TRAPEZOID DREAPTA: PROPRIETĂȚI, RELAȚII ȘI FORMULE, EXEMPLE - MATEMATICA - 2025

Un trapezoid drept este o figură plană cu patru laturi, astfel încât două dintre ele sunt paralele între ele, numite baze și, de asemenea, una dintre celelalte părți este perpendiculară pe baze.

Din acest motiv, două dintre unghiurile interne sunt drepte, adică măsoară 90 °. De aici numele „dreptunghi” care este dat figurii. Următoarea imagine a unui trapezoid drept clarifică aceste caracteristici:

Elemente de trapez

Elementele trapezului sunt:

-Bases

-Vertices

-Înălţime

-Unghiuri interne

-Bază de bază

-Diagonals

Vom detalia aceste elemente cu ajutorul figurilor 1 și 2:

Figura 1. Un trapezoid drept, caracterizat prin a avea două unghiuri interne de 90º: A și B. Sursa: F. Zapata.

Partile laterale ale trapezului drept sunt notate cu litere mici, a, b, c si d. Colțurile figurii sau vertexurilor sunt indicate cu majuscule. În cele din urmă unghiurile interne sunt exprimate cu litere grecești.

Conform definiției, bazele acestui trapez sunt laturile a și b, care, după cum s-a observat, sunt paralele și au și lungimi diferite.

Latura perpendiculară pe ambele baze este partea c spre stânga, care este înălțimea h a trapezului. Și în final, există latura d, care formează unghiul ac α cu latura a.

Suma unghiurilor interioare ale unui patrulater este de 360º. Este ușor de observat că unghiul lipsă C din figură este de 180 - α.

Baza mediană este segmentul care unește punctele medii ale laturilor non-paralele (segmentul EF din figura 2).

Figura 2. Elementele trapezului drept. Sursa: F. Zapata.

Și, în sfârșit, există diagonalele d ₁ și d ₂ , segmentele care se alătură vertexurilor opuse și care se intersectează în punctul O (a se vedea figura 2).

Relații și formule

Înălțimea trapezului h

Perimetrul P

Este măsura conturului și se calculează adăugând laturile:

Latura d este exprimată în termenii înălțimii sau a laturii c prin teorema pitagoreică:

Înlocuirea în perimetru:

Baza mijlocie

Este semi-suma bazelor:

Uneori, baza medie se găsește exprimată astfel:

Zonă

Zona A a trapezului este produsul bazei medii de înălțime:

Diagonale, laturi și unghiuri

În figura 2 apar mai multe triunghiuri, atât dreapta cât și non-dreapta. Teorema pitagoreică poate fi aplicată celor care sunt triunghiuri drepte și celor care nu sunt, teoremele cosinusului și sinusului.

În acest fel, relațiile se găsesc între laturi și între laturi și unghiurile interne ale trapezului.

Triunghi CPA

Este un dreptunghi, picioarele sale sunt egale și merită b, în ​​timp ce ipotenuză este diagonala d ₁ , prin urmare:

Triunghi DAB

De asemenea, este un dreptunghi, picioarele sunt a și c (sau, de asemenea, ayh), iar ipotenuză este d ₂ , astfel încât:

Triunghi CDA

Deoarece acest triunghi nu este un triunghi drept, teorema cosinusului i se aplică sau, de asemenea, teorema sinusală.

Conform teoremei cosinusului:

Triunghi CDP

Acest triunghi este un triunghi drept și cu laturile sale raporturile trigonometrice ale unghiului α sunt construite:

Dar partea PD = a - b, prin urmare:

Aveți și:

Triunghiul CBD

În acest triunghi avem unghiul al cărui vertex este la C. Nu este marcat în figură, dar la început a fost evidențiat că este 180 - α. Acest triunghi nu este un triunghi drept, deci teorema cosinului sau teorema sinusului poate fi aplicată.

Acum, se poate arăta cu ușurință că:

Aplicarea teoremei cosinusului:

Exemple de trapezi drepți

Trapezoizii și, în special, trapezii drepți se găsesc pe multe părți, și uneori nu întotdeauna în formă tangibilă. Aici avem mai multe exemple:

Trapezul ca element de proiectare

Figurile geometrice abundă în arhitectura multor clădiri, cum ar fi această biserică din New York, care arată o structură în forma unui trapez dreptunghiular.

De asemenea, forma trapezoidală este frecventă în proiectarea containerelor, a containerelor, a lamelor (tăietor sau exact), a plăcilor și în designul grafic.

Figura 3. Îngerul din interiorul unui trapez dreptunghi într-o biserică din New York. Sursa: David Goehring prin Flickr.

Generator de unde trapezoidale

Semnalele electrice nu pot fi doar pătrate, sinusoidale sau triunghiulare. Există, de asemenea, semnale trapezoidale care sunt utile în multe circuite. În figura 4 există un semnal trapezoidal format din două trapezoide drepte. Între ele formează un singur trapez isoscel.

Figura 4. Un semnal trapezoidal. Sursa: Wikimedia Commons.

În calculul numeric

Pentru a calcula în formă numerică integralitatea definitivă a funcției f (x) între a și b, folosim regula trapezoidului pentru a aproxima zona de sub graficul lui f (x). În figura următoare, în stânga integrala este aproximată cu un singur trapezoid drept.

O aproximare mai bună este cea din figura dreaptă, cu mai multe trapezele drepte.

Figura 5. O integrală între a și b nu este altceva decât zona de sub curba f (x) dintre aceste valori. Un trapezoid drept poate servi ca o primă aproximare pentru o astfel de zonă, dar cu cât sunt mai mulți trapezi, cu atât este mai bună aproximarea. Sursa: Wikimedia Commons.

Grindă cu sarcină trapezoidală

Forțele nu sunt întotdeauna concentrate pe un singur punct, deoarece corpurile asupra cărora acționează au dimensiuni apreciabile. Acesta este cazul unui pod peste care vehiculele circulă continuu, apa unei piscine pe pereții verticali ai aceleiași sau un acoperiș pe care se acumulează apă sau zăpadă.

Din acest motiv, forțele sunt distribuite pe unitatea de lungime, suprafață sau volum, în funcție de corpul pe care acționează.

În cazul unui fascicul, o forță distribuită pe lungimea unității poate avea diverse distribuții, de exemplu trapezul drept prezentat mai jos:

Figura 6. Sarcini pe un fascicul. Sursa: Bedford, A. 1996. Static. Addison Wesley Interamericana.

În realitate, distribuțiile nu corespund întotdeauna cu forme geometrice obișnuite ca aceasta, dar pot fi o bună aproximare în multe cazuri.

Ca instrument educativ și de învățare

Blocurile și imaginile în formă de geometrie, inclusiv trapezii, sunt foarte utile în cunoașterea copiilor cu fascinanta lume a geometriei de la o vârstă fragedă.

Figura 7. Blocuri cu forme geometrice simple. Câte trapeze drepte sunt ascunse în blocuri? Sursa: Wikimedia Commons.

Exerciții rezolvate

- Exercitiul 1

În trapezul drept din figura 1, baza mai mare este de 50 cm, iar baza mai mică este egală cu 30 cm, se știe, de asemenea, că partea oblică este de 35 cm. Găsi:

a) Unghiul α

b) Înălțimea

c) Perimetrul

d) Baza medie

e) Zona

f) Diagonale

Solutie la

Datele enunțului sunt rezumate după cum urmează:

a = baza mai mare = 50 cm

b = bază mai mică = 30 cm

d = partea înclinată = 35 cm

Pentru a găsi unghiul α, vizităm secțiunea de formule și ecuații, pentru a vedea care este cea mai potrivită pentru datele furnizate. Unghiul căutat se găsește în mai multe triunghiuri analizate, de exemplu CDP.

Avem această formulă, care conține necunoscutul și, de asemenea, datele pe care le știm:

Prin urmare:

Se elimină h:

d ₁ ² = 2 x (30 cm) ² = 1800 cm ²

d ₁ = √1800 cm ² = 42,42 cm

Și pentru diagonala d ₂ :

Referințe

1. Baldor, A. 2004. Geometria planului și spațiului cu trigonometrie. Publicatii culturale.
2. Bedford, A. 1996. Statică. Addison Wesley Interamericana.
3. Jr. geometrie. 2014. Poligoane. Lulu Press, Inc.
4. OnlineMSchool. Trapezoid dreptunghiular. Recuperat de la: es.onlinemschool.com.
5. Rezolvarea automată a problemelor de geometrie. Trapezul. Recuperat din: scuolaelettrica.it
6. Wikipedia. Trapez (geometrie). Recuperat de la: es.wikipedia.org.