TRIUNGHI ACUT: CARACTERISTICI ȘI TIPURI - MATEMATICA - 2025

Cele triunghiuri acute sunt cele ale căror trei unghiuri interne sunt unghiuri acute; adică măsura fiecăruia dintre aceste unghiuri este mai mică de 90 ° grade. Neavând niciun unghi drept, avem în vedere că teorema pitagoreană nu ține pentru această figură geometrică.

Prin urmare, dacă dorim să avem un tip de informații despre oricare dintre laturile sau unghiurile sale, este necesar să folosim alte teoreme care ne permit să avem acces la datele menționate. Cele pe care le putem folosi sunt teorema sinusului și teorema cosinusului.

caracteristici

Printre caracteristicile pe care le are această figură geometrică, le putem evidenția pe cele care sunt date de simplul fapt de a fi un triunghi. Printre acestea avem:

- Un triunghi este un poligon care are trei laturi și trei unghiuri.

- Suma celor trei unghiuri sale interne este egală cu 180 °.

- Suma a două dintre laturile sale este întotdeauna mai mare decât a treia.

Ca exemplu, să ne uităm la următorul triunghi ABC. Într-un mod general, identificăm laturile sale cu litere mici și unghiurile sale cu majusculă, astfel încât o parte și unghiul său opus să aibă aceeași literă.

Din caracteristicile date deja, știm că:

A + B + C = 180 °

a + b> c, a + c> b și b + c> a

Principala caracteristică care distinge acest tip de triunghi de restul este că, așa cum am menționat deja, unghiurile sale interne sunt acute; adică măsura fiecăruia dintre unghiurile sale este mai mică de 90 °.

Triunghiurile acute, împreună cu triunghiurile obtuze (cele în care unul dintre unghiurile lor are o măsură mai mare de 90 °), fac parte din setul de triunghiuri oblice. Acest set este format din triunghiuri care nu sunt unghiuri drepte.

Deoarece triunghiurile oblice fac parte, trebuie să putem rezolva probleme care implică triunghiuri acute, trebuie să folosim teorema sinusului și teorema cosinusului.

Teorema sinusului

Teorema sinuselor ne spune că raportul unei părți la sinusul unghiului său opus este egal cu dublul razei cercului format din cele trei vârfuri ale respectivului triunghi. Adică:

2r = a / sin (A) = b / sin (B) = c / sin (C)

Teorema cosinusului

Pe de altă parte, teorema cosinusului ne oferă aceste trei egalități pentru orice triunghi ABC:

a ² = b ² + c ² -2bc * cos (A)

b ² = a ² + c ² -2ac * cos (B)

c ² = a ² + b ² -2ab * cos (C)

Aceste teoreme sunt cunoscute și sub denumirea de lege a sinei și, respectiv, a cosinusului.

O altă caracteristică pe care o putem oferi triunghiurilor acute este că două dintre acestea sunt egale dacă îndeplinesc oricare dintre următoarele criterii:

- Dacă au aceleași trei părți.

- Dacă au o parte și două unghiuri egale între ele.

- Dacă au două laturi egale și un unghi.

Tipuri

Triunghiurile acute pot fi clasificate în funcție de laturile lor. Acestea pot fi:

Triunghiuri acute echilaterale

Sunt triunghiurile acute care au toate laturile lor egale și, prin urmare, toate unghiurile lor interne au aceeași valoare, care este A = B = C = 60 ° grade.

Ca exemplu, să luăm următorul triunghi, ale cărui laturi a, b și c au o valoare de 4.

Triunghiuri izoscele acute

Aceste triunghiuri, pe lângă faptul că au unghiuri interne acute, au caracteristica de a avea două laturi egale și a treia, care în general este luată ca bază, diferită.

Un exemplu de acest tip de triunghiuri poate fi unul a cărui bază este 3 și celelalte două părți ale sale au o valoare de 5. Cu aceste măsurători, acesta ar avea unghiurile opuse față de laturile egale cu valoarea de 72,55 ° și unghiul opus de baza ar fi de 34,9 °.

Triunghiuri acute scalene

Acestea sunt triunghiurile care au toate laturile diferite două câte două. Prin urmare, toate unghiurile sale, pe lângă faptul că sunt mai mici de 90 °, sunt diferite de la doi la doi.

Triunghiul DEF (ale cărui măsuri sunt d = 4, e = 5 și f = 6 și unghiurile sale sunt D = 41,41 °, E = 55,79 ° și F = 82.8 °) este un bun exemplu de triunghi acut scalen.

Rezolvarea triunghiurilor acute

Așa cum am spus anterior, pentru a rezolva problemele care implică triunghiuri acute este necesară utilizarea teoremelor sinusului și cosinusului.

Exemplul 1

Având în vedere un triunghi ABC cu unghiurile A = 30 °, B = 70 ° și latura a = 5cm, dorim să cunoaștem valoarea unghiului C și laturile b și c.

Primul lucru pe care îl facem este să folosim faptul că suma unghiurilor interioare ale unui triunghi este de 180 °, pentru a obține valoarea unghiului C.

180 ° = A + B + C = 30 ° + 70 ° + C = 100 ° + C

Ștergem C și avem:

C = 180 ° - 100 ° = 80 °

Din moment ce cunoaștem deja cele trei unghiuri și o latură, putem folosi teorema sinusului pentru a determina valoarea părților rămase. După teoremă avem:

a / sin (A) = b / sin (B) și a / sin (A) = c / (sin (C)

Ne izolăm b de ecuație și rămânem cu:

b = (a * sin (B)) / sin (A) ≈ (5 * 0.940) / (0.5) ≈ 9.4

Acum trebuie doar să calculăm valoarea lui c. Procedăm la fel ca în cazul precedent:

c = (a * sin (C)) / sin (A) ≈ (5 * 0.984) / (0.5) ≈ 9.84

Astfel obținem toate datele triunghiului. După cum putem vedea, acest triunghi se încadrează în categoria triunghiului acut scalenic.

Exemplul 2

Având în vedere un triunghi DEF cu laturile d = 4cm, e = 5cm și f = 6cm, dorim să cunoaștem valoarea unghiurilor numitului triunghi.

Pentru acest caz vom folosi legea cosinusului, care ne spune că:

d ² = e ² + f ² - 2efcos (D)

Din această ecuație putem rezolva pentru cos (D), care ne oferă ca rezultat:

Cos (D) = ((4) ² - (5) ² - (6) ² ) / (- 2 * 5 * 6) = 0,75

De aici avem D≈ 41,41 °

Folosind acum teorema senom avem următoarea ecuație:

d / (păcat (D) = e / (păcat (E)

Rezolvând păcatul (E), avem:

sin (E) = e * sin (D) / d = (5 * 0,66) / 4 ≈ 0,827

De aici avem E≈55,79 °

În cele din urmă, folosind că suma unghiurilor interioare ale unui triunghi este de 180 °, avem F8,8,8 °.

1. Landaverde, F. d. (1997). Geometrie (reed. Ed.). Progresul.
2. Leake, D. (2006). Triunghiuri (ed. Ilustrată). Heinemann-Raintree.
3. Leal G. Juan Manuel. (2003). Geometria metrică a planului CODEPRE
4. Ruiz, Á., & Barrantes, H. (2006). Geometrii. Tehnologie CR
5. Sullivan, M. (1997). Trigonometrie și geometrie analitică. Pearson Education.