CONSTANTA DE PROPORTIONALITATE: CE ESTE, CALCUL, EXERCITII - MATEMATICA - 2025

Constantei de proporționalitate este un element numeric relațională, utilizat pentru a defini modelul de similitudine între 2 cantități care sunt modificate simultan. Este foarte comună reprezentarea ei ca funcție liniară într-un mod generic folosind expresia F (X) = kX. Cu toate acestea, aceasta nu este singura reprezentare a unei posibile proporționalități.

De exemplu, relația dintre X și Y în funcția Y = 3x are o constantă de proporționalitate egală cu 3. Se observă că pe măsură ce variabila independentă X crește, la fel și variabila dependentă Y, de trei ori valoarea sa anterior.

Modificările aplicate unei variabile au repercusiuni imediate pe cealaltă, astfel încât există o valoare cunoscută sub numele de constantă de proporționalitate. Aceasta servește pentru a relaționa diferitele mărimi pe care le obțin ambele variabile.

Care este constanta proporționalității și tipurilor

În funcție de tendința schimbării variabilelor, proporționalitățile pot fi clasificate în 2 tipuri.

Proporționalitate directă

Propune o relație unidirecțională între două cantități. În ea, dacă variabila independentă prezintă o creștere, variabila dependentă va crește și ea. În mod similar, orice scădere a variabilei independente va determina scăderea mărimii lui Y.

De exemplu, funcția liniară folosită în introducere; Y = 3X, corespunde unei relații directe de proporționalitate. Acest lucru se datorează faptului că creșterea variabilei independente X va determina o triplă creștere a valorii anterioare luată de variabila dependentă Y.

În mod similar, variabila dependentă va scădea de trei ori valoarea sa atunci când X scade în mărime.

Valoarea constantei de proporționalitate „K” într-o relație directă este definită ca K = Y / X.

Proporționalitate inversă sau indirectă

În acest tip de funcții, relația dintre variabile este prezentată într-un mod antonim, unde creșterea sau scăderea variabilei independente corespunde, respectiv, cu scăderea sau creșterea variabilei dependente.

De exemplu, funcția F (x) = k / x este o relație inversă sau indirectă. Deoarece valoarea variabilei independente începe să crească, valoarea k se va împărți la un număr în creștere, determinând variabila dependentă să scadă în valoare în funcție de proporție.

În funcție de valoarea luată de K, se poate defini tendința funcției proporționale inversă. Dacă k> 0, atunci funcția va scădea pe toate numerele reale. Și graficul dvs. va fi în primul și al 3-lea cadran.

Dimpotrivă, dacă valoarea lui K este negativă sau mai mică de zero, funcția va crește, iar graficul acesteia va fi găsit în al 2-lea și al patrulea cadran.

Cum se calculează?

Există contexte diferite în care poate fi necesară definirea constantei proporționalității. În diferite cazuri, vor fi afișate diferite date despre problemă, unde studiul acestora va oferi în sfârșit valoarea lui K.

În mod generic, cele menționate mai sus pot fi recapitulate. Valorile lui K corespund a două expresii în funcție de tipul de proporționalitate prezent:

- Direct: K = Y / X

- Invers sau indirect: K = YX

Conform graficului său

Uneori, graficul unei funcții va fi doar parțial sau complet cunoscut. În aceste cazuri, prin analiza grafică, va fi necesar să se determine tipul de proporționalitate. Apoi, va fi necesară definirea unei coordonate care să permită verificarea valorilor lui X și Y să se aplice la formula corespunzătoare a lui K.

Graficele care se referă la proporționalități directe sunt liniare. Pe de altă parte, graficele funcțiilor proporționale inversă iau de obicei forma de hiperbolă.

Conform tabelului de valori

În unele cazuri, există un tabel de valori cu valorile corespunzătoare fiecărei iterații a variabilei independente. De obicei, aceasta implică realizarea graficului pe lângă definirea valorii lui K.

Conform expresiei analitice

Returnează expresia care definește funcția analitic. Valoarea lui K poate fi rezolvată direct sau poate fi dedusă și din expresia în sine.

Prin regulă directă sau compusă din trei

În alte modele de exerciții, sunt prezentate anumite date, care se referă la relația dintre valori. Acest lucru face necesară aplicarea regulii directe sau compuse a trei pentru a defini alte date necesare în exercițiu.

Istorie

Conceptul de proporționalitate a fost întotdeauna în jur. Nu numai în mintea și activitatea marilor matematicieni, ci și în viața de zi cu zi a populației, datorită practicului și aplicabilității sale.

Este foarte frecvent să se găsească situații care necesită o abordare de proporționalitate. Acestea sunt prezentate în fiecare caz în care este necesar să se compare variabile și fenomene care au anumite relații.

Printr-o cronologie putem caracteriza momentele istorice, în care au fost aplicate progrese matematice cu privire la proporționalitate.

- Secolul II î.Hr. Sistemul de stocare a fracțiilor și proporțiilor este adoptat în Grecia.

- secolul al V-lea î.Hr. Proporția care se leagă de partea și diagonala unui pătrat este descoperită și în Grecia.

- 600 î.Hr. Thales of Miletus prezintă teorema sa în ceea ce privește proporționalitatea.

- Anul 900. Sistemul zecimal folosit anterior de India este extins în proporții și proporții. Contribuția făcută de arabi.

- secolul XVII Contribuțiile privind proporțiile ajung la calculul lui Euler.

- secolul XIX Gauss contribuie la conceptul de număr și proporție complexă.

- Secolul douăzeci. Proporționalitatea ca model de funcție este definită de Azcarate și Deulofeo.

Exerciții rezolvate

Exercitiul 1

Este necesar să se calculeze valoarea variabilelor x, y, z și g. Cunoașterea următoarelor relații proporționale:

3x + 2y - 6z + 8g = 1925

x / 3 = y / 8 = z / 3 = g / 5

Procedăm la definirea valorilor relative ale constantei de proporționalitate. Acestea pot fi obținute din a doua relație, unde valoarea care împarte fiecare variabilă indică o relație sau un raport referitor la K.

X = 3k y = 2k z = 3k g = 5k

Valorile sunt substituite în prima expresie, unde noul sistem va fi evaluat într-o singură variabilă k.

3 (3k) + 2 (2k) - 6 (3k) + 8 (5k) = 1925

9k + 4k -18k + 40k = 1925

35k = 1925

K = 1925/35 = 55

Folosind această valoare a constantei proporționalității putem găsi numărul care definește fiecare dintre variabile.

x = 3 (55) = 165 y = 2 (55) = 110

z = 3 (55) = 165 g = 5 (55) = 275

Exercițiul 2

Calculați constanta de proporționalitate și expresia care definește funcția, având în vedere graficul său.

În primul rând, este analizat graficul, caracterul său liniar fiind evident. Aceasta indică faptul că este o funcție cu proporționalitate directă și că valoarea lui K va fi obținută prin expresia k = y / x

Apoi, un punct determinabil este ales din grafic, adică unul în care coordonatele care îl compun pot fi văzute exact.

Pentru acest caz, se ia punctul (2, 4). De unde putem stabili următoarea relație.

K = 4/2 = 2

Deci, expresia este definită de funcția y = kx, care pentru acest caz va fi

F (x) = 2x

Referințe

1. Matematica pentru electricitate și electronică. Dr. Arthur Kramer. Cengage Learning, 27 iul 2012
2. Viziunea 2020: Rolul strategic al cercetării operaționale. N. Ravichandran. Edituri Aliate, 11 septembrie 2005
3. Cunoștințe gramaticale și aritmetice ale asistentului administrativ al cărții electronice de stat. MAD-Eduforma
4. Consolidarea matematicii pentru sprijin curricular și diversificare: pentru sprijin curricular și diversificare. Mª Lourdes Lázaro Soto. Narcea Ediciones, 29 aug. 2003
5. Logistică și management comercial. Maria José Escudero Serrano. Ediciones Paraninfo, SA, 1 sept. 2013