TRANSFORMARE LAPLACE: DEFINIȚIE, ISTORIE ȘI PENTRU CE ESTE - MATEMATICA - 2025

Transformata Laplace a fost în ultimii ani de o mare importanță în studii de inginerie, matematică, fizică, printre alte domenii științifice, precum și ca fiind de mare interes teoretic, oferă o modalitate simplă de a rezolva problemele care vin din știință și inginerie.

Inițial, transformarea Laplace a fost prezentată de Pierre-Simón Laplace în studiul său despre teoria probabilității și a fost inițial tratată ca un obiect matematic de interes pur teoretic.

Aplicațiile actuale apar atunci când diverși matematicieni au încercat să dea o justificare formală „regulilor operaționale” utilizate de Heaviside în studiul ecuațiilor teoriei electromagnetice.

Definiție

Fie f o funcție definită pentru t ≥ 0. Transformarea Laplace este definită după cum urmează:

Se spune că transformarea Laplace există dacă integrala anterioară converg, altfel se spune că transforma Laplace nu există.

În general, literele minuscule sunt folosite pentru a indica funcția care trebuie transformată, iar litera majusculă corespunde transformării sale. În acest fel vom avea:

Exemple

Luați în considerare funcția constantă f (t) = 1. Avem transforma sa este:

Ori de câte ori integrala converg, adică ori de câte ori s> 0. În caz contrar, s <0, integrala diverge.

Fie g (t) = t. Transformarea sa Laplace este dată de

Integrând pe părți și știind că te ^-st tinde spre 0 când t tinde la infinit și s> 0, împreună cu exemplul anterior avem:

Transformarea poate exista sau nu, de exemplu pentru funcția f (t) = 1 / t integrala care definește transformarea Laplace nu converg și, prin urmare, transformarea sa nu există.

Condițiile suficiente pentru a garanta că transformarea Laplace a unei funcții f există este că f este continuă pentru t ≥ 0 și este de ordin exponențial.

Se spune că o funcție este continuă pentru t ≥ 0, când pentru orice interval cu a> 0, există un număr finit de puncte t _k, unde f are discontinuități și este continuă în fiecare subinterval.

Pe de altă parte, se spune că o funcție este de ordin exponențial c dacă există constante reale M> 0, c și T> 0 astfel încât:

Ca exemple avem faptul că f (t) = t ² este de ordine exponențială, deoarece -t ² - <e ^3t pentru toți t> 0.

Într-un mod formal avem următoarea teoremă

Teorema (condiții suficiente pentru existență)

Dacă f este o funcție continuă parțială pentru t> 0 și de ordin exponențial c, atunci transformarea Laplace există pentru s> c.

Este important de menționat că aceasta este o condiție de suficiență, adică s-ar putea situa în cazul în care există o funcție care nu îndeplinește aceste condiții și chiar și transformarea sa Laplace.

Un exemplu în acest sens este funcția f (t) = t ^-1/2 care nu este continuă pentru t ≥ 0, dar există transforma lui Laplace.

Transformarea Laplace a unor funcții de bază

Următorul tabel arată transformările Laplace ale celor mai comune funcții.

Istorie

Transformarea de la Laplace își datorează numele lui Pierre-Simon Laplace, un matematician și astronom teoretic francez, care s-a născut în 1749 și a murit în 1827. Faima lui a fost astfel încât a fost cunoscut ca Newton al Franței.

În 1744, Leonard Euler și-a dedicat studiile integrelor cu forma

ca soluții ale ecuațiilor diferențiale obișnuite, dar a abandonat rapid această anchetă. Ulterior, Joseph Louis Lagrange, care îl admira foarte mult pe Euler, a investigat și aceste tipuri de integrale și le-a legat de teoria probabilității.

1782, Laplace

În 1782, Laplace a început să studieze astfel de integrale ca soluții la ecuații diferențiale și, potrivit istoricilor, în 1785 a decis să reformuleze problema, care ulterior a dat naștere la transformările Laplace așa cum sunt înțelese astăzi.

Fiind introdus în domeniul teoriei probabilității, la acea vreme era de puțin interes pentru oamenii de știință și era privit doar ca un obiect matematic de interes doar teoretic.

Oliver Heaviside

La mijlocul secolului al XIX-lea, inginerul englez Oliver Heaviside a descoperit că operatorii diferențiali pot fi tratați ca variabile algebice, oferind astfel lui Laplace transformarea aplicației lor moderne.

Oliver Heaviside a fost un fizician, inginer electric și matematician englez, care s-a născut la Londra în 1850 și a murit în 1925. În timp ce încerca să rezolve probleme de ecuație diferențială aplicate teoriei vibrațiilor și folosind studiile lui Laplace, a început să modeleze Aplicații moderne ale transformărilor Laplace.

Rezultatele prezentate de Heaviside s-au răspândit rapid în toată comunitatea științifică a vremii, dar, întrucât activitatea sa nu a fost riguroasă, a fost repede criticat de către matematicienii mai tradiționali.

Cu toate acestea, utilitatea lucrării lui Heaviside în rezolvarea ecuațiilor în fizică a făcut ca metodele sale să fie populare în rândul fizicienilor și inginerilor.

În ciuda acestor neplăceri și după câteva decenii de încercări eșuate, la începutul secolului XX, o justificare riguroasă ar putea fi acordată regulilor operaționale date de Heaviside.

Aceste încercări au dat roade datorită eforturilor diverșilor matematicieni precum Bromwich, Carson, van der Pol, printre altele.

Proprietăți

Printre proprietățile transformării Laplace, se evidențiază următoarele:

Liniaritatea

Fie c1 și c2 constante și funcțiile f (t) și g (t) ale căror transformări Laplace sunt F (s) și respectiv G (s), atunci avem:

Datorită acestei proprietăți, se spune că transformarea Laplace este un operator liniar.

Exemplu

Prima teoremă a traducerii

Dacă se întâmplă asta:

Și „a” este orice număr real, deci:

Exemplu

Deoarece transformarea Laplace a cos (2t) = s / (s ^ 2 + 4) atunci:

A doua teoremă a traducerii

da

Asa de

Exemplu

Dacă f (t) = t ^ 3, atunci F (s) = 6 / s ^ 4. Și, prin urmare, transformarea din

este G (s) = 6e ^-2s / s ^ 4

Schimbare la scară

da

Și „a” este un real non-zero, trebuie să

Exemplu

Deoarece transformarea lui f (t) = sin (t) este F (s) = 1 / (s ^ 2 + 1) avem aceea că

Transformarea lui Laplace a derivatelor

Dacă f, f ', f' ', …, f ⁽ⁿ⁾ sunt continue pentru t ≥ 0 și sunt de ordine exponențială, iar f ⁽ⁿ⁾ (t) este continuu, pentru t ≥ 0, atunci

Transformare Laplace de integrale

da

Asa de

Înmulțirea cu t

Dacă trebuie

Asa de

Diviziunea după t

Dacă trebuie

Asa de

Funcții periodice

Fie f o funcție periodică cu perioada T> 0, adică f (t + T) = f (t), atunci

Comportamentul lui F (e) ca s tinde la infinit

Dacă f este continuă în părți și de ordine exponențială și

Asa de

Transformele inverse

Când aplicăm transformarea Laplace la o funcție f (t) obținem F (s), care reprezintă această transformare. În același mod, putem spune că f (t) este transforma Laplace inversă a lui F (s) și este scrisă ca

Știm că transformările Laplace ale lui f (t) = 1 și g (t) = t sunt F (s) = 1 / s, respectiv G (s) = 1 / s ² , prin urmare avem

Unele transformări comune de Laplace inversă sunt următoarele

Mai mult, transformarea Laplace inversă este liniară, adică este adevărat că

Exercițiu

Găsi

Pentru a rezolva acest exercițiu, trebuie să potrivim funcția F (e) cu una din tabelul anterior. În acest caz, dacă luăm un + 1 = 5 și folosim proprietatea de liniaritate a transformării inverse, înmulțim și împărțim cu 4! Obținerea

Pentru a doua transformare inversă aplicăm fracții parțiale pentru a rescrie funcția F (s) și apoi proprietatea liniarității, obținând

După cum putem vedea din aceste exemple, este comun ca funcția F (e) care este evaluată să nu corespundă cu exactitate oricăreia dintre funcțiile date în tabel. Pentru aceste cazuri, după cum se poate vedea, este suficient să rescrieți funcția până când ajunge la forma corespunzătoare.

Aplicații ale transformării Laplace

Ecuatii diferentiale

Principala aplicație a transformărilor Laplace este rezolvarea ecuațiilor diferențiale.

Folosind proprietatea transformării unui derivat este clar că

Y din derivații n-1 evaluați la t = 0.

Această proprietate face transformarea foarte utilă pentru rezolvarea problemelor de valoare inițială în care sunt implicate ecuații diferențiale cu coeficienți constanți.

Următoarele exemple arată cum să utilizăm transformarea Laplace pentru a rezolva ecuațiile diferențiale.

Exemplul 1

Având în vedere următoarea problemă de valoare inițială

Utilizați transforma Laplace pentru a găsi soluția.

Aplicăm transformarea Laplace pe fiecare membru al ecuației diferențiale

Prin proprietatea transformării unui derivat avem

Dezvoltând toată expresia și ștergând Y-ul (ele) pe care le avem

Folosind fracții parțiale pentru a rescrie partea dreaptă a ecuației obținem

În final, scopul nostru este să găsim o funcție y (t) care să satisfacă ecuația diferențială. Utilizarea transformării Laplace inversă ne oferă rezultatul

Exemplul 2

Rezolva

Ca și în cazul precedent, aplicăm transformarea pe ambele părți ale ecuației și se separă termenul după termen.

În acest fel avem ca rezultat

Înlocuirea cu valorile inițiale date și rezolvarea pentru Y (e)

Folosind fracții simple putem rescrie ecuația după cum urmează

Iar aplicarea transformării Laplace inversă ne oferă rezultatul

În aceste exemple, s-ar putea concluziona greșit că această metodă nu este cu mult mai bună decât metodele tradiționale de rezolvare a ecuațiilor diferențiale.

Avantajele transformării Laplace sunt că nu trebuie să folosiți variația parametrilor sau să vă faceți griji pentru diferitele cazuri ale metodei coeficientului nedeterminat.

În plus, la rezolvarea problemelor de valoare inițială prin această metodă, de la început folosim condițiile inițiale, deci nu este necesar să efectuăm alte calcule pentru a găsi soluția particulară.

Sisteme de ecuații diferențiale

Transformarea Laplace poate fi, de asemenea, utilizată pentru a găsi soluții la ecuații diferențiale obișnuite simultane, așa cum arată exemplul următor.

Exemplu

Rezolva

Cu condițiile inițiale x (0) = 8 și y (0) = 3.

Dacă trebuie

Asa de

Rezolvarea ne dă ca rezultat

Și aplicând transformarea Laplace inversă avem

Mecanica și circuitele electrice

Transformarea Laplace are o importanță deosebită în fizică, are în principal aplicații pentru mecanică și circuite electrice.

Un circuit electric simplu este format din următoarele elemente

Un comutator, o baterie sau o sursă, un inductor, un rezistor și un condensator. Când întrerupătorul este închis, se produce un curent electric care este notat de i (t). Încărcarea condensatorului este notată cu q (t).

Prin a doua lege a lui Kirchhoff, tensiunea produsă de sursa E în circuitul închis trebuie să fie egală cu suma fiecărei căderi de tensiune.

Curentul electric i (t) este legat de sarcina q (t) de pe condensator de i = dq / dt. Pe de altă parte, căderea de tensiune în fiecare dintre elemente este definită după cum urmează:

Căderea de tensiune pe un rezistor este iR = R (dq / dt)

Scăderea de tensiune pe un inductor este L (di / dt) = L (d ² q / dt ² )

Scăderea de tensiune a unui condensator este q / C

Cu aceste date și aplicând a doua lege a lui Kirchhoff circuitului simplu închis, se obține o ecuație diferențială de ordinul doi care descrie sistemul și ne permite să determinăm valoarea lui q (t).

Exemplu

Un inductor, un condensator și o rezistență sunt conectate la o baterie E, așa cum se arată în figură. Inductorul este de 2 henry, condensatorul este de 0,02 farad și rezistența de 16 ohmi. La momentul t = 0 circuitul este închis. Găsiți încărcarea și curentul în orice moment t> 0 dacă E = 300 volți.

Avem că ecuația diferențială care descrie acest circuit este următoarea

În cazul în care condițiile inițiale sunt q (0) = 0, i (0) = 0 = q '(0).

Prin aplicarea transformării Laplace obținem asta

Și rezolvarea pentru Q (t)

Apoi, aplicând transformarea Laplace inversă pe care o avem

Referințe

1. G. Holbrook, J. (1987). Transformare Laplace pentru ingineri electronici. Limusa.
2. Ruiz, LM și Hernandez, parlamentar (2006). Ecuațiile diferențiale și Laplace se transformă cu aplicații. Editorial UPV.
3. Simmons, GF (1993). Ecuații diferențiale cu aplicații și note istorice. McGraw-Hill.
4. Spiegel, MR (1991). Laplace se transformă. McGraw-Hill.
5. Zill, DG, & Cullen, MR (2008). Ecuații diferențiale cu probleme de valoare de frontieră. Cengage Learning Editores, SA