- Trinomials
- Trinomial pătrat perfect
- Caracteristicile trinomelor de gradul 2
- Patrat perfect
- Rezolvarea formulei
- Interpretare geometrică
- Factoring trinomial
- Exemple
- Exemplul 1
- Exemplul 2
- Referințe
Înainte de a învăța să rezolvăm trinomul formei x ^ 2 + bx + c și chiar înainte de a cunoaște conceptul de trinom, este important să cunoaștem două noțiuni esențiale; și anume, conceptele de monomial și polinom. Un monomial este o expresie a tipului a * x n , unde a este un număr rațional, n este un număr natural și x este o variabilă.
Un polinom este o combinație liniară de monomiale de forma a n * x n + a n-1 * x n-1 + … + a 2 * x 2 + a 1 * x + a 0 , unde fiecare a i , cu i = 0,…, n, este un număr rațional, n este un număr natural și a_n este zero. În acest caz, gradul polinomului se spune că este n.
Un polinom format din suma a doar doi termeni (doi monomiali) de grade diferite este cunoscut sub numele de binom.
Trinomials
Un polinom format din suma a doar trei termeni (trei monomii) de grade diferite este cunoscut sub numele de trinom. Următoarele sunt exemple de trinomiale:
- x 3 + x 2 + 5x
- 2x 4 -x 3 +5
- x 2 + 6x + 3
Există mai multe tipuri de trinomiale. Dintre acestea, trinomul pătrat perfect iese în evidență.
Trinomial pătrat perfect
Un trinomial pătrat perfect este rezultatul pătratului unui binom. De exemplu:
- (3x-2) 2 = 9x 2 -12x + 4
- (2x 3 + y) 2 = 4x 6 + 4x 3 y + y 2
- (4x 2 -2y 4 ) 2 = 16x 4 -16x 2 y 4 + 4y 8
- 1 / 16x 2 y 8 -1 / 2xy 4 z + z 2 = (1 / 4xy 4 ) 2 -2 (1 / 4xy 4 ) z + z 2 = (1 / 4xy 4 -z) 2
Caracteristicile trinomelor de gradul 2
Patrat perfect
În general, un trinomial al formei ax 2 + bx + c este un pătrat perfect dacă discriminantul său este egal cu zero; adică dacă b 2 -4ac = 0, deoarece în acest caz va avea o singură rădăcină și poate fi exprimată sub forma a (xd) 2 = (√a (xd)) 2 , unde d este rădăcina deja menționată.
O rădăcină a unui polinom este un număr în care polinomul devine zero; cu alte cuvinte, un număr care, atunci când substituie x în expresia polinomială, rezultă la zero.
Rezolvarea formulei
O formulă generală pentru a calcula rădăcinile unui polinom de gradul doi al formei ax 2 + bx + c este formula rezolvabilă, care afirmă că aceste rădăcini sunt date de (–b ± √ (b 2 -4ac)) / 2a, unde b 2 -4ac este cunoscut drept discriminant și este de obicei notat de ∆. Din această formulă rezultă că ax 2 + bx + c are:
- Două rădăcini reale diferite dacă ∆> 0.
- O singură rădăcină reală dacă ∆ = 0.
- Nu are rădăcină reală dacă ∆ <0.
În ceea ce urmează, vor fi luate în considerare numai trinomele de forma x 2 + bx + c, unde clar c trebuie să fie un alt număr decât zero (altfel ar fi un binom). Aceste tipuri de trinomii au anumite avantaje atunci când fac factoring și operează cu ele.
Interpretare geometrică
Geometric, trinomul x 2 + bx + c este o parabolă care se deschide în sus și are vârful la punctul (-b / 2, -B 2 /4 + c) al planului cartezian care x 2 + bx + c = ( x + b / 2) 2 -b 2 /4 + c.
Această parabolă taie axa Y în punctul (0, c) și axa X în punctele (d 1 , 0) și (d 2 , 0); atunci d 1 și d 2 sunt rădăcinile trinomului. Se poate întâmpla ca trinomul să aibă o singură rădăcină d, caz în care singura tăietură cu axa X ar fi (d, 0).
De asemenea, s-ar putea întâmpla ca trinomul să nu aibă o rădăcină reală, caz în care nu ar tăia axa X în niciun moment.
De exemplu, x 2 + 6x + 9 = (x + 3) 2 -9 + 9 = (x + 3) 2 este parabola cu vertex la (-3,0), care intersectează axa Y la (0, 9) și pe axa X la (-3,0).
Factoring trinomial
Un instrument foarte util atunci când lucrați cu polinoame este factoringul, care constă în exprimarea unui polinom ca produs al factorilor. În general, având în vedere un trinom al formei x 2 + bx + c, dacă are două rădăcini diferite d 1 și d 2 , acesta poate fi considerat ca (xd 1 ) (xd 2 ).
Dacă are o singură rădăcină d, ea poate fi considerată ca (xd) (xd) = (xd) 2 , iar dacă nu are rădăcină reală, rămâne aceeași; în acest caz, nu admite o factorizare ca produs al altor factori decât el însuși.
Aceasta înseamnă că, cunoscând rădăcinile unui trinom în forma deja stabilită, factorizarea lui poate fi exprimată cu ușurință și, așa cum am menționat mai sus, aceste rădăcini pot fi întotdeauna determinate folosind rezolvarea.
Cu toate acestea, există o cantitate semnificativă din acest tip de trinomii care pot fi considerate fără a cunoaște mai întâi rădăcinile lor, ceea ce simplifică lucrarea.
Rădăcinile pot fi determinate direct din factorizare fără a utiliza formula rezolvabilă; acestea sunt polinoamele formei x 2 + (a + b) x + ab. În acest caz avem:
x 2 + (a + b) x + ab = x 2 + ax + bx + ab = x (x + a) + b (x + a) = (x + b) (x + a).
De aici se vede cu ușurință că rădăcinile sunt –a și –b.
Cu alte cuvinte, dat un trinomial x 2 + bx + c, dacă există două numere u și v astfel încât c = uv și b = u + v, atunci x 2 + bx + c = (x + u) (x + v).
Adică, având în vedere un trinomial x 2 + bx + c, se verifică mai întâi dacă există două numere, care înmulțite dau termenul independent (c) și adăugate (sau scăzute, în funcție de caz), dau termenul care însoțește x ( b).
Nu cu toate trinomele în acest fel, această metodă poate fi aplicată; în care nu este posibil, se folosește rezoluția și se aplică mai sus.
Exemple
Exemplul 1
Pentru a factoriza următorul trinomial x 2 + 3x + 2, procedați după cum urmează:
Trebuie să găsiți două numere astfel încât atunci când le adăugați rezultatul este 3 și că atunci când le înmulțiți, rezultatul este 2.
După efectuarea unei inspecții se poate concluziona că numerele căutate sunt: 2 și 1. Prin urmare, x 2 + 3x + 2 = (x + 2) (x + 1).
Exemplul 2
Pentru a factoriza trinomul x 2 -5x + 6, căutăm două numere a căror sumă este -5 și produsul lor este 6. Numerele care satisfac aceste două condiții sunt -3 și -2. Prin urmare, factorizarea trinomului dat este x 2 -5x + 6 = (x-3) (x-2).
Referințe
- Fuentes, A. (2016). MATH DE BAZĂ. O introducere în calcul. Lulu.com.
- Garo, M. (2014). Matematică: ecuații patratice: Cum rezolvați o ecuație patratică. Marilù Garo.
- Haeussler, EF, & Paul, RS (2003). Matematică pentru management și economie. Pearson Education.
- Jiménez, J., Rofríguez, M., & Estrada, R. (2005). Matematica 1 SEP. Prag.
- Preciado, CT (2005). Curs de matematica a 3-a. Editorial Progreso.
- Rock, NM (2006). Algebra I este ușor! Atât de ușor. Echipa Rock Press.
- Sullivan, J. (2006). Algebră și trigonometrie. Pearson Education.