TRANSFORMĂRI IZOMETRICE: COMPOZIȚIE, TIPURI ȘI EXEMPLE - MATEMATICA - 2025

De transformări izometrice sunt modificări ale poziției sau orientarea unei anumite cifre care nu alterează forma sau mărimea acestui. Aceste transformări sunt clasificate în trei tipuri: translație, rotație și reflecție (izometrie). În general, transformările geometrice vă permit să creați o nouă figură dintr-o dată.

O transformare într-o figură geometrică înseamnă că, într-un fel, a suferit o anumită schimbare; adică a fost modificat. În funcție de sensul originalului și similar în plan, transformările geometrice pot fi clasificate în trei tipuri: izometric, izomorf și anamorfic.

caracteristici

Transformările izometrice apar atunci când se păstrează mărimile segmentelor și unghiurile dintre figura inițială și figura transformată.

În acest tip de transformare, nici forma, nici dimensiunea figurii nu sunt modificate (sunt congruente), este doar o schimbare a poziției sale, fie în orientare, fie în direcție. În acest fel, cifrele inițiale și finale vor fi similare și geometric congruente.

Izometria se referă la egalitate; cu alte cuvinte, figurile geometrice vor fi izometrice dacă au aceeași formă și dimensiune.

În transformările izometrice, singurul lucru care poate fi observat este o schimbare de poziție în plan, apare o mișcare rigidă datorită căreia figura trece de la o poziție inițială la una finală. Această cifră este numită omologă (similară) a originalului.

Există trei tipuri de mișcări care clasifică o transformare izometrică: translație, rotire și reflecție sau simetrie.

Tipuri

Prin traducere

Ele sunt acele izometri care permit deplasarea tuturor punctelor avionului în linie dreaptă într-o direcție și distanță dată.

Atunci când o figură este transformată prin traducere, nu își schimbă orientarea în raport cu poziția inițială și nici nu își pierde măsurile interne, măsurile unghiurilor și laturilor sale. Acest tip de deplasare este definit de trei parametri:

- O direcție, care poate fi orizontală, verticală sau oblică.

- O direcție, care poate fi spre stânga, dreapta, în sus sau în jos.

- Distanța sau mărimea, care este lungimea de la poziția inițială până la sfârșitul oricărui punct care se mișcă.

Pentru ca o transformare izometrică prin traducere să fie îndeplinită, trebuie îndeplinite următoarele condiții:

- Figura trebuie să-și păstreze întotdeauna toate dimensiunile, atât liniare cât și unghiulare.

- figura nu își schimbă poziția față de axa orizontală; adică unghiul său nu variază niciodată.

- Traducerile vor fi întotdeauna rezumate într-una, indiferent de numărul de traduceri efectuate.

Într-un plan în care centrul este un punct O, cu coordonate (0,0), traducerea este definită de un vector T (a, b), care indică deplasarea punctului inițial. Adică:

P (x, y) + T (a, b) = P '(x + a, y + b)

De exemplu, dacă o traducere T (-4, 7) este aplicată punctului de coordonate P (8, -2), obținem:

P (8, -2) + T (-4, 7) = P '= P' (4, 5)

În imaginea următoare (stânga) se poate observa cum punctul C a mutat pentru a coincide cu D. A făcut acest lucru într-o direcție verticală, direcția a fost în sus, iar distanța sau magnitudinea CD a fost de 8 metri. În imaginea din dreapta se observă traducerea unui triunghi:

Prin rotire

Sunt acele izometrii care permit cifrei să rotească toate punctele unui plan. Fiecare punct se rotește urmând un arc care are un unghi constant și un punct fix (centrul de rotație) determinat.

Adică, toată rotația va fi definită prin centrul de rotație și unghiul de rotație. Când o figură este transformată prin rotație, ea păstrează măsura unghiurilor și laturilor sale.

Rotația are loc într-o anumită direcție, este pozitivă atunci când rotația este în sens invers acelor de ceasornic (direcția opusă modului în care rotesc mâinile ceasului) și negativă atunci când rotirea acesteia este în sensul acelor de ceasornic.

Dacă un punct (x, y) este rotit în raport cu originea - adică centrul său de rotație este (0,0) -, la un unghi de 90 ^sau 360 ^sau coordonatele punctelor vor fi:

În cazul în care rotația nu are un centru la origine, originea sistemului de coordonate trebuie transferată la noua origine dată, pentru a putea roti figura cu originea ca centru.

De exemplu, dacă se aplică punctul P (-5,2) o rotație de 90 ^sau , în jurul originii și pozitiv, noile sale coordonate sunt (-2,5).

Prin reflecție sau simetrie

Ele sunt acele transformări care inversează punctele și figurile planului. Această inversare poate fi în raport cu un punct sau poate fi și cu privire la o linie.

Cu alte cuvinte, în acest tip de transformare, fiecare punct al figurii originale este asociat cu un alt punct (imagine) al figurii omologe, în așa fel încât punctul și imaginea sa să fie la aceeași distanță de o linie numită axa de simetrie. .

Astfel, partea stângă a figurii va fi o reflectare a părții drepte, fără a-și schimba forma sau dimensiunile. Simetria transformă o figură într-o altă direcție egală, dar în sens invers, așa cum se poate vedea în imaginea următoare:

Simetria este prezentă în multe aspecte, cum ar fi în unele plante (floarea-soarelui), animale (păun) și fenomene naturale (fulgi de zăpadă). Ființa umană o reflectă pe fața sa, care este considerată un factor de frumusețe. Reflexia sau simetria pot fi de două tipuri:

Simetrie centrală

Este acea transformare care are loc în raport cu un punct, în care figura își poate schimba orientarea. Fiecare punct al figurii originale și imaginea acesteia se află la aceeași distanță de un punct O, numit centru de simetrie. Simetria este centrală atunci când:

- Atât punctul, cât și imaginea sa și centrul aparțin aceleiași linii.

- Cu o rotație de 180 ^o a centrului O, se obține o cifră egală cu originalul.

- Liniile figurii inițiale sunt paralele cu liniile figurii formate.

- Simțul figurii nu se schimbă, va fi întotdeauna în sensul acelor de ceasornic.

Compoziția unei rotații

Compoziția a două rânduri cu același centru are ca rezultat o altă viraj, care are același centru și a cărei amplitudine va fi suma amplitudinilor celor două viraje.

Dacă centrul virajelor are un centru diferit, tăierea bisectoarei a două segmente de puncte similare va fi centrul de rotație.

Compoziția unei simetrii

În acest caz, compoziția va depinde de modul în care este aplicată:

- Dacă se aplică aceeași simetrie de două ori, rezultatul va fi o identitate.

- Dacă se aplică două simetrii cu privire la două axe paralele, rezultatul va fi o translație, iar deplasarea acesteia este de două ori distanța distanței acestor axe:

- Dacă se aplică două simetrii cu privire la două axe care se intersectează în punctul O (centru), se va obține o rotație cu centrul la O și unghiul său va fi de două ori unghiul format de axe:

Referințe

1. V Bourgeois, JF (1988). Materiale pentru construcția geometriei. Madrid: Sinteză.
2. Cesar Calavera, IJ (2013). Desen tehnic II. Paraninfo SA: Ediții ale Turnului.
3. Coxeter, H. (1971). Fundamentele Geometriei. Mexic: Limusa-Wiley.
4. Coxford, A. (1971). Geometrie O abordare de transformare. SUA: Laidlaw Brothers.
5. Liliana Siñeriz, RS (2005). Inducerea și formalizarea în predarea transformărilor rigide în mediul CABRI.
6. , PJ (1996). Grupul de izometri ale planului. Madrid: Sinteză.
7. Suárez, AC (2010). Transformări în plan. Gurabo, Puerto Rico: AMCT.