TEZELĂRI: CARACTERISTICI, TIPURI (REGULATE, NEREGULATE), EXEMPLE - MATEMATICA - 2025

Cele tilings sunt suprafețe acoperite unul sau mai multe figuri numite tesserae. Sunt peste tot: pe străzi și clădiri de tot felul. Terasele sau plăcile sunt piese plate, în general poligoane cu copii congruente sau izometrice, care sunt plasate după un model regulat. În acest fel, nu există spații rămase neacoperite și plăcile sau mozaicurile nu se suprapun.

În cazul în care se folosește un singur tip de mozaic format dintr-un poligon obișnuit, atunci există o țesutare obișnuită, dar dacă se folosesc două sau mai multe tipuri de poligoane obișnuite, atunci este vorba despre o teselație semi-regulată.

Figura 1. Pardoselea cu țesături neregulate, deoarece dreptunghiurile sunt poligoane neregulare, chiar dacă pătratele sunt. Sursa: Pixabay.

În sfârșit, când poligonii conform cărora formele de țesătură nu sunt regulate, atunci este vorba despre o teselare neregulată.

Cel mai frecvent tip de teselare este cel format din mozaicuri dreptunghiulare și în special pătrate. În figura 1 avem un exemplu bun.

Istoricul textilelor

Desființarea a fost folosită de mii de ani pentru acoperirea podelelor și zidurilor palatelor și templelor din diferite culturi și religii.

De exemplu, civilizația sumeriană care a înflorit în jurul anului 3500 î.Hr. la sud de Mesopotamia, între râurile Eufrat și Tigris, a folosit teselurile în arhitectura lor.

Figura 2. Teseluri sumeriene la poarta Istar. Sursa: Wikimedia Commons.

Deplasările au stârnit și interesul matematicienilor de toate vârstele: începând cu Arhimede în secolul al III-lea î.Hr., urmat de Johannes Kepler în 1619, Camille Jordan în 1880, până în zilele contemporane cu Roger Penrose.

Penrose a creat o teselație neperiodă cunoscută sub numele de țesutul Penrose. Acestea sunt doar câteva nume de oameni de știință care au contribuit mult la textilare.

Tabelări regulate

Teselurile obișnuite sunt realizate cu un singur tip de poligon regulat. Pe de altă parte, pentru ca țesătoria să fie considerată regulată, fiecare punct al avionului trebuie să:

-Despre interiorul poligonului

-Spre marginea a două poligoane adiacente

-În final poate aparține vertexului comun al cel puțin trei poligoane.

Cu restricțiile de mai sus, se poate arăta că doar triunghiuri, pătrate și hexagoane echilaterale pot forma o teselare regulată.

Nomenclatură

Există o nomenclatură pentru a denumi tesselări care constă în listarea într-o direcție în sensul acelor de ceasornic și separate printr-un punct, numărul de laturi ale poligonilor care înconjoară fiecare nod (sau vertex) al teselării, începând întotdeauna cu poligonul cu cel mai mic număr părți.

Această nomenclatură se aplică tesselelor obișnuite și semi-regulate.

Exemplul 1: teselarea triunghiulară

Figura 3 prezintă o teselare triunghiulară regulată. Trebuie menționat că fiecare nod al teselării triunghiulare este vertexul comun al șase triunghiuri echilaterale.

Modul de a denota acest tip de țesături este 3.3.3.3.3.3, care este notat și de 3 ⁶ .

Figura 3. Teselarea triunghiulară regulată 3.3.3.3.3.3. Sursa: wikons commons

Exemplul 2: teselarea pătrată

Figura 4 prezintă o teselare obișnuită compusă numai din pătrate. Trebuie menționat că fiecare nod din țesătură este înconjurat de patru pătrate congruente. Notația care se aplică acestui tip de țesut pătrat este: 4.4.4.4 sau alternativ 4 ⁴

Figura 4. Tabelarea pătrată 4.4.4.4. Sursa: wikons commons.

Exemplul 3: țesuturi hexagonale

Într-o teselație hexagonală, fiecare nod este înconjurat de trei hexagoni obișnuiți, așa cum se arată în figura 5. Nomenclatura pentru o teselație hexagonală regulată este 6.6.6 sau alternativ 6 ³ .

Figura 5. Teselarea hexagonală 6.6.6. Sursa: wikons commons.

Teseluri semiaregulare

Teselurile semiaregulare sau arhimede constau din două sau mai multe tipuri de poligoane obișnuite. Fiecare nod este înconjurat de tipurile de poligoane care alcătuiesc teselarea, întotdeauna în aceeași ordine, iar condiția de margine este complet împărtășită cu vecinul.

Există opt țesături semi-regulate:

1. 3.6.3.6 (teselarea tri-hexagonală)
2. 3.3.3.3.6 (teselare hexagonală contondentă)
3. 3.3.3.4.4 (teselație triunghiulară alungită)
4. 3.3.4.3.4 (teselarea pătrată contondentă)
5. 3.4.6.4 (teselație rombo-tri-hexagonală)
6. 4.8.8 (teselarea pătrată trunchiată)
7. 3.12.12 (teselație hexagonală trunchiată)
8. 4.6.12 (teselație tri-hexagonală trunchiată)

Câteva exemple de țesături semi-regulate sunt prezentate mai jos.

Exemplul 4: Teselarea tri-hexagonală

Este cel care este compus din triunghiuri echilaterale și hexagoane obișnuite în structura 3.6.3.6, ceea ce înseamnă că un nod al țesăturii este înconjurat (până la completarea unei viraje) de un triunghi, un hexagon, un triunghi și un hexagon. Figura 6 prezintă o astfel de teselare.

Figura 6. Teslația tri-hexagonală (3.6.3.6) este un exemplu de țesutare semi-regulată. Sursa: Wikimedia Commons.

Exemplul 5: teselarea hexagonală contondentă

Ca și textul din exemplul precedent, acesta este, de asemenea, format din triunghiuri și hexagoane, dar distribuția lor în jurul unui nod este 3.3.3.3.6. Figura 7 ilustrează clar acest tip de țesături.

Figura 7. Teselarea hexagonală contondentă este formată dintr-un hexagon înconjurat de 16 triunghiuri în configurația 3.3.3.3.6. Sursa: Wikimedia Commons.

Exemplul 6: teselarea rombo-tri-hexagonală

Este o structură formată din triunghiuri, pătrate și hexagoane, în configurația 3.4.6.4, care este prezentată în figura 8.

Figura 8. Teselarea semi-regulată compusă dintr-un triunghi, un pătrat și un hexagon în configurația 3.4.6.4. Sursa: Wikimedia Commons.

Teseluri neregulate

Teselurile neregulare sunt cele care sunt formate din poligoane neregulate sau din poligoane obișnuite, dar care nu îndeplinesc criteriul conform căruia un nod este un vertex de cel puțin trei poligoane.

Exemplul 7

Figura 9 prezintă un exemplu de teselare neregulată, în care toate poligonele sunt regulate și congruente. Este neregulat, deoarece un nod nu este un vertex comun de cel puțin trei pătrate și există, de asemenea, pătrate vecine care nu împart complet o margine.

Figura 9. Chiar dacă toate plăcile sunt pătrate congruente, acesta este un exemplu clar de teselare neregulată. Sursa: F. Zapata.

Exemplul 8

Paralelogramul gresiează o suprafață plană, dar dacă nu este un pătrat, nu poate forma o țesutare obișnuită.

Figura 10. O tesselă formată din paralelograme este neregulată, deoarece mozaicurile sale sunt poligoane neregulare. Sursa: F. Zapata.

Exemplul 9

Hexagoane neregulare cu tesatura de simetrie centrală o suprafață plană, așa cum se arată în figura următoare:

Figura 11. Hexagoane cu simetrie centrală chiar și atunci când nu sunt teselate obișnuite pe plan. Sursa: F. Zapata.

Exemplul 10: teselarea Cairo

Este o teselație foarte interesantă, compusă din pentagoni cu laturi de lungime egală, dar cu unghiuri inegale, două dintre ele drepte, iar celelalte trei au fiecare câte 120º.

Numele ei vine de la faptul că această teselare se găsește pe trotuarul unora dintre străzile Cairo din Egipt. Figura 12 prezintă teselarea Cairo.

Figura 12. Tesselarea Cairo. Sursa: Wikimedia Commons.

Exemplul 11: teselarea Al-Andalus

Teselarea în unele părți din Andaluzia și Africa de Nord se caracterizează prin geometrie și epigrafie, pe lângă elemente ornamentale precum vegetația.

Teselarea palatelor precum cea a Alhambrei era alcătuită din dale formate din piese ceramice de multe culori, cu forme multiple (dacă nu infinite) care se dezlănțuie în modele geometrice.

Figura 13. Desființarea Palatului Alhambra. Tartaglia / Domeniu public

Exemplul 12: tesselarea în jocuri video

Cunoscută și sub denumirea de teselare, este una dintre cele mai populare noutăți în jocurile video. Este vorba despre crearea de texturi pentru a simula teselarea diferitelor scenarii care apar în simulator.

Aceasta este o reflectare clară că aceste acoperiri continuă să evolueze, trecând granițele realității.

Referințe

1. Bucurați-vă de matematică. Mozaicare. Recuperat de la: enjoymatematicas.com
2. Rubinos. Excluderi rezolvate exemple. Recuperat de la: matematicasn.blogspot.com
3. Weisstein, Eric W. „Teselarea demiregulară”. Weisstein, Eric W, ed. Mathworld. Wolfram Research.
4. Wikipedia. Tessellation. Recuperat din: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Tabelare regulată. Recuperat din: es.wikipedia.com