ar putea rezolva problema într-un alt mod?

Referințe

1. Baldor, A. 2004. Geometria planului și spațiului cu trigonometrie. Publicaciones Cultural SA de CV México.
2. C-K12. Lungimea unei corzi. Recuperat de la: ck12.org.
3. Escobar, J. Circumferința. Recuperat din: matematicas.udea.edu.co.
4. Villena, M. Cónicas. Recuperat din: dspace.espol.edu.ec.
5. Wikipedia. Frânghie (Geometrie). Recuperat de la: es.wikipedia.org.