CÂTE SOLUȚII ARE O ECUAȚIE PATRATICĂ? - MATEMATICA - 2025

O ecuație cuadratică sau ecuație cuadratică poate avea zero, una sau două soluții reale, în funcție de coeficienții care apar în ecuația menționată.

Dacă lucrați pe numere complexe, atunci puteți spune că fiecare ecuație patratică are două soluții.

Pentru început, o ecuație patratică este o ecuație a formei ax² + bx + c = 0, unde a, b și c sunt numere reale și x este o variabilă.

Se spune că x1 este o soluție a ecuației patratice anterioare dacă înlocuirea lui x cu x1 satisface ecuația, adică dacă a (x1) ² + b (x1) + c = 0.

Dacă, de exemplu, avem ecuația x²-4x + 4 = 0, atunci x1 = 2 este o soluție deoarece (2) ²-4 (2) + 4 = 4-8 + 4 = 0.

Dimpotrivă, dacă înlocuim x2 = 0 obținem (0) ²-4 (0) + 4 = 4 și deoarece 4 ≠ 0 atunci x2 = 0 nu este o soluție a ecuației patratice.

Soluțiile unei ecuații pătratice

Numărul soluțiilor unei ecuații cvadratice poate fi separat în două cazuri care sunt:

unu.-

Când lucrați cu numere reale, ecuațiile patratice pot avea:

-Soluții zero: adică nu există un număr real care să satisfacă ecuația patratică. De exemplu, ecuația dată ecuația x² + 1 = 0, nu există un astfel de număr real care să satisfacă ecuația menționată, deoarece ambele x² sunt mai mari sau egale cu zero și 1 este strict mai mare decât zero, deci suma lor va fi mai mare strict decât zero.

-O soluție repetată: există o singură valoare reală care satisface ecuația patratică. De exemplu, singura soluție la ecuația x²-4x + 4 = 0 este x1 = 2.

-Doua solutii diferite: exista doua valori care satisfac ecuatia quadratica. De exemplu, x² + x-2 = 0 are două soluții diferite care sunt x1 = 1 și x2 = -2.

2.- În numere complexe

Când se lucrează cu numere complexe, ecuațiile cvadratice au întotdeauna două soluții care sunt z1 și z2 unde z2 este conjugatul z1. De asemenea, pot fi clasificate în:

-Comentarii: soluțiile sunt de forma z = p ± qi, unde p și q sunt numere reale. Acest caz corespunde primului caz din lista anterioară.

-Completele pure: este atunci când partea reală a soluției este egală cu zero, adică soluția are forma z = ± qi, unde q este un număr real. Acest caz corespunde primului caz din lista anterioară.

-Completări cu o parte imaginară egală cu zero: este atunci când partea complexă a soluției este egală cu zero, adică soluția este un număr real. Acest caz corespunde ultimelor două cazuri din lista anterioară.

Cum se găsesc soluțiile unei ecuații patratice?

Pentru a calcula soluțiile unei ecuații cvadratice, se folosește o formulă cunoscută sub numele de "rezolvatorul", care spune că soluțiile unei ecuații ax² + bx + c = 0 sunt date de expresia din imaginea următoare:

Cantitatea care apare în rădăcina pătrată este denumită discriminantă a ecuației patratice și este notată cu litera „d”.

Ecuația patratică va avea:

-Doua solutii reale daca, si numai daca, d> 0.

-O soluție reală repetată dacă, și numai dacă, d = 0.

-Zero soluții reale (sau două soluții complexe) dacă și numai dacă, d <0.

Exemple:

-Soluțiile ecuației x² + x-2 = 0 sunt date de:

-Ecuatia x²-4x + 4 = 0 are o solutie repetata care este data de:

-Soluțiile ecuației x² + 1 = 0 sunt date de:

După cum se poate observa în acest ultim exemplu, x2 este conjugatul lui x1.

Referințe

1. Fuentes, A. (2016). MATH DE BAZĂ. O introducere în calcul. Lulu.com.
2. Garo, M. (2014). Matematică: ecuații patratice .: Cum rezolvați o ecuație patratică. Marilù Garo.
3. Haeussler, EF, & Paul, RS (2003). Matematică pentru management și economie. Pearson Education.
4. Jiménez, J., Rofríguez, M., & Estrada, R. (2005). Matematica 1 SEP. Prag.
5. Preciado, CT (2005). Curs de matematica a 3-a. Editorial Progreso.
6. Rock, NM (2006). Algebra I este ușor! Atât de ușor. Echipa Rock Press.
7. Sullivan, J. (2006). Algebră și trigonometrie. Pearson Education.