CALCULUL APROXIMĂRILOR FOLOSIND DIFERENȚIALUL - MATEMATICA - 2025

O aproximare în matematică este un număr care nu este valoarea exactă a ceva, dar este atât de aproape de acesta încât este considerat la fel de util ca acea valoare exactă.

Când aproximările sunt făcute în matematică, este pentru că manual este dificil (sau uneori imposibil) să știi valoarea exactă a ceea ce vrei.

Instrumentul principal atunci când lucrați cu aproximații este diferențialul unei funcții.

Diferențialul unei funcții f, notat cu Δf (x), nu este altceva decât derivata funcției f ori de modificarea variabilei independente, adică Δf (x) = f '(x) * Δx.

Uneori, df și dx sunt utilizate în loc de Δf și Δx.

Aproximatii folosind diferentialul

Formula care se aplică pentru a realiza o aproximare prin diferențial rezultă tocmai din definiția derivatului unei funcții ca limită.

Această formulă este dată de:

f (x) ≈ f (x0) + f '(x0) * (x-x0) = f (x0) + f' (x0) * Δx.

Aici se înțelege că Δx = x-x0, deci x = x0 + Δx. Folosind aceasta formula poate fi rescrisa ca

f (x0 + Δx) ≈ f (x0) + f '(x0) * Δx.

Trebuie menționat că „x0” nu este o valoare arbitrară, ci o valoare astfel încât f (x0) să fie ușor cunoscută; în plus, „f (x)” este doar valoarea pe care dorim să o aproximăm.

Există aproximări mai bune?

Raspunsul este da. Cele de mai sus sunt cele mai simple dintre aproximările numite „aproximare liniară”.

Pentru aproximări de calitate mai bună (eroarea făcută este mai mică) se folosesc polinomii cu mai mulți derivați numiți „polinoame Taylor”, precum și alte metode numerice, cum ar fi metoda Newton-Raphson, printre altele.

Strategie

Strategia de urmat este:

- Alegeți o funcție potrivită f pentru a efectua aproximarea și valoarea «x» astfel încât f (x) să fie valoarea care trebuie aproximată.

- Alegeți o valoare „x0”, aproape de „x”, astfel încât f (x0) să fie ușor de calculat.

- Calculați Δx = x-x0.

- Calculați derivata funcției y f '(x0).

- Înlocuiți datele din formulă.

Exerciții de aproximare rezolvate

În ceea ce continuă, există o serie de exerciții în care se fac aproximări cu ajutorul diferențialului.

Primul exercițiu

Aproximativ √3.

Soluţie

În urma strategiei, trebuie aleasă o funcție adecvată. În acest caz, se poate observa că funcția de ales trebuie să fie f (x) = √x, iar valoarea care trebuie să fie aproximată este f (3) = √3.

Acum trebuie să alegem o valoare „x0” aproape de „3” astfel încât f (x0) să fie ușor de calculat. Dacă se alege „x0 = 2”, atunci „x0” este aproape de „3”, dar f (x0) = f (2) = √2 nu este ușor de calculat.

Valoarea corespunzătoare a „x0” este „4”, deoarece „4” este aproape de „3” și, de asemenea, f (x0) = f (4) = √4 = 2.

Dacă "x = 3" și "x0 = 4", atunci Δx = 3-4 = -1. Acum procedăm la calcularea derivatului din f. Adică f '(x) = 1/2 * √x, deci f' (4) = 1 / 2√4 = 1/2 * 2 = 1/4.

Înlocuind toate valorile din formula obținută:

√3 = f (3) ≈ 2 + (1/4) * (- 1) = 2 - 1/4 = 7/4 = 1,75.

Dacă utilizați un calculator obțineți √3≈1.73205… Acest lucru arată că rezultatul anterior este o bună aproximare a valorii reale.

Al doilea exercițiu

Aproximativ √10.

Soluţie

Ca și înainte, f (x) = √xy este aleasă ca funcție, în acest caz x = 10.

Valoarea x0 pentru a alege acest moment este "x0 = 9". Avem atunci că Δx = 10-9 = 1, f (9) = 3 și f '(9) = 1 / 2√9 = 1/2 * 3 = 1/6.

La evaluarea în formulă se obține că

√10 = f (10) ≈ 3 + 1 * 1/6 = 3 + 1/6 = 19/6 = 3.1666 …

Folosind un calculator se obține că √10 ≈ 3.1622776 … Aici se poate observa și că a fost obținută o aproximare bună.

Al treilea exercițiu

Aproximativ ³√10, unde ³√ denumește rădăcina cubului.

Soluţie

În mod clar funcția care va fi utilizată în acest exercițiu este f (x) = ³√x, iar valoarea „x” trebuie să fie „10”.

O valoare apropiată de „10” astfel încât rădăcina cubului său este cunoscută este „x0 = 8”. Atunci avem că Δx = 10-8 = 2 și f (x0) = f (8) = 2. Avem și faptul că f '(x) = 1/3 * ³√x² și, în consecință, f' (8) = 1/3 * ³√8² = 1/3 * ³√64 = 1/3 * 4 = 1/12.

Înlocuind datele din formulă, se obține că:

³√10 = f (10) ≈ 2 + (1/12) * 2 = 2 + 1/6 = 13/6 = 2.166666 …

Calculatorul spune că ³√10 ≈ 2.15443469 … Prin urmare, aproximarea găsită este bună.

Al patrulea exercițiu

Aproximativ ln (1.3), unde „ln” denumește funcția logaritmului natural.

Soluţie

Mai întâi alegem ca funcție f (x) = ln (x), iar valoarea „x” este 1,3. Acum, știind puțin despre funcția de logaritm, putem ști că ln (1) = 0 și, în plus, „1” este aproape de „1.3”. Prin urmare, "x0 = 1" este ales și astfel Δx = 1,3 - 1 = 0,3.

Pe de altă parte f '(x) = 1 / x, astfel încât f' (1) = 1. Atunci când evaluăm în formula dată avem:

ln (1.3) = f (1.3) ≈ 0 + 1 * 0.3 = 0.3.

Folosind un calculator avem acel ln (1.3) ≈ 0.262364 … Așadar, aproximarea făcută este bună.

Referințe

1. Fleming, W., & Varberg, DE (1989). Precalculus Matematica. Sala Prentice PTR.
2. Fleming, W., & Varberg, DE (1989). Precalculus matematica: o abordare de rezolvare a problemelor (2, ed. Ilustrată). Michigan: Sala Prentice.
3. Fleming, W., & Varberg, D. (1991). Algebra și trigonometria cu geometrie analitică. Pearson Education.
4. Larson, R. (2010). Precalculus (8 ed.). Cengage Learning.
5. Leal, JM și Viloria, NG (2005). Geometrie analitică plan. Mérida - Venezuela: Editorial Venezolana CA
6. Pérez, CD (2006). Precalculation. Pearson Education.
7. Purcell, EJ, Varberg, D., & Rigdon, SE (2007). Calcul (ediția a noua). Sala Prentice.
8. Saenz, J. (2005). Calcul diferențial cu funcții transcendente timpurii pentru știință și inginerie (ediția a doua ediție). Ipotenuză.
9. Scott, CA (2009). Geometria planului cartezian, partea: Conics analitice (1907) (ed. Reimprimată). Sursa fulgerului.
10. Sullivan, M. (1997). Precalculation. Pearson Education.