VECTORII SIMULTAN: CARACTERISTICI, EXEMPLE ȘI EXERCIȚII - MATEMATICA - 2025

Cei Vectorii concurente sunt grupuri vectori ale căror axe coincid la un moment dat, formând între fiecare pereche de interne și externe alt unghi. Un exemplu clar este văzut în figura de mai jos, în care A, B și C sunt vectori concomitent între ei.

D și E spre deosebire de restul nu sunt. Există unghiuri formate între vectorii concurenti AB, AC și CB. Se numesc unghiuri de relație între vectori.

caracteristici

-Au un punct în comun, care coincide cu originea lor: toate mărimile vectorilor concurenti pornesc de la un punct comun la capetele lor.

-Originea este considerată ca punct de acțiune al vectorului: trebuie stabilit un punct de acțiune care va fi afectat direct de fiecare dintre vectorii concurenti.

-Domeniul său în plan și spațiu este R ² și, respectiv, R ³ : vectorii concurenti sunt liberi să acopere întregul spațiu geometric.

-Permite notări diferite în același grup de vectori. Conform ramurilor de studiu, în operațiunile cu vectori sunt prezente diferite notații.

Tipuri de vectori

Ramura vectorilor are mai multe subdiviziuni, dintre care unele pot fi numite: paralele, perpendiculare, coplanare, corespunzătoare, opuse și unitare. Vectorii concurenți sunt enumerați aici și, la fel ca toți cei numiți mai sus, au multe aplicații în științe diferite.

Sunt foarte frecvente în studiul vectorilor, deoarece reprezintă o generalizare utilă în operațiile cu aceștia. Atât în ​​plan, cât și în spațiu, vectorii concurenți sunt folosiți în mod obișnuit pentru a reprezenta diferite elemente și pentru a studia influența lor asupra unui anumit sistem.

Notare vectorială

Există mai multe moduri de a reprezenta un element vectorial. Principalele și cele mai cunoscute sunt:

cartezian

Propus de aceeasi abordare matematica, acesta denota vectorii cu un triplu corespunzator marimilor fiecarui ax (x, y, z)

A: (1, 1, -1) Spațiul A: (1, 1) Avion

Polar

Ele servesc doar pentru a denumi vectori în plan, deși în calculul integral i se atribuie componenta de adâncime. Este compus cu o magnitudine liniară r și un unghi în raport cu axa polară Ɵ.

A: (3, 45 ⁰ ) Planul A: (2, 45 ⁰ , 3) Spațiu

Analitic

Ei definesc mărimile vectorului folosind versorii. Versetele (i + j + k) reprezintă vectori de unitate corespunzători axelor X, Y și

A: 3i + 2j - 3k

Sferic

Acestea sunt similare cu notarea polară, dar cu adăugarea unui al doilea unghi măturat pe planul xy simbolizat prin δ.

A: (4, 60 ^sau , π / 4)

Operații vectoriale simultane

Vectorii concurenți sunt folosiți mai ales pentru a defini operațiile între vectori, deoarece este mai ușor să compari elementele vectorilor atunci când sunt prezentate concomitent.

Suma (A + B)

Suma vectorilor concurenti are drept scop gasirea vectorului rezultat V _r . Ceea ce, potrivit ramurii de studiu, corespunde unei acțiuni finale

De exemplu: 3 șiruri {A, B, C} sunt legate de o cutie, fiecare capăt al șirului este deținut de un singur subiect. Fiecare dintre cei 3 subiecți trebuie să tragă funia într-o direcție diferită de celelalte 2.

A: (ax, ay, az) B: (bx, by, bz) C: (cx, cy, cz)

A + B + C = (ax + bx + cx; ay + by + cy; az + bz + cz) = V _r

Cutia se va putea deplasa într-o singură direcție, de aceea V _r va indica direcția și direcția de mișcare a cutiei.

Diferența (A - B)

Există multe criterii cu privire la diferența dintre vectori, mulți autori aleg să o excludă și afirmă că este stipulată doar suma dintre vectori, unde diferența este despre suma vectorului opus. Adevărul este că vectorii pot fi scăpați algebric.

A: (ax, ay, az) B: (bx, by, bz)

A - B = A + (-B) = (ax-bx; ay-by; az-bz) =

Produs scalar (A. B)

Cunoscut și sub denumirea de produs punct, generează o valoare scalară care poate fi legată de diferite mărimi în funcție de ramura de studiu.

Pentru geometrie, indicați aria paralelogramei formată din perechea de vectori concurenti prin metoda paralelogramului. Pentru fizica mecanică definește munca depusă de o forță F la deplasarea unui corp la distanță Δr.

ѡ = F . Δr

După cum indică numele său, generează o valoare scalară și este definit astfel:

Fie vectori A și B

A: (ax, ay, az) B: (bx, by, bz)

-Forma analitică:

(A. B) = -A -.- B-.Cos θ

Unde θ este unghiul intern dintre ambii vectori

-Forma algebraică:

(A. B) = (ax.bx + ay.by + az.bz)

Produs încrucișat (A x B)

Produsul vectorial sau produsul scalar dintre doi vectori, definește un al treilea vector C având calitatea de a fi perpendiculară pe B și C . În fizică, vectorul cuplu τ este elementul de bază al dinamicii de rotație.

-Forma analitică:

- A x B - = -A -.- B-.Sen θ

-Forma algebraică:

(A x B) = = (ax. By - ay. Bx) - (ax. Bz - az. Bx) j + (ax. By - ay. Bx) k

-Movare relativă: r _{A / B}

Baza relativității este mișcarea relativă, iar vectorii concurenti sunt baza mișcării relative. Pozițiile, viteza și accelerațiile relative pot fi deduse aplicând următoarea ordine de idei.

r _{A / B} = r _A - r _B ; Poziția relativă a lui față de B

v _{A / B} = v _A - v _B ; Viteza relativă a lui A față de B

a _{A / B} = a _A - a _B ; Accelerarea relativă a A în raport cu B

Exemple: exerciții rezolvate

Exercitiul 1

Fie A, B și C să fie vectori simultan.

A = (-1, 3, 5) B = (3, 5, -2) C = (-4, -2, 1)

-Determinați vectorul rezultat V _r = 2A - 3B + C

2A = (2 (-1), 2 (3), 2 (5)) = (-2, 6, 10)

-3B = (-3 (3), -3 (5), -3 (-2)) = (-9, -15, 6)

V _r = 2A + (-3B) + C = (-2, 6, 10) + (-9, -15, 6) + (-4, -2, 1)

V _r = (;; (10 + 6 + 1))

V _r = (-15, -11, 17)

-Determinați produsul punct (A. C)

(A. C) = (-1, 3, 5). (-4, -2, 1) = (-1) (-4) + 3 (-2) + 5 (1) = 4 - 6 + 5

(A. C) = 3

-Calculează unghiul dintre A și C

(A. C) = -A -.- C-. Cos θ Unde θ este cel mai scurt unghi între vectori

θ = 88,63 ⁰

-Căutați un vector perpendicular pe A și B

Pentru aceasta, este necesar să se definească produsul vectorial între (-1, 3, 5) și (3, 5, -2). Așa cum am explicat anterior, o matrice de 3 x 3 este construită în care primul rând este compus din vectori tripli de unități (i, j, k). Apoi, al 2-lea și al treilea rând sunt alcătuite din vectori pentru a opera, respectând ordinea operațională.

(A x B) = = i - j + k

(A x B) = (-5 - 9) I - (2 - 15) j + (-5 - 9) k

(A x B) = - 14 I + 13 j - 14 k

Exercițiul 2

Fie V _a și V _b vectori de viteză de A și B respectiv. Calculați viteza lui B văzută de la A.

V _a = (3, -1, 5) V _b = (2, 5, -3)

În acest caz, se solicită viteza relativă a lui B în raport cu A V _{B / A}

V _{B / A} = V _B - V _A

V _{B / A} = (2, 5, -3) - (3, -1, 5) = (-1, 6, -8)

Acesta este vectorul vitezei lui B văzut de la A. Când este descris un nou vector al vitezei lui B luând referință de la un observator poziționat la A și mișcându-se cu viteza lui A.

Exerciții propuse

1-Construiți 3 vectori A, B și C care sunt concomitenți și raportează 3 operații între ei printr-un exercițiu practic.

2-Fie vectorii A: (-2, 4, -11), B: (1, -6, 9) și C: (-2, -1, 10). Găsiți vectori perpendiculari cu: A și B, C și B, Suma A + B + C.

4-Determinați 3 vectori care sunt perpendiculari între ei, fără a ține cont de axele de coordonate.

5-Definiți munca depusă de o forță care ridică un bloc de masă de 5 kg, de pe fundul unui puț de 20 m adâncime.

6-Arătați algebric că scăderea vectorilor este egală cu suma vectorului opus. Justificați-vă postulatele.

7-Denumiți un vector în toate notațiile dezvoltate în acest articol. (Cartezian, polar, analitic și sferic).

8-Forțele magnetice exercitate asupra unui magnet care se sprijină pe o masă, este dată de următorii vectori; V: (5, 3, -2), T: (4, 7, 9), H: (-3, 5, -4). Determinați în ce direcție se va mișca magnetul dacă toate forțele magnetice acționează în același timp.

Referințe

1. Geometrie și transformări euclidiene. Clayton W. Dodge. Curier Corporation, 1 ian 2004
2. Cum să rezolve problemele de matematică aplicată L. Moiseiwitsch. Curier Corporation, 10 Apr 2013
3. Conceptele de bază ale geometriei. Walter Prenowitz, Meyer Jordan. Rowman & Littlefield, 4 oct. 2012
4. Vectorii. Rocío Navarro Lacoba, 7 iunie. 2014
5. Algebră liniară. Bernard Kolman, David R. Hill. Pearson Education, 2006