NUMERE ÎNTREGI: PROPRIETĂȚI, EXEMPLE, EXERCIȚII - MATEMATICA - 2025

De Numerele întregi sunt un set de numere utile pentru a conta obiecte haves complete și nu au. De asemenea, să-i numeri pe cei care sunt pe o parte și pe cealaltă a unui anumit loc de referință.

De asemenea, cu numere întregi puteți efectua scăderea sau diferența dintre un număr și altul mai mare decât acesta, rezultatul fiind decontat ca o datorie, de exemplu. Distincția dintre câștiguri și datorii se face cu semne + și - respectiv.

Figura 1. Linia de număr pentru numere întregi. Sursa: Wikimedia Commons. Leomg / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0).

Prin urmare, setul de numere întregi include următoarele:

-Intregi pozitive, care sunt scrise precedate de un semn + sau pur și simplu fără semn, deoarece se înțelege, de asemenea, că sunt pozitive. De exemplu: +1, +2, + 3 … și așa mai departe.

-0, în care semnul nu are relevanță, deoarece nu contează adăugarea acestuia pentru a-l scădea dintr-o anumită cantitate. Dar 0 este foarte important, deoarece este referința pentru numerele întregi: pe o parte sunt pozitivele, iar pe cealaltă negativele, așa cum vedem în figura 1.

-Numere întregi negative, care trebuie să fie întotdeauna scrise precedate de semn -, deoarece cu ele se disting sume precum datoriile și toate cele care sunt de cealaltă parte a referinței. Exemple de numere întregi negative sunt: ​​-1, -2, -3 … și după aceea.

Cum sunt reprezentate numerele întregi?

La început reprezentăm numerele întregi cu nota de set: Z = {… -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, + 4 …}, adică liste și organizat. Dar o reprezentare foarte utilă este cea folosită de linia numerică. Acest lucru necesită desenarea unei linii, care este în general orizontală, pe care 0 este marcat și împărțit în secțiuni identice:

Figura 2. Reprezentarea numerelor întregi pe linia numerică. De la 0 la dreapta sunt numerele întregi pozitive și de la 0 la stânga cele negative. Sursa: F. Zapata.

Negativele merg la stânga 0 și pozitivele merg la dreapta. Săgețile de pe linia numerică simbolizează că numerele merg până la infinit. Având în vedere orice număr întreg, este întotdeauna posibil să găsești unul mai mare sau altul mai mic.

Valoarea absolută a unui număr întreg

Valoarea absolută a unui număr întreg este distanța dintre număr și 0. Și distanțele sunt întotdeauna pozitive. Prin urmare, valoarea absolută a numărului întreg negativ este numărul fără semnul său minus.

De exemplu, valoarea absolută a -5 este 5. Valoarea absolută este notată de bare, după cum urmează:

--5- = 5

Pentru a o vizualiza, numărați spațiile pe linia numerică, de la -5 la 0. În timp ce valoarea absolută a unui număr întreg pozitiv este același număr, de exemplu - + 3- = 3, deoarece distanța sa de la 0 este cu 3 spații:

Figura 3. Valoarea absolută a unui număr întreg este întotdeauna o cantitate pozitivă. Sursa: F. Zapata.

Proprietăți

-Setul de numere întregi este notat ca Z și include setul de numere naturale N, elementele lor fiind infinite.

-Un număr întreg și cel care urmează (sau cel care îl preced) sunt întotdeauna diferențiate în unitate. De exemplu, după 5 vine 6, 1 fiind diferența dintre ele.

-Fiecare număr întreg are un predecesor și un succesor.

-Oricine număr întreg pozitiv este mai mare de 0.

-Un număr întreg negativ este întotdeauna mai mic de 0 și orice număr pozitiv. Luăm, de exemplu, numărul -100, acesta este mai mic de 2, decât 10 și mai mult de 50. Dar este, de asemenea, mai mic decât -10, -20 și -99 și este mai mare decât -200.

-0 nu are considerații de semn, deoarece nu este nici negativ, nici pozitiv.

-Cu numere întregi puteți efectua aceleași operații care se fac cu numere naturale, și anume: adunare, scădere, înmulțire, împuternicire și multe altele.

-Interul opus unui anumit număr întreg x, este –x și suma unui număr întreg cu opusul său este 0:

x + (-x) = 0.

Operațiuni cu numere întregi

- Suma

-Dacă numerele de adăugat au același semn, se adaugă valorile lor absolute și rezultatul se plasează cu semnul pe care îl au completările. Aici sunt cateva exemple:

a) (+8) + (+9) = 8 + 9 = +17

b) (-12) + (- 10) = - (12 + 10) = -22

-Dacă numerele au un semn diferit, valorile absolute sunt scăzute (cele mai mari din cele mai mici) și rezultatul este plasat cu semnul numărului cu cea mai mare valoare absolută, după cum urmează:

a) (-8) + (21) = 21 - 8 = 13

b) (-9) + (+4) = - (9-4) = -5

Proprietăți ale sumelor întregi

-Suma este comutativă, deci ordinea completărilor nu modifică suma. Fie a și b două numere întregi, este adevărat că a + b = b + a

-0 este elementul neutru al sumei întregi: a + 0 = a

- Orice număr întreg adăugat la opusul său este 0. Opusul lui + a este –a și, invers, opusul lui –a este + a. Prin urmare: (+ a) + (-a) = 0.

Figura 2. Regula semnelor pentru adăugarea numerelor întregi. Sursa: Wikimedia Commons.

- Scăderea

Pentru a scădea numere întregi, trebuie ghidată de această regulă: scăderea este echivalentă cu adăugarea unui număr cu opusul său. Fie a și b două numere, apoi:

a - b = a + (-b)

De exemplu, să presupunem că trebuie să faceți următoarea operație: (-3) - (+7), apoi:

(-3) - (+7) = (-3) + (-7) = - (3 + 7) = -10

- Înmulțirea

Înmulțirea numerelor întregi respectă anumite reguli pentru semne:

-Produsul a două numere cu același semn este întotdeauna pozitiv.

-Când se înmulțesc două numere cu semne diferite, rezultatul este întotdeauna negativ.

-Valitatea produsului este egală cu înmulțirea valorilor absolute respective.

Imediat câteva exemple care clarifică cele de mai sus:

(-5) x (+8) = - 5 x 8 = -40

(-10) x (-12) = 10 x 12 = 120

(+4) x (+32) = 4 x 32 = 128

Proprietăți de înmulțire a numerelor întregi

-Multiplicarea este comutativă. Fie a și b două numere întregi, este adevărat că: ab = ba, care poate fi exprimat și ca:

-Elementul neutru al înmulțirii este 1. Fie un număr întreg, deci a.1 = 1

-Oricine număr întreg înmulțit cu 0 este egal cu 0: a.0 = 0

Proprietatea distributivă

Înmulțirea respectă proprietatea distributivă cu privire la adăugare. Dacă a, b și c sunt numere întregi, atunci:

a. (b + c) = ab + ac

Iată un exemplu de aplicare a acestei proprietăți:

(-3). = (-3). (- 4) + (- 3) .11 = 12 - 33 = 12 + (-33) = -21

Imputernicire

-Dacă baza este pozitivă, rezultatul operației este întotdeauna pozitiv.

-Când baza este negativă, dacă exponentul este egal, rezultatul este pozitiv. iar dacă exponentul este ciudat, rezultatul este negativ.

- Divizia

Aceleași reguli de semn se aplică în diviziune ca și înmulțire:

-De împărțirea a două numere întregi cu același semn, rezultatul este întotdeauna pozitiv.

-Când două numere întregi cu semne diferite sunt împărțite, coeficientul este negativ.

De exemplu:

(-12) ÷ (-4) = 3

33 ÷ (-3) = -11

Important : divizarea nu este comutativă, cu alte cuvinte a ÷ b ≠ b ÷ a și ca întotdeauna, împărțirea cu 0 nu este permisă.

- Imputernicire

Fie un număr întreg și dorim să-l creștem la un exponent n, atunci trebuie să înmulțim o singură n ori, așa cum se arată mai jos:

a ⁿ = aaaa… ..a

De asemenea, luați în considerare următoarele, ținând cont de faptul că n este un număr natural:

-Dacă a este negativ și n este egal, rezultatul este pozitiv.

-Când a este negativ și n este ciudat, rezultă un număr negativ.

-Dacă a este pozitivă și n este egal sau par, rezultă întotdeauna un număr întreg pozitiv.

-Oricine număr întreg ridicat la 0 este egal cu 1: a ⁰ = 1

-Oricine număr ridicat la 1 este egal cu numărul: a ¹ = a

Să spunem, de exemplu, că vrem să găsim (–3) ⁴ , pentru a face acest lucru, înmulțim (-3) de patru ori de unul singur, astfel: (–3). (- 3). (- 3). (- 3) = 81.

Un alt exemplu, de asemenea, cu un număr întreg negativ este:

(-2) ³ = (-2). (- 2). (- 2) = -8

Produsul puterilor de bază egală

Să presupunem două puteri de bază egală, dacă le înmulțim obținem o altă putere cu aceeași bază, al cărei exponent este suma exponenților dați:

a ⁿ a ^m = a ^{n + m}

Coeficient de puteri de bază egale

La împărțirea puterilor cu o bază egală, rezultatul este o putere cu aceeași bază, al cărei exponent este scăderea exponenților dați:

a ⁿ ÷ a ^m = a ^{n - m}

Iată două exemple care clarifică aceste puncte:

(-2) ^3. (- 2) ⁵ = (-2) ^{3 + 5} = (-2) ⁸

5 ⁶ ÷ 5 ⁴ = 5 ^6-4 = 5 ²

Exemple

Haideți să vedem exemple simple pentru a aplica aceste reguli, amintind că, în cazul unor numere întregi pozitive, semnul poate fi eliminat cu:

a) (+6) + (+14) = 6 + 14 = 20

b) (-8) + (- 10) = - (8 + 10) = -18

c) (-16) + (+7) = - 16 + 7 = -9

d) (+4) + (-8) + (-25) = + (-25) = -25 = -4 -25 = -29

e) (-8) - (+15) = (-8) + (-15) = -8 - 15 = -23

f) (+3) x (+9) = 3 x 9 = 27

g) (- 4) x (-11) = 4 x 11 = 44

h) (+5) x (-12) = - 5 x 12 = -60

i) (-2) ³ = (-2) x (-2) x (-2) = - 8

Exerciții rezolvate

- Exercitiul 1

O furnică se deplasează de-a lungul liniei numerice din figura 1. Pornind de la punctul x = +3, face următoarele mișcări:

-Mută 7 unități la dreapta

-Acum returnati 5 unitati spre stanga

-Peste 3 unități mai la stânga.

-Se întoarce și se deplasează 4 unități spre dreapta.

În ce moment este furnica de la sfârșitul turului?

Soluţie

Să apelăm la deplasările D. Când sunt la dreapta, li se dă un semn pozitiv și când sunt la stânga un semn negativ. În acest fel, și pornind de la x = +3 avem:

-Primul D: x ₁ = +3 + 7 = +10

-Secunda D: x ₂ = +10 + (-5) = +5

-Trasul D: x ₃ = +5 + (-3) = +2

-Room D: x ₄ = +2 + 4 = +6

Când furnica își termină mersul, este în poziția x = +6. Adică este 6 unități la dreapta de 0 pe linia numerică.

- Exercițiul 2

Rezolvați următoarea operație:

{36 +}. {- + 2 (-8 + 6)]}

Soluţie

Această operație conține semne de grupare, care sunt paranteze, paranteze pătrate și bretele. Când rezolvați, trebuie să aveți grijă mai întâi de paranteze, apoi de paranteze și, în sfârșit, de paranteze. Cu alte cuvinte, trebuie să lucrezi din interior spre exterior.

În acest exercițiu, punctul reprezintă o înmulțire, dar dacă nu există un punct între un număr și o paranteză sau un alt simbol, se înțelege că este un produs.

Sub rezoluție pas cu pas, culorile servesc ca un ghid pentru a urmări rezultatul reducerii parantezelor, care sunt simbolurile de grupare cele mai interioare:

{36 +}. {- + 2 (-8 + 6)]} =

= {36 +}. {- + 2 (-2)]} =

= {36 +}. {- 4]} =

= {52}. {1- 4]} = {52}. {- 3} = -156

- Exercițiul 3

Rezolvați ecuația de gradul întâi:

12 + x = 30 + 3x

Soluţie

Termenii sunt grupați cu necunoscutul din stânga egalității și termenii numerici din dreapta:

x - 3x = 30 - 12

- 2x = 18

x = 18 / (-2)

x = - 9

Referințe

1. Carena, M. 2019. Manual de matematică preuniversitară. Universitatea Națională din Litoral.
2. Figuera, J. 2000. Matematica clasa a VII-a. Ediții CO-BO.
3. Hoffmann, J. 2005. Selecția subiectelor de matematică. Publicații Monfort.
4. Jiménez, R. 2008. Algebra. Sala Prentice.
5. Numerele întregi. Recuperat din: Cimanet.uoc.edu.