4 EXERCIȚII DE FACTORING CU SOLUȚII - MATEMATICA - 2025

Exerciții factorizarea ajuta să înțeleagă această tehnică, mult utilizate în matematică și în procesul de scriere a unei sume ca un produs al anumitor termeni.

Cuvântul factorizare se referă la factori, care sunt termeni care înmulțesc alți termeni. De exemplu, în factorizarea primă a unui număr natural, numerele prime implicate sunt numite factori.

Adică 14 pot fi scrise ca 2 * 7. În acest caz, factorii primi ai 14 sunt 2 și 7. Același lucru este valabil și pentru polinoamele variabilelor reale.

Adică, dacă aveți un polinom P (x), atunci factorizarea polinomului constă în scrierea P (x) ca produs al altor polinoame cu un grad mai mic decât gradul P (x).

factoring

Sunt utilizate diverse tehnici pentru factorizarea unui polinom, incluzând produse notabile și pentru calcularea rădăcinilor polinomului.

Dacă avem un polinom de gradul doi P (x) și x1 și x2 sunt rădăcinile reale ale lui P (x), atunci P (x) poate fi considerată ca „a (x-x1) (x-x2)", unde „a” este coeficientul care însoțește puterea cvadratică.

Cum se calculează rădăcinile?

Dacă polinomul este de gradul 2, atunci rădăcinile pot fi calculate cu formula numită "rezolvatorul".

Dacă polinomul este de gradul 3 sau mai mare, metoda Ruffini este utilizată de obicei pentru calcularea rădăcinilor.

4 exerciții de factoring

Primul exercițiu

Factorul următorul polinom: P (x) = x²-1.

Soluţie

Nu este întotdeauna necesar să se utilizeze soluționarea. În acest exemplu puteți utiliza un produs remarcabil.

Rescrierea polinomului după cum urmează, putem vedea ce produs notabil să folosim: P (x) = x² - 1².

Folosind produsul remarcabil 1, diferența pătratelor, avem în vedere că polinomul P (x) poate fi considerat astfel: P (x) = (x + 1) (x-1).

Acest lucru indică în plus că rădăcinile lui P (x) sunt x1 = -1 și x2 = 1.

Al doilea exercițiu

Factorul următorul polinom: Q (x) = x³ - 8.

Soluţie

Există un produs remarcabil care spune următoarele: a³-b³ = (ab) (a² + ab + b²).

Știind acest lucru, polinomul Q (x) poate fi rescris după cum urmează: Q (x) = x³-8 = x³ - 2³.

Acum, folosind produsul remarcabil descris, avem în vedere că factorizarea polinomului Q (x) este Q (x) = x³-2³ = (x-2) (x² + 2x + 2²) = (x-2) (x² + 2x + 4).

Polinomul pătrat care a apărut în etapa anterioară rămâne a fi factorizat. Dar dacă te uiți la el, produsul remarcabil # 2 te poate ajuta; prin urmare, factorizarea finală a lui Q (x) este dată de Q (x) = (x-2) (x + 2) ².

Aceasta spune că o rădăcină de Q (x) este x1 = 2 și că x2 = x3 = 2 este cealaltă rădăcină de Q (x), care se repetă.

Al treilea exercițiu

Factorul R (x) = x² - x - 6.

Soluţie

Atunci când un produs remarcabil nu poate fi detectat sau experiența necesară pentru a manipula expresia nu este disponibilă, vom continua cu utilizarea rezolvării. Valorile sunt următoarele: a = 1, b = -1 și c = -6.

Înlocuirea lor în formulă rezultă x = (-1 ± √ ((- 1) ² - 4 * 1 * (- 6))) / 2 * 1 = (-1 ± √25) / 2 = (-1 ± 5 )/Două.

De aici există două soluții care sunt următoarele:

x1 = (-1 + 5) / 2 = 2

x2 = (-1-5) / 2 = -3.

Prin urmare, polinomul R (x) poate fi considerat ca R (x) = (x-2) (x - (- 3)) = (x-2) (x + 3).

Al patrulea exercițiu

Factorul H (x) = x³ - x² - 2x.

Soluţie

În acest exercițiu, putem începe luând factorul comun x și obținem că H (x) = x (x²-x-2).

Prin urmare, rămâne doar să factorizăm polinomul pătrat. Folosind din nou rezolvarea, avem în vedere că rădăcinile sunt:

x = (-1 ± √ ((-1) ²-4 * 1 * (- 2))) / 2 * 1 = (-1 ± √9) / 2 = (-1 ± 3) / 2.

Prin urmare, rădăcinile polinomului cvadratic sunt x1 = 1 și x2 = -2.

În concluzie, factorizarea polinomului H (x) este dată de H (x) = x (x-1) (x + 2).

Referințe

1. 1. Fuentes, A. (2016). MATH DE BAZĂ. O introducere în calcul. Lulu.com.
   2. Garo, M. (2014). Matematică: ecuații patratice: Cum rezolvați o ecuație patratică. Marilù Garo.
   3. Haeussler, EF, & Paul, RS (2003). Matematică pentru management și economie. Pearson Education.
   4. Jiménez, J., Rofríguez, M., & Estrada, R. (2005). Matematica 1 SEP. Prag.
   5. Preciado, CT (2005). Curs de matematica a 3-a. Editorial Progreso.
   6. Rock, NM (2006). Algebra I este ușor! Atât de ușor. Echipa Rock Press.
   7. Sullivan, J. (2006). Algebră și trigonometrie. Pearson Education.