TRAPEZ SCALENIC: PROPRIETĂȚI, FORMULE ȘI ECUAȚII, EXEMPLE - MATEMATICA - 2025

Un trapezoid scalen este un poligon cu patru laturi, dintre care două sunt paralele între ele, și cu cele patru unghiuri interioare de măsuri diferite.

ABCD-ul patrulater este prezentat mai jos, unde laturile AB și DC sunt paralele între ele. Acest lucru este suficient pentru a fi un trapez, dar, de asemenea, unghiurile interioare α, β, γ și δ sunt toate diferite, prin urmare, trapezul este scalen.

Figura 1. ABCD patrulater este trapezoid prin condiția 1 și scalen după starea 2. Sursa: F. Zapata.

Elemente ale trapezului scalenic

Iată cele mai caracteristice elemente:

-Baze și părți laterale: laturile paralele ale trapezului sunt bazele sale, iar cele două laturi non-paralele sunt cele laterale.

Într-un trapezoid scalen bazele au lungimi diferite și laterale. Cu toate acestea, un trapezoid scalen poate avea o latură egală în lungime față de o bază.

-Median: este segmentul care unește punctele medii ale celor laterale.

-Diagonali: diagonala unui trapez este segmentul care unește două vârfuri opuse. Un trapez, ca orice patrulater, are două diagonale. În trapezul scalen au lungimi diferite.

Alți trapezi

În afară de trapezul scalen, există și alte trapezoide: trapezul drept și trapezul izoscel.

Un trapez este un dreptunghi atunci când unul dintre unghiurile sale este drept, în timp ce un trapez isoscel are laturile sale de lungime egală.

Forma trapezoidală are numeroase aplicații la nivel de proiectare și industrie, cum ar fi în configurarea aripilor aeronavei, forma obiectelor de zi cu zi, cum ar fi mesele, spătarul scaunelor, ambalajele, poșetele, imprimeurile textile și multe altele.

Figura 2. Forma trapezoidală este comună în configurația aripilor avioanelor. Sursa: Wikimedia Commons.

Proprietăți

Proprietățile trapezului scalen sunt enumerate mai jos, multe dintre ele extinzându-se la celelalte tipuri de trapez. În ceea ce urmează, când se vorbește de "trapez", proprietatea se va aplica oricărui tip, inclusiv scalenului.

1. Mediana trapezului, adică segmentul care unește punctele medii ale laturilor sale non-paralele, este paralelă cu oricare dintre baze.

2.- Mediana unui trapez are o lungime care este semisumul celui al bazelor sale și își taie diagonalele la punctul mijlociu.

3.- Diagonalele unui trapez se intersectează într-un punct care le împarte în două secțiuni care sunt proporționale cu cotele bazelor.

4.- Suma pătratelor diagonalelor unui trapez este egală cu suma pătratelor laturilor sale plus produsul dublu al bazelor sale.

5.- Segmentul care unește punctele mijlocii ale diagonalelor are o lungime egală cu jumătatea diferenței bazelor.

6.- Unghiurile adiacente celor laterale sunt suplimentare.

7.- La un trapezoid scalen, lungimile diagonalelor sale sunt diferite.

8.- Un trapez are o circumferință înscrisă numai dacă suma bazelor sale este egală cu suma laturilor sale.

9.- Dacă un trapez are o circumferință înscrisă, atunci unghiul cu vârful în centrul circumferinței menționate și laturile care trec prin capetele laturii trapezului este drept.

10.- Un trapezoid scalen nu are o circumferință circumscrisă, singurul tip de trapezoid care este isoscel.

Formule și ecuații

Următoarele relații ale trapezului scalenic se referă la figura următoare.

1.- Dacă AE = ED și BF = FC → EF - AB și EF - DC.

2.- EF = (AB + DC) / 2 adică: m = (a + c) / 2.

3. DI = IB = d ₁ /2 și AG = GC = d cu ₂ /2.

4.- DJ / JB = (c / a) în mod similar CJ / JA = (c / a).

Figura 3. Mediană și diagonale ale unui trapez scuenic. Sursa: F. Zapata.

5.- DB ² + AC ² = AD ² + BC ² + 2 AB ∙ DC

Echivalent:

d ₁ ² + d ₂ ² = d ² + b ² + 2 a ∙ c

6.- GI = (AB - DC) / 2

Adică:

n = (a - c) / 2

7.- α + δ = 180⁰ și β + γ = 180⁰

8.- Dacă α ≠ β ≠ γ ≠ δ atunci d1 ≠ d2.

9.- Figura 4 prezintă un trapezoid scalen care are o circumferință înscrisă, în acest caz este adevărat că:

a + c = d + b

10.- Într-un ABCD trapezoid scalen cu o circumferință inscripționată a centrului O, este de asemenea adevărat:

∡AOD = ∡BOC = 90⁰

Figura 4. Dacă într-un trapezoid se verifică că suma bazelor sale este egală cu suma lateralelor, atunci este înscrisă în el o circumferință. Sursa: F. Zapata.

Înălţime

Înălțimea unui trapez este definită ca segmentul care merge dintr-un punct al bazei perpendicular pe baza opusă (sau extensia sa).

Toate înălțimile trapezului au aceeași măsurare h, deci de cele mai multe ori cuvântul înălțime se referă la măsurarea sa. Pe scurt, înălțimea este distanța sau separarea dintre baze.

Înălțimea h poate fi determinată cunoscând lungimea unei părți și a unuia dintre unghiurile adiacente laturii:

h = d Sen (α) = d Sen (γ) = b Sen (β) = b Sen (δ)

Median

Măsura m a medianei trapezului este semisuma bazelor:

m = (a + b) / 2

diagonalele

d ₁ = √

d ₂ = √

De asemenea, poate fi calculat dacă este cunoscută numai lungimea laturilor trapezului:

d ₁ = √

d ₂ = √

Perimetru

Perimetrul este lungimea totală a conturului, adică suma tuturor laturilor sale:

P = a + b + c + d

Zonă

Zona unui trapez este semisumul bazelor sale înmulțit cu înălțimea:

A = h ∙ (a + b) / 2

De asemenea, se poate calcula dacă mediana m este cunoscută și înălțimea h:

A = m ∙ h

În cazul în care este cunoscută numai lungimea laturilor trapezului, zona poate fi determinată folosind formula lui Heron pentru trapez:

A = ∙ √

Unde s este semiperimetrul: s = (a + b + c + d) / 2.

Alte raporturi pentru trapezul scalen

Intersecția medianei cu diagonalele și paralela care trece prin intersecția diagonalelor dă naștere altor relații.

Figura 5. Alte relații pentru trapezul scalen. Sursa: F. Zapata.

-Relații pentru EF median

EF = (a + c) / 2; EG = IF = c / 2; EI = GF = a / 2

-Relații pentru segmentul paralel cu bazele KL și care trece prin punctul de intersecție J al diagonalelor

Dacă KL - AB - DC cu J ∈ KL, atunci KJ = JL = (a ∙ c) / (a ​​+ c)

Construcția trapezului scalen cu riglă și busolă

Având în vedere bazele lungimilor a și c, unde a> cy cu laturile lungimilor b și d, unde b> d, procedați urmând acești pași (a se vedea figura 6):

1.- Cu regula este desenat segmentul AB major.

2.- Din punctul A și pe marcajul AB punctul P astfel încât AP = c.

3.- Cu busola cu centrul în P și raza d este trasat un arc.

4.- Un centru este realizat la B cu raza b, desenând un arc care interceptează arcul desenat în pasul anterior. Numim Q punctul de intersecție.

Figura 6. Construcția unui trapezoid scalen având în vedere laturile sale. Sursa: F. Zapata.

5.- Cu centrul la A, desenați un arc de rază d.

6.- Cu centrul la Q, desenați un arc de raza c care interceptează arcul desenat în pasul anterior. Punctul de tăiere se va numi R.

7.- Segmentele BQ, QR și RA sunt desenate cu rigla.

8.- ABQR patrulateră este un trapezoid scalen, deoarece APQR este o paralelogramă, care garantează că AB - QR.

Exemplu

Următoarele lungimi sunt indicate în cm: 7, 3, 4 și 6.

a) Determinați dacă cu ele este posibil să se construiască un trapezoid scalen care să circumscrie un cerc.

b) Găsiți perimetrul, aria, lungimea diagonalelor și înălțimea trapezului menționat, precum și raza cercului înscris.

- Solutie la

Folosind segmentele de lungime 7 și 3 ca baze și cele de lungime 4 și 6 ca laturi, se poate construi un trapezoid scalen folosind procedura descrisă în secțiunea anterioară.

Rămâne să verificați dacă are o circumferință înscrisă, dar amintind proprietatea (9):

Vedem că eficient:

7 + 3 = 4 + 6 = 10

Apoi, condiția existenței circumferinței înscrise este îndeplinită.

- Soluția b

Perimetru

Perimetrul P este obținut prin adăugarea laturilor. Având în vedere că bazele se ridică la 10 și cele laterale, perimetrul este:

P = 20 cm

Zonă

Pentru a determina zona, cunoscută doar laturile sale, relația se aplică:

A = ∙ √

Unde este semiperimetrul:

s = (a + b + c + d) / 2.

În cazul nostru, semiperimetrul valorează s = 10 cm. După înlocuirea valorilor respective:

a = 7 cm; b = 6 cm; c = 3 cm; d = 4 cm

Remains:

A = √ = (5/2) √63 = 19,84 cm².

Înălţime

Înălțimea h este legată de zona A prin următoarea expresie:

A = (a + c) ∙ h / 2, din care înălțimea poate fi obținută prin ștergerea:

h = 2A / (a ​​+ c) = 2 * 19,84 / 10 = 3,988 cm.

Raza cercului înscris

Raza cercului înscris este egală cu jumătate din înălțime:

r = h / 2 = 1.984 cm

diagonalele

În sfârșit, găsim lungimea diagonalelor:

d ₁ = √

d ₂ = √

Înlocuirea corectă a valorilor pe care le avem:

d ₁ = √ = √ (36 + 21-7 (20) / 4) = √ (22)

d ₂ = √ = √ (16 + 21-7 (-20) / 4) = √ (72)

Adică: d ₁ = 4,69 cm și d ₂ = 8,49 cm

Figura 7. Trapezul scalen care îndeplinește condiția existenței unei circumferințe înscrise. Sursa: F. Zapata.

Exercițiu rezolvat

Determinați unghiurile interioare ale trapezului cu bazele AB = a = 7, CD = c = 3 și unghiurile laterale BC = b = 6, DA = d = 4.

Soluţie

Teorema cosinusului poate fi aplicată pentru a determina unghiurile. De exemplu, unghiul ∠A = α este determinat din triunghiul ABD cu AB = a = 7, BD = d2 = 8,49, iar DA = d = 4.

Teorema cosinusului aplicată acestui triunghi arată astfel:

d ₂ ² = a ² + d ² - 2 ∙ a ∙ d ∙ Cos (α), adică:

72 = 49 + 16-56 ∙ Cos (α).

Rezolvând, cosinul unghiului α este obținut:

Cos (α) = -1/8

Adică α = ArcCos (-1/8) = 97,18⁰.

Celelalte unghiuri sunt obținute în același mod, valorile lor fiind:

β = 41,41⁰; γ = 138,59⁰ și în final δ = 82.82⁰.

Referințe

1. CEA (2003). Elemente de geometrie: cu exerciții și geometrie busolă. Universitatea din Medellin.
2. Campos, F., Cerecedo, FJ (2014). Matematică 2. Grupo Editorial Patria.
3. Liberat, K. (2007). Descoperă poligoane. Benchmark Education Company.
4. Hendrik, V. (2013). Poligoane generalizate. Birkhăuser.
5. IGER. (Sf). Matematica Primul semestru Tacaná. IGER.
6. Jr. geometrie. (2014). Poligoane. Lulu Press, Inc.
7. Miller, Heeren și Hornsby. (2006). Matematică: raționament și aplicații (ediția a X-a). Pearson Education.
8. Patiño, M. (2006). Matematică 5. Editorial Progreso.
9. Wikipedia. Trapez. Recuperat din: es.wikipedia.com