TEORIA DE AȘTEPTARE: ISTORIE, MODEL, PENTRU CE ESTE ȘI EXEMPLE - MATEMATICA - 2025

Teoria eșalonare este ramura matematicii care studiază fenomenele și comportamentele în liniile de așteptare. Acestea sunt definite atunci când un utilizator care solicită un anumit serviciu decide să aștepte procesarea serverului.

Studiați elementele care sunt prezente în liniile de așteptare de orice tip, indiferent dacă sunt elemente umane, sau prelucrări de date sau operațiuni. Concluziile sale sunt de aplicare constantă în linii de producție, înregistrare și procesare.

Font Pexels

Valorile sale servesc la parametrizarea proceselor anterioare punerii lor în aplicare, servind ca element organizatoric cheie pentru gestionarea corectă a planificării.

Istorie

Principalul responsabil pentru dezvoltarea sa a fost matematicianul danez Agner Kramp Erlang, care a lucrat la compania de telecomunicații din Copenhaga.

Agner a remarcat nevoile crescânde ale sistemului de furnizare a serviciilor telefonice ale companiei. De aceea, a început studiul fenomenelor matematice care ar putea fi cuantificate în sistemul de linii de așteptare.

Prima sa publicație oficială a fost un articol intitulat Queuing Theory, care a fost publicat în 1909. Atenția sa a fost în principal orientată către problema dimensionării liniilor și a centrelor de comutare telefonică pentru serviciul de apel.

Model și elemente

Există diferite modele de cozi unde anumite aspecte sunt responsabile de definirea și caracterizarea fiecăruia dintre ele. Înainte de a defini modelele, sunt prezentate elementele care alcătuiesc fiecare model de coadă.

-Elements

Sursa de intrare sau populația potențială

Este setul de posibili solicitanți ai serviciului. Aceasta se aplică oricărui tip de variabilă, de la utilizatori umani la seturi de pachete de date. Acestea sunt clasificate în finite și infinite în funcție de natura setului.

Coada

Se referă la setul de elemente care fac parte deja din sistemul de servicii. Care au fost deja de acord să aștepte disponibilitatea operatorului. Se află în stare de așteptare pentru rezoluții de sistem.

-Sistemul de coada

Este alcătuită din triada formată din coadă, mecanismul de serviciu și disciplina cozii. Oferă structură protocolului de sistem, care guvernează criteriile de selecție pentru elementele din coadă.

- Mecanism de serviciu

Este procesul prin care serviciul este furnizat fiecărui utilizator.

-Client

Este orice element aparținând populației potențiale care solicită un serviciu. Este important să cunoaștem rata de intrare a clienților, precum și probabilitatea ca sursa să le genereze.

-Capacitatea de intrare

Se referă la capacitatea maximă a articolelor care pot fi așteptate să fie servite. Poate fi considerat finit sau infinit, fiind în majoritatea cazurilor infinit după criterii de practicitate.

-Disciplina cozii

Este protocolul prin care se determină ordinea în care se servește clientul. Acesta servește ca canal de procesare și comandă pentru utilizatori, fiind responsabil pentru dispunerea și deplasarea lor în coadă. În conformitate cu criteriile dvs., acesta poate fi de diferite tipuri.

- FIFO: Din acronimul din engleză First in first out, cunoscut și sub numele de FCFS primul venit. Ceea ce înseamnă, respectiv, Primul în primul afară și Primul în primul pentru a fi servit. Ambele forme denotă faptul că primul client care va sosi va fi primul servit.

- LIFO: ultimul în prima ieșire, de asemenea, cunoscut sub numele de stivă sau LCFS ultimul servit. În cazul în care clientul care a ajuns ultimul este servit mai întâi.

- RSS: Selectarea aleatorie a serviciului numit și serviciu SIRO în ordine aleatorie, unde clienții sunt selectați după criterii aleatorii sau aleatorii.

modele

Există 3 aspecte care guvernează modelul de coadă de luat în considerare. Acestea sunt următoarele:

- Distribuția timpului între sosiri: se referă la viteza cu care se adaugă unități la coadă. Sunt valori funcționale și sunt supuse diferitelor variabile în funcție de natura lor.

- Distribuirea timpului de serviciu: timp folosit de server pentru procesarea serviciului solicitat de client. Acesta variază în funcție de numărul de operații sau proceduri stabilite.

Aceste 2 aspecte pot lua următoarele valori:

M: distribuție exponențială exponențială (Markoviana).

D: Distribuție degenerată (timpi constanți).

E _k : Distribuția Erlang cu parametrul formei k.

G: Distribuție generală (orice distribuție).

- Număr de servere: Porțile de serviciu sunt deschise și disponibile pentru clienții procesatori. Ele sunt esențiale în definirea structurală a fiecărui model de coadă.

În acest fel, sunt definite modelele de coadă, luând mai întâi inițialele cu majuscule ale distribuției timpului de sosire și a distribuției timpului de serviciu. În cele din urmă, numărul de servere este studiat.

Un exemplu destul de comun este MM 1, care se referă la un tip exponențial de distribuție a timpului de sosire și serviciu, în timp ce lucrează cu un singur server.

Alte tipuri de modele de coadă sunt MM s, MG 1, ME 1, DM 1, printre altele.

Tipuri de sisteme de coadă

Există mai multe tipuri de sisteme în coadă în care mai multe variabile servesc ca indicatori ai tipului de sistem prezentat. Dar fundamental este guvernat de numărul de cozi și de numărul de servere. Se aplică și structura liniară la care este supus utilizatorul pentru a obține serviciul.

- O coadă și un server. Este structura obișnuită, în care utilizatorul prin sistemul de sosire intră în coadă, unde după ce își termină așteptarea în funcție de disciplina cozii și este procesat de singurul server.

- O coadă și mai multe servere. Utilizatorul, la sfârșitul timpului său de așteptare, poate merge pe diferite servere care pot fi executanți ale acelorași procese, precum și pot fi private pentru diferite proceduri.

- Mai multe cozi și mai multe servere. Structura poate fi divizată pentru diferite procese sau poate servi ca un canal larg pentru a acoperi o cerere mare de servicii comune.

- O coadă cu servere secvențiale. Utilizatorii trec prin diferite etape. Acestea intră și ocupă un loc în coadă, iar când sunt deservite de primul server, trec la o nouă etapă care necesită realizări anterioare făcute în primul serviciu.

Terminologie

- λ: Acest simbol (Lambda) reprezintă în teoria cozii valoarea așteptată a intrărilor pe interval de timp.

- 1 / λ: corespunde valorii așteptate între orele de sosire ale fiecărui utilizator care intră în sistem.

- μ: Simbolul Mu corespunde numărului preconizat de clienți care completează serviciul pe unitatea de timp. Aceasta se aplică fiecărui server.

- 1 / μ: Timpul de serviciu așteptat de sistem.

- ρ: Simbolul Rho indică factorul de utilizare al serverului. Este folosit pentru a măsura cât timp va fi serverul care prelucrează utilizatorii.

ρ = λ / sμ

Dacă p> 1, sistemul va fi tranzitoriu, va tinde să crească, deoarece rata de utilitate a serverului este sub numărul de utilizatori care intră în sistem.

Dacă p <1 sistemul va rămâne stabil.

Pentru ce este teoria

A fost creat pentru a optimiza procesele de furnizare a serviciilor telefonice. Aceasta demarcă o utilitate în ceea ce privește fenomenele liniilor de așteptare, unde se urmărește reducerea valorilor de timp și anularea oricărui tip de refacere sau proces redundant care încetinește procesul utilizatorilor și operatorilor.

Font Pexels

La niveluri mai complexe, unde variabilele de intrare și de serviciu iau valori mixte, calculele efectuate în afara teoriei cozii sunt aproape de neconceput. Formulele oferite de teorie au deschis calcule avansate în această ramură.

Elemente prezente în formule

- Pn: valoare care se referă la probabilitatea ca „n” unități să se afle în sistem.

- Lq: lungimea cozii sau valoarea medie a utilizatorilor din ea.

- Ls: Media unităților din sistem.

- Wq: rata medie de așteptare în coadă.

- Ws: Rata de așteptare medie în sistem.

- _λ: numărul mediu de clienți care intră în serviciu.

- Ws (t): valoare care se referă la probabilitatea ca un client să rămână mai mult decât unități „t” în sistem.

- Wq (t): valoare care se referă la probabilitatea ca un client să rămână mai mult decât unități „t” în coadă.

Exemple

Un registru are un singur server pentru a procesa pașapoartele utilizatorilor care vin. O medie de 35 de utilizatori pe oră participă la registru. Serverul are capacitatea de a servi 45 de utilizatori pe oră. Se știe anterior că utilizatorii petrec în medie 5 minute în coadă.

Tu vrei să știi:

1. Timpul mediu pe care fiecare utilizator îl petrece în sistem
2. Numărul mediu de clienți la coadă

Avem λ = 35/45 Clienți / minute

μ = 45/60 clienți / minute

Wq = 5 minute

Partea A

Timpul mediu în sistem poate fi calculat cu Ws

Ws = Wq + 1 / μ = 5 minute + 1,33 = 6,33 minute

În acest fel, timpul total în care utilizatorul va fi în sistem este definit, unde 5 minute vor fi la coadă și 1,33 minute cu serverul.

Partea b

Lq = λ x Wq

Lq = (0,78 minute minute) x (5 minute) = 3,89 clienți

În coadă pot fi mai mult de 3 clienți simultan.

Referințe

1. De gestionare a operațiunilor. Editorial Vértice, 16 apr. 2007
2. Teoria cozilor sau a liniei de așteptare. Germán Alberto Córdoba Barahona. Pontificia Universitatea Javeriana, 2002
3. Teoria sistemelor a rezolvat problemele. Roberto Sanchis Llopis. Publicațiile Universității Jaume I, 2002
4. Metode cantitative de organizare industrială II. Joan Baptista Fonollosa Guardiet, José María Sallán Laws, Albert Suñé Torrents. Univ. Politèc. din Catalunya, 2009
5. Teoria inventarului și aplicarea acesteia. Editorial Pax-México, 1967