TRIUNGHI SCALEN: CARACTERISTICI, FORMULA ȘI ZONELE, CALCUL - MATEMATICA - 2025

Un triunghi scalen este un poligon cu trei laturi, toate având măsuri sau lungimi diferite; din acest motiv i se dă numele de scalene, care în latină înseamnă cățărare.

Triunghiurile sunt poligoane considerate cele mai simple din geometrie, deoarece sunt alcătuite din trei laturi, trei unghiuri și trei vârfuri. În cazul triunghiului scalen, având toate laturile diferite, implică faptul că și cele trei unghiuri ale acestuia vor fi prea mari.

Caracteristicile triunghiurilor scalene

Triunghiurile scalene sunt poligoane simple, deoarece niciunul dintre laturile sau unghiurile lor nu au aceeași măsură, spre deosebire de izosceluri și triunghiuri echilaterale.

Deoarece toate laturile și unghiurile lor au măsuri diferite, aceste triunghiuri sunt considerate poligoane convexe neregulate.

Pe baza amplitudinii unghiurilor interne, triunghiurile scalene sunt clasificate în:

• Triunghiul drept Scalene : toate părțile sunt diferite. Unul dintre unghiurile sale este drept (90 ^sau ), iar celelalte sunt ascuțite și cu măsuri diferite.
• Triunghi scalen obtuz : toate părțile sunt diferite și unul dintre unghiurile sale este obtuz (> 90 ^sau ).
• Triunghi acut Scalen : toate părțile sunt diferite. Toate unghiurile sunt acute (<90 ^sau ) cu măsuri diferite.

O altă caracteristică a triunghiurilor scalene este aceea că, datorită incongruenței laturilor și unghiurilor lor, acestea nu au o axă de simetrie.

Componente

Mediana : este o linie care pornește de la mijlocul unei părți și atinge vertexul opus. Cei trei medieni se întâlnesc într-un punct numit barycenter sau centroid.

Bisectoarea : este o rază care împarte fiecare unghi în două unghiuri de măsură egală. Bisectoarele unui triunghi se întâlnesc într-un punct numit stimulent.

Bisectoarea : este un segment perpendicular pe latura triunghiului, care își are originea în mijlocul acestuia. Există trei bisectoare într-un triunghi și se întâlnesc într-un punct numit circumcentrul.

Înălțimea : este linia care merge de la vertex la partea care este opusă și, de asemenea, această linie este perpendiculară pe acea parte. Toate triunghiurile au trei înălțimi care coincid într-un punct numit ortocentru.

Proprietăți

Triunghiurile Scalene sunt definite sau identificate, deoarece au mai multe proprietăți care le reprezintă, provenind din teoremele propuse de marii matematicieni. Sunt:

Unghiuri interne

Suma unghiurilor interioare este întotdeauna egală cu 180 ^° .

Suma laturilor

Suma măsurilor a două părți trebuie să fie întotdeauna mai mare decât măsura celei de-a treia părți, a + b> c.

Late incongruente

Toate laturile triunghiurilor scalene au măsuri sau lungimi diferite; adică sunt incongruente.

Unghiuri incongruente

Deoarece toate laturile triunghiului scalen sunt diferite, unghiurile sale vor fi și ele. Cu toate acestea, suma unghiurilor interne va fi întotdeauna egală cu 180º, iar în unele cazuri, unul dintre unghiurile sale poate fi obturat sau drept, în timp ce în altele toate unghiurile sale vor fi acute.

Înălțimea, mediana, bisectoarea și bisectoarea nu sunt coincidente

Ca orice triunghi, scalenul are diverse segmente de linie care îl compun, precum: înălțime, mediană, bisectoare și bisectoare.

Datorită particularității laturilor sale, în acest tip de triunghi niciuna dintre aceste linii nu va coincide într-una.

Ortocentrul, baricentrul, stimulatorul și circumcentrul nu sunt coincidente

Întrucât înălțimea, mediana, bisectoarea și bisectoarea sunt reprezentate de diferite segmente de linie, într-un triunghi scalen punctele de întâlnire - ortocentrul, stimulatorul și circumcentrul - vor fi găsite în diferite puncte (acestea nu coincid).

În funcție de dacă triunghiul este acut, drept sau scalen, ortocentrul are diferite locații:

la. Dacă triunghiul este acut, ortocentrul va fi în interiorul triunghiului.

b. Dacă triunghiul este drept, ortocentrul va coincide cu vertexul laturii drepte.

c. Dacă triunghiul este obtuz, ortocentrul se va afla în exteriorul triunghiului.

Înălțimi relative

Înălțimile sunt în raport cu părțile laterale.

În cazul triunghiului scalen, aceste înălțimi vor avea măsurători diferite. Fiecare triunghi are trei înălțimi relative și se folosește formula lui Heron pentru a le calcula.

Cum se calculează perimetrul?

Perimetrul unui poligon este calculat prin adăugarea laturilor.

Deoarece în acest caz triunghiul scalenic are toate laturile sale cu măsuri diferite, perimetrul său va fi:

P = partea a + partea b + latura c.

Cum se calculează zona?

Zona triunghiurilor este întotdeauna calculată cu aceeași formulă, înmulțind înălțimea timpului bazelor și împărțind cu două:

Suprafață = (bază _* h) ÷ 2

În unele cazuri nu se cunoaște înălțimea triunghiului scalen, dar există o formulă propusă de matematicianul Herón, pentru a calcula aria cunoscând măsura celor trei laturi ale unui triunghi.

Unde:

• a, b și c, reprezintă laturile triunghiului.
• sp, corespunde semiperimetrului triunghiului, adică jumătate din perimetru:

sp = (a + b + c) ÷ 2

În cazul în care avem măsura a două dintre laturile triunghiului și unghiul format între ele, aria poate fi calculată prin aplicarea raporturilor trigonometrice. Deci, trebuie să:

Suprafață = (latură _* h) ÷ 2

În cazul în care înălțimea (h) este produsul unei părți și sinusul unghiului opus. De exemplu, pentru fiecare parte, zona va fi:

• Suprafață = (b _* c _* sin A) ÷ 2
• Suprafață = (a _* c _* sin B) ÷ 2.
• Zona = (a _* b _* sin C) ÷ 2

Cum se calculează înălțimea?

Deoarece toate laturile triunghiului scalen sunt diferite, nu este posibilă calcularea înălțimii cu teorema lui Pitagore.

Din formula lui Heron, care se bazează pe măsurătorile celor trei laturi ale unui triunghi, zona poate fi calculată.

Înălțimea poate fi curățată de formula generală a zonei:

Partea este înlocuită cu măsura laturii a, b sau c.

Un alt mod de a calcula înălțimea când se cunoaște valoarea unuia dintre unghiuri este prin aplicarea raporturilor trigonometrice, unde înălțimea va reprezenta un picior al triunghiului.

De exemplu, când unghiul opus înălțimii este cunoscut, acesta va fi determinat de sinus:

Cum se calculează laturile?

Când aveți măsura a două laturi și unghiul opus lor, este posibil să se determine a treia latură prin aplicarea teoremei cosinusului.

De exemplu, într-un triunghi AB, este reprezentată înălțimea relativă la segmentul AC. În acest fel triunghiul este împărțit în două triunghiuri drepte.

Pentru a calcula latura c (segmentul AB), aplicați teorema lui Pitagore pentru fiecare triunghi:

• Pentru triunghiul albastru avem:

c ² = h ² + m ²

Deoarece m = b - n, înlocuim:

c ² = h ² + b ² (b - n) ²

c ² = h ² + b ² - 2bn + n ² .

• Pentru triunghiul roz trebuie să:

h ² = a ² - n ²

Este înlocuit în ecuația anterioară:

c ² = a ² - n ² + b ² - 2bn + n ²

c ² = a ² + b ² - 2bn.

Știind că n = a _* cos C, acesta este substituit în ecuația anterioară și valoarea laturii c se obține:

c ² = a ² + b ² - 2b _* a _* cos C.

Prin Legea cosinusurilor, părțile pot fi calculate astfel:

• a ² = b ² + c ² - 2b _* c _* cos A.
• b ² = a ² + c ² - 2a _* c _* cos B.
• c ² = a ² + b ² - 2b _* a _* cos C.

Există cazuri în care măsurile laturilor triunghiului nu sunt cunoscute, ci mai degrabă înălțimea lor și unghiurile formate la vârfuri. Pentru a determina zona în aceste cazuri, este necesar să se aplice raporturile trigonometrice.

Cunoscând unghiul unuia dintre vârfurile sale, picioarele sunt identificate și se utilizează raportul trigonometric corespunzător:

De exemplu, piciorul AB va fi opus pentru unghiul C, dar adiacent unghiului A. În funcție de latura sau piciorul corespunzător înălțimii, cealaltă parte este curățată pentru a obține valoarea acestui.

Exerciții

Primul exercițiu

Calculați aria și înălțimea triunghiului scalen ABC, știind că laturile sale sunt:

a = 8 cm.

b = 12 cm.

c = 16 cm.

Soluţie

Ca date, se dau măsurătorile celor trei laturi ale triunghiului scalen.

Deoarece valoarea înălțimii nu este disponibilă, zona poate fi determinată prin aplicarea formulei Heron.

Mai întâi se calculează semiperimetrul:

sp = (a + b + c) ÷ 2

sp = (8 cm + 12 cm + 16 cm) ÷ 2

sp = 36 cm ÷ 2

sp = 18 cm.

Acum valorile sunt substituite în formula lui Heron:

Cunoscând zona, se poate calcula înălțimea față de latura b. Din formula generală, eliminând-o, avem:

Suprafață = (latură _* h) ÷ 2

46, 47 cm ² = (12 cm _* h) ÷ 2

h = (2 _* 46,47 cm ² ) ÷ 12 cm

h = 92,94 cm ² ÷ 12 cm

h = 7,75 cm.

Al doilea exercițiu

Având în vedere triunghiul scalenic ABC, ale cărui măsuri sunt:

• Segment AB = 25 m.
• Segment BC = 15 m.

La vertexul B este format un unghi de 50º. Calculați înălțimea în raport cu latura c, perimetrul și aria acestui triunghi.

Soluţie

În acest caz, avem măsurătorile a două părți. Pentru a determina înălțimea, este necesar să se calculeze măsurarea celei de-a treia părți.

Deoarece este dat unghiul opus laturilor date, este posibil să se aplice legea cosinusilor pentru a determina măsura laturii AC (b):

b ² = a ² + c ² - 2a _* c _* cos B

Unde:

a = BC = 15 m.

c = AB = 25 m.

b = AC.

B = 50 ^o .

Datele se înlocuiesc:

b ² = (15) ² + (25) ² - 2 _* (15) _* (25) _* cos 50

b ² = (225) + (625) - (750) _* 0,6427

b ² = (225) + (625) - (482.025)

b ² = 367.985

b = √367.985

b = 19,18 m.

Deoarece avem deja valoarea celor trei laturi, perimetrul triunghiului este calculat:

P = partea a + partea b + latura c

P = 15 m + 25 m + 19, 18 m

P = 59,18 m

Acum este posibilă determinarea zonei aplicând formula lui Heron, dar mai întâi trebuie calculat semiperimetrul:

sp = P ÷ 2

sp = 59,18 m ÷ 2

sp = 29,59 m.

Măsurătorile laturilor și semiperimetrului sunt înlocuite în formula lui Heron:

Cunoscând în sfârșit zona, se poate calcula înălțimea față de latura c. Din formula generală, eliminând-o, trebuie să:

Suprafață = (latură _* h) ÷ 2

143,63 m ² = (25 m _* h) ÷ 2

h = (2 _* 143,63 m ² ) ÷ 25 m

h = 287,3 m ² ÷ 25 m

h = 11,5 m.

Al treilea exercițiu

În triunghiul scalenului, partea ABC b este de 40 cm, latura c este 22 cm, iar apexul A, este format un unghi 90 ^sau . Calculați aria triunghiului respectiv.

Soluţie

În acest caz, sunt date măsurile a două laturi ale triunghiului scalen ABC, precum și unghiul care se formează la vertexul A.

Pentru a determina zona, nu este necesar să se calculeze măsura laturii a, deoarece prin raporturile trigonometrice se folosește unghiul pentru a o găsi.

Deoarece este cunoscut unghiul opus înălțimii, acesta va fi determinat de produsul unei părți și de sinusul unghiului.

Înlocuind formula de zonă avem:

• Suprafață = (latură _* h) ÷ 2
• h = c _* sin A

Suprafață = (b _* c _* sin A) ÷ 2

Suprafață = (40 cm _* 22 cm _* sin 90) ÷ 2

Suprafață = (40 cm _* 22 cm _* 1) ÷ 2

Suprafață = 880 cm ² ÷ 2

Suprafață = 440 cm ² .

Referințe

1. Álvaro Rendón, AR (2004). Desen tehnic: caiet de activitate.
2. Ángel Ruiz, HB (2006). Geometrii. Tehnologie CR ,.
3. Angel, AR (2007). Algebra elementară. Pearson Education ,.
4. Baldor, A. (1941). Algebră. Havana: cultură.
5. Barbosa, JL (2006). Geometrie euclidiană plană. Rio de Janeiro,.
6. Coxeter, H. (1971). Fundamentele Geometriei. Mexic: Limusa-Wiley.
7. Daniel C. Alexander, GM (2014). Geometrie elementară pentru studenți. Cengage Learning.
8. Harpe, P. d. (2000). Subiecte în teoria grupurilor geometrice. Universitatea din Chicago Press.