TRANSFORMARE DISCRETA FOURIER: PROPRIETĂȚI, APLICAȚII, EXEMPLE - MATEMATICA - 2025

Discrete Fourier transforma este o metodă numerică utilizată pentru a defini mostre referitoare la frecvențele spectrale care alcătuiesc un semnal. Studiază funcțiile periodice în parametri închis, obținând ca rezultat un alt semnal discret.

Pentru a obține transforma Fourier discretă din N puncte, pe un semnal discret, trebuie îndeplinite următoarele 2 condiții pe o secvență x

TDF

Transformarea Fourier discretă poate fi definită ca o prelevare în punctul N a transformării Fourier.

Interpretarea discretei transformări de Fourier

Sursa: Pexels

Există 2 puncte de vedere din care rezultatele obținute pe o secvență x _s pot fi interpretate prin transformarea Fourier discretă.

-Primul corespunde coeficienților spectrali, deja cunoscuți din seria Fourier. Se observă în semnale periodice discrete, probele coincidând cu secvența x _s .

-A doua se referă la spectrul unui semnal aperiodic discret, cu probe corespunzătoare secvenței x _s .

Transformarea discretă este o aproximare la spectrul semnalului analogic original. Faza sa depinde de instantele de eșantionare, în timp ce amploarea acesteia depinde de intervalul de eșantionare.

Proprietăți

Bazele algebrice ale structurii constituie rațiunea pentru următoarele secțiuni.

Liniaritatea

C. S _n → C. F; Dacă o secvență este înmulțită cu un scalar, transformarea ei va fi și ea.

T _n + V _n = F + F; Transformarea unei sume este egală cu suma transformărilor.

Dualitate

F → (1 / N) S _-k; Dacă transforma Fourier discret este recalculată într-o expresie deja transformată, se obține aceeași expresie, scalată în N și inversată în raport cu axa verticală.

Convoluţie

Urmărind obiective similare ca în transformarea Laplace, convoluția funcțiilor se referă la produsul dintre transformările lor Fourier. Convoluția se aplică, de asemenea, timpurilor discrete și este responsabilă pentru multe proceduri moderne.

X _n * R _n → F .F; Transformarea unei convoluții este egală cu produsul transformărilor.

X _n . R _n → F * F; Transformarea unui produs este egală cu transformarea transformărilor.

Deplasare

X _n-m → F e ^{–i (2π / N) km} ; Dacă o secvență este întârziată cu m eșantioane, efectul ei asupra transformării discrete va fi o modificare a unghiului definit cu (2π / N) km.

Simetrie

X _t = X * _t = X _t

Modulare

W ^-nm _N . x ↔ X _t

Produs

xy ↔ (1 / N) X _t * Y _t

Simetrie

X ↔ X _t = X * _t

Conjuga

x * ↔ X * _t

Ecuația parsevală

În ceea ce privește transformarea convențională Fourier, are mai multe asemănări și diferențe. Transformarea Fourier transformă o secvență într-o linie solidă. În acest fel, se spune că rezultatul variabilei Fourier este o funcție complexă a unei variabile reale.

Transformarea Fourier discret, spre deosebire, primește un semnal discret și îl transformă într-un alt semnal discret, adică o secvență.

Pentru ce este transformata discreta Fourier?

Ele servesc în primul rând pentru simplificarea considerabilă a ecuațiilor, transformând în același timp expresiile derivate în elemente de putere. Notarea expresiilor diferențiale în forme polinomiale integrabile.

În optimizarea, modularea și modelarea rezultatelor, acționează ca o expresie standardizată, fiind o resursă frecventă pentru inginerie după mai multe generații.

Sursa: pixabay

Istorie

Acest concept matematic a fost introdus de Joseph B. Fourier în 1811, în timp ce dezvolta un tratat privind propagarea căldurii. A fost adoptat rapid de diverse ramuri ale științei și ingineriei.

A fost stabilit ca principalul instrument de lucru în studiul ecuațiilor cu derivate parțiale, chiar comparându-l cu relația de lucru existentă între transformarea Laplace și ecuațiile diferențiale obișnuite.

Fiecare funcție care poate fi lucrată cu o transformare Fourier trebuie să prezinte nul în afara unui parametru definit.

Transformă Fourier discretă și inversă

Transformarea discretă se obține prin expresia:

După ce s-a dat o secvență discretă X

Inversul discretei transformări Fourier este definit prin expresia:

PTO inversă

Odată ce transformarea discretă este realizată, permite definirea secvenței în domeniul temporal X.

Înaripat

Procesul de parametrizare corespunzător transformării Fourier discrete se află în geam. Pentru a lucra transformarea, trebuie să limităm secvența în timp. În multe cazuri semnalele în cauză nu au aceste limitări.

O secvență care nu îndeplinește criteriile de mărime care trebuie aplicate transformării discrete poate fi înmulțită cu o funcție V „de fereastră”, definind comportamentul secvenței într-un parametru controlat.

X. V

Lățimea spectrului va depinde de lățimea ferestrei. Pe măsură ce lățimea ferestrei crește, transformarea calculată va fi mai îngustă.

Aplicații

Calculul soluției fundamentale

Transformarea Fourier discretă este un instrument puternic în studiul secvențelor discrete.

Transformata Fourier discreta transformă o funcție variabilă continuă într-o transformare variabilă discretă.

Problema Cauchy pentru ecuația de căldură prezintă un câmp frecvent de aplicare a transformării Fourier discrete . În cazul în care este generată funcția de bază a căldurii sau a miezului Dirichlet, care se aplică valorilor de eșantionare într-un parametru definit.

Teoria semnalelor

Motivul general pentru aplicarea discretei transformări de Fourier în această ramură se datorează în principal descompunerii caracteristice a unui semnal ca o superpoziție infinită a semnalelor mai ușor de tratat.

Poate fi o undă sonoră sau o undă electromagnetică, transforma Fourier discretă o exprimă într-o superpoziție de unde simple. Această reprezentare este destul de frecventă în inginerie electrică.

Seria Fourier

Sunt serii definite în termeni de Cosine și Sine. Ele servesc pentru a facilita munca cu funcții periodice generale. Atunci când sunt aplicate, acestea fac parte din tehnicile de soluționare a ecuațiilor diferențiale obișnuite și parțiale.

Seriile Fourier sunt chiar mai generale decât seriile Taylor, deoarece dezvoltă funcții discontinue periodice care nu au reprezentarea seriei Taylor.

Alte forme din seria Fourier

Pentru a înțelege transforma Fourier în mod analitic, este important să trecem în revistă celelalte modalități prin care se poate găsi seria Fourier, până când putem defini seria Fourier în notația sa complexă.

-Seria mai fierbinte pe o funcție din perioada 2L:

Se consideră intervalul, care oferă avantaje atunci când se profită de caracteristicile simetrice ale funcțiilor.

Dacă f este egal, seria Fourier este stabilită ca o serie de Cosine.

Dacă f este ciudat, seria Fourier este stabilită ca o serie de sinusuri.

-Notarea complexă a seriei Fourier

Dacă avem o funcție f (t), care îndeplinește toate cerințele seriei Fourier, este posibil să o denotăm în interval folosind notația sa complexă:

Exemple

În ceea ce privește calculul soluției fundamentale, sunt prezentate următoarele exemple:

Pe de altă parte, următoarele sunt exemple ale aplicării discretei transformări Fourier în domeniul teoriei semnalului:

-Probleme de identificare a sistemului. Înființat f și g

-Problema cu consistența semnalului de ieșire

-Probleme cu filtrare de semnal

Exerciții

Exercitiul 1

Calculați transforma Fourier discretă pentru următoarea secvență.

Puteți defini PTO-ul x ca:

X _t = {4, -j2, 0, j2} pentru k = 0, 1, 2, 3

Exercițiul 2

Vrem să determinăm semnalul spectral definit de expresia x (t) = e ^-t printr-un algoritm digital . În cazul în care coeficientul de solicitare a frecvenței maxime este f _m = 1 Hz. O armonică corespunde f = 0,3 Hz. Eroarea este limitată la mai puțin de 5%. Calculați f _s , D și N.

Ținând cont de teorema de eșantionare f _s = 2f _m = 2 Hz

Se alege o rezoluție de frecvență de f ₀ = 0,1 Hz, din care obținem D = 1 / 0,1 = 10s

0,3 Hz este frecvența corespunzătoare indicelui k = 3, unde N = 3 × 8 = 24 probe. Indicând că f _s = N / D = 24/10 = 2.4> 2

Deoarece scopul este de a obține cea mai mică valoare posibilă pentru N, următoarele valori pot fi considerate ca o soluție:

f ₀ = 0,3 Hz

D = 1 / 0,3 = 3,33s

k = 1

N = 1 × 8 = 8

Referințe

1. Stăpânirea transformării Fourier discrete într-una, două sau mai multe dimensiuni: capcanele și artefactele. Isaac Amidror. Springer Science & Business Media, 19 iul. 2013
2. DFT: un manual al proprietarilor pentru transformarea discreta Fourier. William L. Briggs, Van Emden Henson. SIAM, 1 ian. o mie noua sute nouazeci si cinci
3. Prelucrarea digitală a semnalului: teorie și practică. D. Sundararajan. World Scientific, 2003
4. Transformări și algoritmi rapide pentru analiza și reprezentările semnalului. Guoan Bi, Yonghong Zeng. Springer Science & Business Media, 6 decembrie. 2012
5. Transformări Fourier discrete și continue: analiză, aplicații și algoritmi rapide. Eleanor Chu. CRC Press, 19 mar. 2008