VARIABILĂ CONTINUĂ: CARACTERISTICI, EXEMPLE ȘI EXERCIȚII - FIZIC - 2025

Variabilă continuă este una care poate lua un număr infinit de valori numerice între cele două valori date, chiar dacă aceste două valori sunt apropiate în mod arbitrar. Sunt utilizate pentru a descrie atribute măsurabile; de exemplu înălțimea și greutatea. Valorile pe care le ia o variabilă continuă pot fi numere raționale, numere reale sau numere complexe, deși ultimul caz este mai puțin frecvent în statistici.

Principala caracteristică a variabilelor continue este că între două valori raționale sau reale poate fi întotdeauna găsită o alta, iar între aceasta și prima poate fi găsită o altă valoare, și așa mai departe la nesfârșit.

Figura 1. Curba reprezintă o distribuție continuă și barele una discretă. Sursa: pixabay

De exemplu, să presupunem că greutatea variabilă într-un grup în care cel mai greu cântărește 95 kg, iar cel mai mic cântărește 48 kg; care ar fi intervalul variabilei și numărul de valori posibile este infinit.

De exemplu, între 50,00 kg și 50,10 kg pot fi 50,01. Dar între 50.00 și 50.01 poate fi măsura 50.005. Aceasta este o variabilă continuă. Pe de altă parte, dacă în măsurătorile posibile ale greutății s-ar stabili o precizie a unei zecimale, atunci variabila folosită ar fi discretă.

Variabilele continue aparțin categoriei variabilelor cantitative, deoarece au o valoare numerică asociată acestora. Cu această valoare numerică este posibil să se efectueze operațiuni matematice variind de la aritmetică până la metode de calcul infinitesimale.

Exemple

Majoritatea variabilelor din fizică sunt variabile continue, dintre care putem numi: lungime, timp, viteză, accelerare, energie, temperatură și altele.

Variabile continue și variabile discrete

În statistici, se pot defini diferite tipuri de variabile, atât calitative, cât și cantitative. Variabilele continue aparțin acestei din urmă categorii. Cu ele este posibil să se efectueze operațiuni de aritmetică și calcul.

De exemplu, variabila h, corespunzătoare persoanelor cu înălțimea cuprinsă între 1,50 m și 1,95 m, este o variabilă continuă.

Să comparăm această variabilă cu aceasta: numărul de ori se ridică capete de monedă, pe care le vom numi n.

Variabila n poate lua valori între 0 și infinit, cu toate acestea n nu este o variabilă continuă, deoarece nu poate lua valoarea 1,3 sau 1,5, deoarece între valorile 1 și 2 nu există alta. Acesta este un exemplu de variabilă discretă.

Exercitarea variabilelor continue

Luați în considerare următorul exemplu: o mașină produce chibrituri și le împachetează în cutia sa. Sunt definite două variabile statistice:

Lungimea nominală nominală este de 5,0 cm cu o toleranță de 0,1 cm. Numărul de meciuri pe cutie este de 50 cu o toleranță de 3.

a) Indicați intervalul de valori pe care le pot lua L și N.

b) Câte valori pot lua L?

c) Câte valori nu pot lua?

Indicați în fiecare caz dacă este o variabilă discretă sau continuă.

Soluţie

Valorile lui L sunt cuprinse în interval; adică valoarea lui L este în interval și variabila L poate lua valori infinite între aceste două măsurători. Este apoi o variabilă continuă.

Valoarea variabilei n este în interval. Variabila n poate lua doar 6 valori posibile în intervalul de toleranță, este apoi o variabilă discretă.

Exercitarea

Dacă, pe lângă faptul că sunt continue, valorile luate de variabilă au o anumită probabilitate de apariție asociată acestora, atunci este o variabilă continuă aleatorie. Este foarte important să distingem dacă variabila este discretă sau continuă, deoarece modelele probabilistice aplicabile unuia și celuilalt sunt diferite.

O variabilă aleatorie continuă este complet definită atunci când sunt cunoscute valorile pe care le poate asuma și probabilitatea pe care fiecare dintre ele le are de întâmplat.

-Exercitarea 1 a probabilităților

Meciul de chibrituri le face în așa fel încât lungimea tijelor să fie întotdeauna între valorile de 4,9 cm și 5,1 cm și zero în afara acestor valori. Există o probabilitate de a obține un stick care măsoară între 5,00 și 5,05 cm, deși am putea extrage și unul de 5.0003 cm. Sunt la fel de probabile aceste valori?

Soluţie

Să presupunem că densitatea probabilității este uniformă. Probabilitățile de a găsi o potrivire cu o anumită lungime sunt enumerate mai jos:

-Ce o potrivire este în interval are probabilitate = 1 (sau 100%), deoarece mașina nu atrage potriviri în afara valorilor respective.

-Înțelegerea unei potriviri cuprinse între 4,9 și 5,0 are probabilitatea = ½ = 0,5 (50%), deoarece este la jumătate din intervalul lungimilor.

-Și probabilitatea ca meciul să aibă o lungime între 5.0 și 5.1 este, de asemenea, 0.5 (50%)

-Este știut că nu există stick-uri de chibrit care să aibă o lungime cuprinsă între 5,0 și 5,2. Probabilitate: zero (0%).

Probabilitatea de a găsi o scobitoare într-un anumit interval

Acum să observăm următoarele probabilități P de a obține bețe a căror lungime este cuprinsă între l ₁ și l ₂ :

-P că un meci are o lungime cuprinsă între 5.00 și 5.05 se notează P ():

-Pentru că dealul are lungimea între 5.00 și 5.01 este:

-Pentru că dealul are o lungime cuprinsă între 5.000 și 5.001 este și mai puțin:

Dacă continuăm să scădem intervalul pentru a ne apropia de 5,00, probabilitatea ca o scobitoare să fie exact 5,00 cm este zero (0%). Ceea ce avem noi este probabilitatea de a găsi o potrivire într-un anumit interval.

Probabilitatea de a găsi mai multe scobitori într-un interval dat

Dacă evenimentele sunt independente, probabilitatea ca două scobitori să se afle într-un anumit interval este produsul probabilităților lor.

-Probabilitatea ca două betisoare să fie cuprinse între 5,0 și 5,1 este 0,5 * 0,5 = 0,25 (0,25%)

-Probabilitatea ca 50 scobitori să fie cuprinse între 5,0 și 5,1 este (0,5) ^ 50 = 9 × 10 ^ -16, adică aproape zero.

-Probabilitatea ca 50 de scobitori să fie cuprinse între 4,9 și 5,1 este (1) ^ 50 = 1 (100%)

-Exercitarea 2 a probabilităților

În exemplul precedent, s-a făcut ipoteza că probabilitatea este uniformă în intervalul dat, însă acest lucru nu este întotdeauna cazul.

În cazul mașinii efective care produce scobitori, șansa ca scobitoarea să fie la valoarea centrală este mai mare decât la una dintre valorile extreme. Din punct de vedere matematic, aceasta este modelată cu o funcție f (x) cunoscută sub numele de densitatea de probabilitate.

Probabilitatea ca măsura L să fie cuprinsă între a și b se calculează folosind integralitatea definitivă a funcției f (x) între a și b.

Ca exemplu, să presupunem că dorim să găsim funcția f (x), care reprezintă o distribuție uniformă între valorile 4.9 și 5.1 din exercițiul 1.

Dacă distribuția probabilității este uniformă, atunci f (x) este egală cu constanta c, care este determinată luând integral între 4,9 și 5,1 din c. Deoarece această integrală este probabilitatea, rezultatul trebuie să fie 1.

Figura 2. Densitatea uniformă a probabilității. (Elaborare proprie)

Ceea ce înseamnă că c valorează 1 / 0,2 = 5. Adică, funcția de densitate a probabilității uniformă este f (x) = {5 dacă 4.9≤x≤5.1 și 0 în afara acestui interval. Figura 2 prezintă o funcție uniformă a densității probabilității.

Rețineți cum la intervale de aceeași lățime (de exemplu, 0,02), probabilitatea este aceeași la centru ca la sfârșitul intervalului variabilei continue L (lungimea scobitorului).

Un model mai realist ar fi o funcție a densității probabilității, cum ar fi:

Figura 3. Funcția de densitate de probabilitate neuniformă. (Elaborare proprie)

În figura 3 se poate observa cum probabilitatea de a găsi scobitori între 4,99 și 5,01 (lățime 0,02) este mai mare decât aceea de a găsi scobitori între 4,90 și 4,92 (lățime 0,02)

Referințe

1. Dinov, Ivo. Variabile aleatorii discrete și distribuții de probabilitate. Preluat de la: stat.ucla.edu
2. Variabile aleatorii discrete și continue. Preluat de la: ocw.mit.edu
3. Variabile aleatorii discrete și distribuții de probabilitate. Preluat de la: homepage.divms.uiowa.edu
4. H. Pishro. Introducere în probabilitate. Recuperat din: probability course.com
5. Mendenhall, W. 1978. Statistici pentru management și economie. Grupo Editorial Iberoamericana. 103-106.
6. Probleme cu variabile aleatorii și modele de probabilitate. Recuperat din: ugr.es.
7. Wikipedia. Variabilă continuă. Recuperat de pe wikipedia.com
8. Wikipedia. Variabilă statistică. Recuperat de pe wikipedia.com.