REGULA SARRUS: DIN CE CONSTĂ ȘI TIPURI DE DETERMINANȚI - VOCABULARUL CULTURII - 2025

Regula Sarrus este utilizată pentru a calcula rezultatul 3 × 3 factori determinanți. Acestea sunt utilizate pentru a rezolva ecuațiile liniare și pentru a afla dacă sunt compatibile.

Sistemele compatibile facilitează obținerea soluției. De asemenea, sunt utilizate pentru a determina dacă seturile de vectori sunt liniar independente și pentru a forma baza spațiului vectorial.

Aceste aplicații se bazează pe invertibilitatea matricilor. Dacă o matrice este regulată, determinantul ei este diferit de 0. Dacă este singular, determinantul ei este egal cu 0. Determinanții pot fi calculați doar în matrici pătrate.

Pentru a calcula matricile de orice ordine, teorema lui Laplace poate fi folosită. Această teoremă ne permite să simplificăm matricile de dimensiuni mari, în sume de determinanți mici pe care îi descompunem din matricea principală.

Acesta afirmă că determinantul unei matrice este egal cu suma produselor fiecărui rând sau coloană, de câte ori determinantul matricei adiacente.

Aceasta reduce determinanții astfel încât un determinant de grad n devine n determinanți de n-1. Dacă aplicăm succesiv această regulă, putem obține determinanți ai dimensiunii 2 (2 × 2) sau 3 (3 × 3), unde calculul acesteia este mult mai ușor.

Sarrus stăpânește

Pierre Frederic Sarrus a fost un matematician francez din secolul al XIX-lea. Majoritatea tratatelor sale matematice se bazează pe metode de rezolvare a ecuațiilor și calculul variațiilor, în cadrul ecuațiilor numerice.

Într-unul din tratatele sale, a rezolvat una dintre cele mai complexe ghicitori în mecanică. Pentru a rezolva problemele pieselor articulate, Sarrus a introdus transformarea mișcărilor rectilinii alternative, în mișcări circulare uniforme. Acest nou sistem este cunoscut sub numele de mecanismul Sarrus.

Cercetarea care a dat cea mai mare faimă acestui matematician a fost aceea în care a introdus o nouă metodă de calcul al determinanților, în articolul „Nouvelles méthodes pour la résolution des équations” (Nouă metodă pentru soluționarea ecuațiilor), care a fost publicată în anul 1833. Acest mod de soluționare a ecuațiilor liniare este cunoscut ca regula lui Sarrus.

Regula lui Sarrus ne permite să calculăm determinantul unei matrice 3 × 3, fără a fi nevoie să folosim teorema lui Laplace, introducând o metodă mult mai simplă și mai intuitivă. Pentru a verifica valoarea regulii lui Sarrus, luăm orice matrice de dimensiunea 3:

Calculul determinantului său ar fi efectuat folosind produsul principalelor diagonale, scăzând produsul diagonalelor inverse. Aceasta va fi următoarea:

Regula lui Sarrus ne permite să obținem o viziune mult mai ușoară atunci când calculăm diagonalele determinantului. Ar fi simplificată prin adăugarea primelor două coloane în spatele matricei. În acest fel, se vede mai clar care sunt diagonalele sale principale și care sunt inversele pentru calculul produsului.

Prin această imagine putem vedea aplicarea regulii lui Sarrus, includem rândul 1 și 2, sub reprezentarea grafică a matricei inițiale. În acest fel, principalele diagonale sunt cele trei diagonale care apar prima.

Cele trei diagonale inversă, la rândul lor, sunt cele care apar prima dată în spate.

În acest fel, diagonalele apar într-un mod mai vizual, fără a complica rezoluția determinantului, încercând să afle care sunt elementele matricei care aparțin fiecărei diagonale.

După cum apare în imagine, alegem diagonalele și calculăm produsul rezultat al fiecărei funcții. Diagonalele care apar în albastru sunt cele care se adaugă. La suma acestora, scăzem valoarea diagonalelor care apar în roșu.

Pentru a facilita compresia, putem folosi un exemplu numeric, în loc să folosim termeni și subterme algebrice.

Dacă luăm orice matrice 3 × 3, de exemplu:

Pentru a aplica regula lui Sarrus și a o rezolva într-un mod mai vizual, ar trebui să includem rândurile 1 și 2, ca rândul 4, respectiv 5. Este important să menținem rândul 1 în a 4-a poziție, iar rândul 2 în a 5-a poziție. Deoarece dacă le schimbăm, Regula Sarrus nu va fi eficientă.

Pentru a calcula determinantul, matricea noastră ar fi următoarea:

Pentru a continua calculul, vom multiplica elementele diagonalelor principale. Descendenții care încep de la stânga vor avea un semn pozitiv; în timp ce diagonalele inverse, care pornesc de la dreapta, au semn negativ.

În acest exemplu, cele albastre ar avea un semn pozitiv, iar cele roșii cu un semn negativ. Calculul final al Regulii Sarrus ar arăta astfel:

Tipuri de determinanți

Determinant al dimensiunii 1

Dacă dimensiunea matricei este 1, matricea arată astfel: A = (a)

Prin urmare, determinantul său ar fi următorul: det (A) = -A- = a

În rezumat, determinantul matricei A este egal cu valoarea absolută a matricei A, care în acest caz este a.

Determinant al dimensiunii 2

Dacă trecem la matrici cu dimensiunea 2, obținem matrici de tipul:

În cazul în care determinantul său este definit ca:

Rezoluția acestui determinant se bazează pe înmulțirea diagonalei sale principale, scăzând produsul diagonalei sale inversă.

Ca mnemonic, putem folosi următoarea diagramă pentru a-și aminti determinantul:

Determinant al dimensiunii 3

Dacă dimensiunea matricei este 3, matricea rezultată ar fi de acest tip:

Determinantul acestei matrice ar fi rezolvat prin regula lui Sarrus în acest fel:

Referințe

1. Jenny Olive (1998) Matematică: un student's Survival Guide. Presa universitară din Cambridge.
2. Richard J. Brown (2012) 30-Second Maths: The 50 Most Mind-Expanding Theories in Mathematics. Ivy Press Limited.
3. Dave Kirkby (2004) Maths Connect. Heinemann.
4. Awol Assen (2013) Un studiu privind calculul determinanților unei matrice 3 × 3. Editura Lap Lambert Academic.
5. Anthony Nicolaides (1994) Determinanți și matrice. Publicarea trecerii.
6. Jesse Russell (2012) Regula lui Sarrus.
7. M. Casteleiro Villalba (2004) Introducere în algebră liniară. Editorial ESIC.