COORDONATE DREPTUNGHIULARE: EXEMPLE ȘI EXERCIȚII REZOLVATE - MATEMATICA - 2025

Cele coordonate rectangulare sau carteziene sunt acelea care se obțin pe ortogonal proeminente cele trei axe carteziene X, Y, Z un punct situat în trei - spațiu tridimensional.

Axele carteziene sunt linii orientate reciproc perpendicular între ele. În sistemul de coordonate carteziene, fiecărui punct din spațiu i se atribuie trei numere reale care sunt coordonatele sale dreptunghiulare.

Figura 1. Coordonatele dreptunghiulare ale punctului P (Elaborare proprie)

Un plan este un subspațiu al spațiului tridimensional. În cazul în care se iau în considerare punctele pe un plan, atunci este suficient să se aleagă o pereche de axe perpendiculare X, Y ca sistem cartezian. Apoi, fiecărui punct al planului i se atribuie două numere reale care sunt coordonatele sale dreptunghiulare.

Originea coordonatelor dreptunghiulare

Coordonatele dreptunghiulare au fost inițial propuse de matematicianul francez René Descartes (1596 și 1650), motiv pentru care sunt numite carteziene.

Cu această idee a lui Descartes, punctele planului și ale spațiului sunt atribuite numere, astfel încât figurile geometrice au asociate o ecuație algebrică și teoremele geometrice clasice pot fi dovedite algebric. Cu coordonatele carteziene, se naște geometria analitică.

Avionul cartezian

Dacă într-un plan se aleg două linii perpendiculare care se intersectează într-un punct O; și dacă, în plus, fiecărei linii i se atribuie o direcție și o scară numerică între punctele echidistante succesive, atunci există un sistem sau plan cartezian în care fiecare punct al planului este asociat cu o pereche ordonată de două numere reale care sunt proiecțiile lor respectiv pe axele X și Y.

Punctele A = (3, 2); B = (- 2, 3); C = (- 2, -3) și D = (3, -3) sunt reprezentate în planul cartezian așa cum se arată mai jos:

Figura 2. Puncte în planul cartezian. (Elaborare proprie)

Rețineți că cele două axe X și Y împart planul în patru sectoare numite cadrane. Punctul A se află în primul cadran, punctul B se află în cel de-al doilea cadran, punctul C se află în cel de-al treilea cadran, iar punctul D este în al patrulea cadran.

Distanța dintre două puncte

Distanța dintre două puncte A și B pe planul cartezian este lungimea segmentului care le unește. Această distanță poate fi calculată analitic după cum urmează:

d (A, B) = √ (Bx - Ax) ^ 2 + (By - Ay) ^ 2)

Formula de mai sus este obținută prin aplicarea teoremei pitagoreice.

Aplicând această formulă la punctele A, B din figura 2 avem:

d (A, B) = √ (-2 - 3) ^ 2 + (3 - 2) ^ 2) = √ (-5) ^ 2 + 1 ^ 2) = √ (26)

Adică d (A, B) = 5,10 unități. Rețineți că distanța a fost obținută fără a fi necesară măsurarea cu o riglă, a fost urmată o procedură complet algebrică.

Expresia analitică a unei linii

Coordonatele dreptunghiulare permit reprezentarea analitică a obiectelor geometrice fundamentale precum punctul și linia. Două puncte A și B definesc o singură linie. Panta liniei este definită drept coeficientul dintre diferența coordonatelor Y ale punctului B minus A, împărțit la diferența coordonatelor X ale punctului B minus A:

pantă = (By - Ay) / (Bx - Ax)

Orice punct P al coordonatelor (x, y) care aparține liniei (AB) trebuie să aibă aceeași pantă:

panta = (y - Ay) / (x - Ax)

Ecuația care se obține prin egalitatea versanților este reprezentarea analitică sau algebrică a liniei care trece prin punctele A și B:

(y - Ay) / (x - Ax) = (By - Ay) / (Bx - Ax).

Dacă luăm pentru A și B coordonatele dreptunghiulare ale figurii 2 avem:

(y - 2) / (x - 3) = (3 - 2) / (- 2 - 3)

(y - 2) / (x - 3) = -⅕

În acest caz particular, avem o linie cu o pantă negativă -⅕, ceea ce înseamnă că prin localizarea pe un punct de pe linie și creșterea coordonatei x cu o unitate, coordonata y scade cu 0,2 unități.

Cel mai obișnuit mod de a scrie ecuația liniei în plan este cu coordonata y curățată ca funcție a variabilei x:

y = - (1/5) x + 13/5

Exemple

Exemplul 1

Obțineți prin metode analitice distanța dintre punctele C și A, fiind coordonatele dreptunghiulare ale lui C = (-2, -3) și cele ale lui A = (3,2).

Formula distanței euclidiene între aceste două puncte este scrisă astfel:

d (A, C) = √ ((Cx - Ax) ^ 2 + (Cy - Ay) ^ 2)

Înlocuind coordonatele lor dreptunghiulare corespunzătoare avem:

d (A, C) = √ (-2 - 3) ^ 2 + (-3 - 2) ^ 2) = √ (-5) ^ 2 + (-5) ^ 2) = 5√2 = 7,07

Exemplul 2

Obțineți ecuația liniei care trece prin punctul C al coordonatelor (-2, -3) și punctul P al coordonatelor (2, 0).

În primul rând, panta liniei CP este obținută:

panta = (0 - (- 3)) / (2 - (-2)) = ¾

Orice punct Q al coordonatelor dreptunghiulare generice (x, y) care aparține liniei CP trebuie să aibă aceeași pantă:

panta = (y - (- 3)) / (x - (-2)) = (y +3) / (x +2)

Cu alte cuvinte, ecuația liniei CP este:

(y +3) / (x +2) = ¾

O modalitate alternativă de a scrie ecuația liniei CP este soluționarea pentru y:

y = ¾ x - 3/2

Exerciții rezolvate

Exercitiul 1

Obțineți coordonatele dreptunghiulare ale punctului de intersecție dintre liniile y = - (1/5) x + 13/5 și linia y = ¾ x - 3/2.

Soluție: Prin definiție, punctul de intersecție al celor două linii împart aceleași coordonate dreptunghiulare. Prin urmare, coordonatele y la punctul de intersecție sunt identice pentru ambele linii:

- (1/5) x + 13/5 = ¾ x - 3/2

ceea ce duce la următoarea expresie:

(¾ + ⅕) x = 13/5 +3/2

rezolvând suma fracțiilor obținute:

19/20 x = 41/10

Rezolvarea pentru x:

x = 82/19 = 4.32

Pentru a obține valoarea y a intersecției, valoarea x obținută este înlocuită în oricare dintre liniile:

y = ¾ 4,32 - 3/2 = 1,74

Aceasta înseamnă că liniile date se intersectează în punctul I al coordonatelor I = (4.32, 1.74).

Exercițiul 2

Obțineți ecuația circumferinței care trece prin punctul R al coordonatelor dreptunghiulare (3, 4) și care are centrul la originea coordonatelor.

Soluție: Raza R este distanța de la punctul R până la originea O a coordonatelor (0, 0).

d (R, O) = √ ((Rx - 0) ^ 2 + (Ry - 0) ^ 2) = √ ((3 - 0) ^ 2 + (4 - 0) ^ 2) = √ (3 ^ 2 + 4 ^ 2) = √ (9 + 16) = √ (25) = 5

Adică este un cerc cu raza 5 centrat la (0,0).

Orice punct P (x, y) al circumferinței trebuie să aibă aceeași distanță 5 față de centru (0, 0), astfel încât să poată fi scris:

d (P, O) = √ ((x - 0) ^ 2 + (y - 0) ^ 2) = √ (x ^ 2 + y ^ 2) = 5

Adică:

√ (x ^ 2 + y ^ 2) = 5

Pentru a elimina rădăcina pătrată, ambii membri ai egalității sunt pătrați, obținând:

x ^ 2 + y ^ 2 = 25

Care este ecuația circumferinței.

Acest exemplu ilustrează puterea sistemului de coordonate dreptunghiulare, care permite determinarea obiectelor geometrice, cum ar fi circumferința, fără a fi nevoie să folosiți hârtie, creion și busolă. Circumferința solicitată a fost determinată exclusiv prin metode algebrice.

Referințe

1. Arfken G și Weber H. (2012). Metode matematice pentru fizicieni. Un ghid cuprinzător. Ediția a VII-a. Presă academică. ISBN 978-0-12-384654-9
2. Calcul cc. Probleme rezolvate ale coordonatelor dreptunghiulare. Recuperat din: calculo.cc
3. Weisstein, Eric W. „Coordonatele carteziene”. De la WebWorld-A Wolfram. Recuperat de la: mathworld.wolfram.com
4. wikipedia. Sistemul de coordonate carteziene. Recuperat din: en.wikipedia.com