TRANSFORMAREA FOURIER: PROPRIETĂȚI, APLICAȚII, EXEMPLE - MATEMATICA - 2025

Transformata Fourier este o metodă de adecvare analitică orientată spre funcții integrabile , care aparține familiei de transformate integrale. Ea constă într-o redefinire a funcțiilor f (t) în termeni de Cos (t) și Sen (t).

Identitățile trigonometrice ale acestor funcții, împreună cu caracteristicile lor de derivare și antiderivare, servesc la definirea transformării Fourier prin următoarea funcție complexă:

Ceea ce este adevărat atâta timp cât expresia are sens, adică atunci când integrala improprie este convergentă. Se spune că în mod algebric transformarea Fourier este un homeomorfism liniar.

Fiecare funcție care poate fi lucrată cu o transformare Fourier trebuie să prezinte nul în afara unui parametru definit.

Proprietăți

Sursa: pexels

Transformarea Fourier îndeplinește următoarele proprietăți:

Existenţă

Pentru a verifica existența transformării Fourier într-o funcție f (t) definită în realele R , trebuie îndeplinite următoarele 2 axiome:

1. f (t) este continuu pentru toate R
2. f (t) este integrabil în R

Linearitate de transformare Fourier

Fie M (t) și N (t) să fie orice două funcții cu transformări Fourier definite, cu orice constante a și b.

F (z) = a F (z) + b F (z)

Ceea ce este susținută și de liniaritatea integralei cu același nume.

Transformarea Fourier a unei derivate

Există o funcție f care este continuă și integrabilă în toate realitățile, unde:

Iar derivata lui f (f ') este continuă și definită pe tot parcursul lui R

Transformarea Fourier a unui derivat este definită prin integrarea pe părți, prin următoarea expresie:

F (z) = iz F (z)

În derivate de ordin superior, acesta va fi aplicat într-un mod omolog, unde pentru toate n 1 avem:

F (z) = (iz) ⁿ F (z)

Diferențierea transformărilor Fourier

Există o funcție f care este continuă și integrabilă în toate realitățile, unde:

Transformarea Fourier a unei traduceri

Pentru fiecare θ care aparține unui set S și T care aparține setului S ', avem:

F = e ^-iay FF = e ^-iax F

Cu τ _o funcție de operator de traducere pe vectorul a.

Traducerea transformării Fourier

Pentru fiecare θ care aparține unui set S și T care aparține setului S ', avem:

τ _a F = F τ _a F = F

Pentru toate din care fac parte R

Transformarea Fourier a unui grup de scară

Pentru tot θ care aparține unui set S. T care aparține setului S '

λ aparținând lui R - {0} avem:

F = (1 / -λ-) F ( y / λ )

F = (1 / -λ-) F (y / λ )

Dacă f este o funcție continuă și clar integrabilă, unde a> 0. Atunci:

F (z) = (1 / a) F (z / a)

Pentru a demonstra acest rezultat, putem continua cu modificarea variabilei.

Când T → + atunci s = la → + ∞

Când T → - atunci s = la → - ∞

Simetrie

Pentru a studia simetria transformării Fourier, trebuie verificată identitatea Parseval și formula Plancherel.

Avem θ și δ care aparțin S. De acolo se poate deduce că:

Obținerea

1 / (2π) ^d { F, F } Identitate parsevală

1 / (2π) ^{d / 2} - F - _L ² _R ^d Formula plancherelului

Transformarea Fourier a unui produs de convoluție

Urmărind obiective similare ca în transformarea Laplace, convoluția funcțiilor se referă la produsul dintre transformările lor Fourier.

Avem f și g ca 2 funcții delimitate, definite și complet integrabile:

F (f * g) = F (f). F (g)

F (f). F (g) = F (f. G)

Continuitatea și căderea în infinit

Pentru ce este transformata Fourier?

Acesta servește în primul rând pentru a simplifica în mod semnificativ ecuațiile, transformând în același timp expresiile derivate în elemente de putere, denotând expresii diferențiale sub formă de polinoame integrabile.

În optimizarea, modularea și modelarea rezultatelor, acționează ca o expresie standardizată, fiind o resursă frecventă pentru inginerie după mai multe generații.

Seria Fourier

Sunt serii definite în termeni de Cosine și Sine; Ele servesc pentru a facilita munca cu funcții periodice generale. Atunci când sunt aplicate, acestea fac parte din tehnicile de soluționare a ecuațiilor diferențiale obișnuite și parțiale.

Seriile Fourier sunt chiar mai generale decât seriile Taylor, deoarece dezvoltă funcții discontinue periodice care nu au reprezentarea seriei Taylor.

Alte forme din seria Fourier

Pentru a înțelege transforma Fourier în mod analitic, este important să trecem în revistă celelalte moduri în care seria Fourier poate fi găsită, până când seria Fourier poate fi definită în notația sa complexă.

-Seria mai fierbinte pe o funcție a perioadei 2L

De multe ori este necesară adaptarea structurii unei serii Fourier la funcțiile periodice a căror perioadă este p = 2L> 0 în interval.

-Seria mai tare în funcții impare și impare

Se consideră intervalul, care oferă avantaje atunci când se profită de caracteristicile simetrice ale funcțiilor.

Dacă f este egal, seria Fourier este stabilită ca o serie de Cosine.

Dacă f este ciudat, seria Fourier este stabilită ca o serie de sinusuri.

-Notarea complexă a seriei Fourier

Dacă avem o funcție f (t), care îndeplinește toate cerințele de dezvoltare a seriei Fourier, este posibil să o denotăm în interval folosind notația sa complexă:

Aplicații

Sursa: pexels

Calculul soluției fundamentale

Transformarea Fourier este un instrument puternic în studiul ecuațiilor diferențiale parțiale de tip liniar cu coeficienți constanți. Se aplică pentru funcții cu domenii nelimitate în mod egal.

La fel ca transforma Laplace, transformarea Fourier transformă o funcție derivată parțială într-o ecuație diferențială obișnuită mult mai simplă de a opera.

Problema Cauchy pentru ecuația de căldură prezintă un câmp de aplicare frecventă a transformării Fourier unde este generat nucleul de căldură sau funcția lui Dirichlet.

În ceea ce privește calculul soluției fundamentale, sunt prezentate următoarele cazuri în care este comună găsirea transformării Fourier:

Teoria semnalelor

Motivul general pentru aplicarea transformării Fourier în această ramură se datorează în mare măsură descompunerii caracteristice a unui semnal ca o superpoziție infinită a semnalelor mai ușor de tratat.

Poate fi o undă sonoră sau o undă electromagnetică, transformarea Fourier o exprimă într-o superpoziție de unde simple. Această reprezentare este destul de frecventă în inginerie electrică.

Pe de altă parte, sunt exemple de aplicare a transformării Fourier în domeniul teoriei semnalului:

Exemple

Exemplul 1

Definiți transformarea Fourier pentru următoarea expresie:

Îl putem reprezenta și în felul următor:

F (t) = Sen (t)

Impulsul dreptunghiular este definit:

p (t) = H _{(t + k)} - H _{(t - k)}

Transformarea Fourier se aplică la următoarea expresie care seamănă cu teorema modulației.

f (t) = p (t) Sen (t)

Unde: F = (1/2) i

Iar transformarea Fourier este definită de:

F = (1/2) i

Exemplul 2

Definiți transformarea Fourier pentru expresia:

Deoarece f (h) este o funcție uniformă, se poate afirma că

Integrarea pe părți se aplică selectând variabilele și diferențialele acestora după cum urmează

u = sin (zh) du = z cos (zh) dh

dv = h (e ^-h ) ² v = (e ^-h ) ² /2

Înlocuirea pe care o aveți

După evaluarea sub teorema fundamentală a calculului

Aplicând cunoștințe anterioare cu privire la ecuațiile diferențiale de ordinul întâi, expresia este notată ca:

Pentru a obține K evaluăm

În cele din urmă, transformarea Fourier a expresiei este definită ca fiind

Exerciții propuse

• 

• 

• Obțineți transformarea expresiei W / (1 + w ² )

Referințe

1. Duoandikoetxea Zuazo, J., Analiza Fourier. Addison– Wesley Iberoamericana, Universitatea Autonomă din Madrid, 1995.
2. Lions, JL, analiză matematică și metode numerice pentru știință și tehnologie. Springer - Verlag, 1990.
3. Lieb, EH, sâmburele gaussiene au doar maximizatoare gaussiene. Inventa. Math. 102 , 179-208, 1990.
4. Dym, H., McKean, HP, Seria Fourier și Integrale. Academic Press, New York, 1972.
5. Schwartz, L., Théorie des Distributions. Ed. Hermann, Paris, 1966.