- Dovada teoremei fundamentale a aritmeticii
- Unicitatea factorizării prime
- Aplicații
- Numere prime în natură
- Numere prime și cumpărături online
- Exerciții rezolvate
- - Exercitiul 1
- Soluţie
- - Exercițiul 2
- Soluţie
- Referințe
Teorema fundamentală a aritmetice prevede că orice număr mai mare decât naturală 1 poate fi descompusă ca produs de numere prime - unele pot fi repetate - iar această formă este unic pentru acel număr, deși ordinea factorilor pot fi diferite.
Reamintim că un număr prim p este unul care se admite numai el însuși și 1 ca divizori pozitivi. Următoarele numere sunt prime: 2, 3, 5, 7, 11, 13 și așa mai departe, deoarece există infinități. Numărul 1 nu este considerat prim, deoarece are un singur divizor.
Figura 1. Euclid (stânga) a dovedit teorema fundamentală a aritmeticii în cartea sa Elements (350 î.Hr.), iar prima dovadă completă se datorează lui Carl F. Gauss (1777-1855) (dreapta). Sursa: Wikimedia Commons.
Pe de altă parte, numerele care nu respectă cele de mai sus se numesc numere compuse, cum ar fi 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14 … Să luăm de exemplu numărul 10 și imediat vom vedea că poate fi descompus ca produs al 2 și 5:
10 = 2 × 5
Atât 2 cât și 5 sunt, efectiv, numere prime. Teorema afirmă că acest lucru este posibil pentru orice număr n:
Unde p 1 , p 2 , p 3 … p r sunt numere prime și k 1 , k 2 , k 3 , … k r sunt numere naturale. Așadar, numerele primare acționează ca blocuri de construcție din care, prin înmulțire, sunt create numerele naturale.
Dovada teoremei fundamentale a aritmeticii
Începem prin a arăta că fiecare număr poate fi descompus în factori primi. Fie un număr natural n> 1, prim sau compozit.
De exemplu, dacă n = 2, acesta poate fi exprimat ca: 2 = 1 × 2, care este prim. În același mod, continuați cu următoarele numere:
3 = 1 × 3
4 = 2 × 2
5 = 1 × 5
6 = 2 × 3
7 = 1 × 7
8 = 2 × 2 × 2
Continuăm astfel, descompunând toate numerele naturale până ajungem la numărul n -1. Să vedem dacă o putem face cu următorul număr: n.
Dacă n este prim, îl putem descompune ca n = 1 × n, dar să presupunem că n este compus și are un divizor d, logic mai puțin decât n:
1 <d <n.
Dacă n / d = p 1 , cu p 1 un număr prim, atunci n este scris ca:
n = p 1 .d
Dacă d este prim, nu mai este de făcut, dar dacă nu este, există un număr n 2 care este divizor de d și mai mic decât acesta: n 2 <d, deci d poate fi scris ca produsul lui n 2 de către altul. numărul prim p 2 :
d = p 2 n 2
Asta când înlocuirea numărului inițial n ar da:
n = p 1 .p 2 .n 2
Să presupunem acum că n 2 nu este nici un număr prim și îl scriem ca produsul unui număr prim p 3 , de către divizorul său n 3 , astfel încât n 3 <n 2 <n 1 <n:
n 2 = p 3 .n 3 → n = p 1 p 2 p 3 .n 3
Repetăm această procedură de un număr finit de ori până când obținem:
n = p 1 .p 2 .p 3 … p r
Aceasta înseamnă că este posibil să descompunem toate numerele întregi de la 2 la numărul n, ca produs al numerelor prime.
Unicitatea factorizării prime
Acum să verificăm că, cu excepția ordinii factorilor, această descompunere este unică. Să presupunem că n poate fi scris în două moduri:
n = p 1 .p 2 .p 3 … p r = q 1. q 2 .q 3 … ..q s (cu r ≤ s)
Desigur, q 1 , q 2 , q 3 … sunt și numere prime. Întrucât p 1 se împarte (q 1. q 2 .q 3 … ..q s ) atunci p 1 este egal cu oricare dintre „q”, nu contează care, deci putem spune că p 1 = q 1 . Împărțim n cu p 1 și obținem:
p 2 .p 3 … p r = . q 2 .q 3 … ..q s
Repetăm procedura până când divizăm totul la p r , apoi obținem:
1 = q r + 1 … q s
Dar nu este posibil să se ajungă la q r + 1 … q s = 1 când r <s, numai dacă r = s. Deși admitând că r = s, este de asemenea admis că „p” și „q” sunt aceleași. Prin urmare, descompunerea este unică.
Aplicații
După cum am spus anterior, numerele prime reprezintă, dacă doriți, atomii numerelor, componentele lor de bază. Așadar, teorema fundamentală a aritmeticii are numeroase aplicații, cea mai evidentă: putem lucra mai ușor cu un număr mare dacă le exprimăm ca produs al numerelor mai mici.
În același mod, putem găsi cel mai mare multiplu comun (MCM) și cel mai mare divizor comun (GCF), o procedură care ne ajută să facem mai ușor adăugări de fracțiuni, să găsim rădăcini cu un număr mare sau să funcționăm cu radicali, să raționalizăm și să rezolvăm probleme de aplicare cu o natură foarte diversă.
Mai mult, numerele prime sunt extrem de enigmatice. Un model nu este încă recunoscut în ele și nu este posibil să știm care va fi următorul. Cel mai mare până acum a fost găsit de computere și are 24.862.048 cifre, deși noile numere prime apar mai rar de fiecare dată.
Numere prime în natură
Cicatricele, cicádidos sau cicatrici care trăiesc în nord-estul Statelor Unite apar în cicluri de 13 sau 17 ani. Ambele sunt numere prime.
În acest fel, cicatricele evită să coincidă cu prădătorii sau concurenții care au alte perioade de naștere și nici diferitele soiuri de cigare nu concurează între ele, deoarece nu coincid în același an.
Figura 2. Cicala Magicicada din estul Statelor Unite apare la fiecare 13 până la 17 ani. Sursa: Pxfuel.
Numere prime și cumpărături online
Numerele prime sunt utilizate în criptografie pentru a păstra secretul detaliilor cărților de credit atunci când faceți cumpărături pe Internet. În acest fel, datele pe care cumpărătorul le ajunge la magazin tocmai fără a se pierde sau a cădea în mâinile unor persoane fără scrupule.
Cum? Datele de pe carduri sunt codificate într-un număr N care poate fi exprimat ca produs al numerelor prime. Aceste numere primare sunt cheia pe care o dezvăluie datele, dar nu sunt cunoscute publicului, ele pot fi decodate doar pe web către care sunt direcționate.
Descompunerea unui număr în factori este o sarcină ușoară dacă numerele sunt mici (a se vedea exercițiile rezolvate), dar în acest caz, sunt utilizate ca cheie numere prime de 100 de cifre, care atunci când le înmulțiți dau numere mult mai mari, a căror descompunere detaliată implică o sarcină imensă .
Exerciții rezolvate
- Exercitiul 1
Se descompun 1029 în factori primi.
Soluţie
1029 este divizibil cu 3. Este cunoscut, deoarece la adăugarea cifrelor sale suma este un multiplu de 3: 1 + 0 + 2 + 9 = 12. Deoarece ordinea factorilor nu modifică produsul, putem începe de aici:
1029 3
343
1029 = 3 × 343
Pe de altă parte 343 = 7 3 , atunci:
1029 = 3 × 7 3 = 3 × 7 × 7 × 7
Și întrucât ambele 3 și 7 sunt numere prime, aceasta este descompunerea 1029.
- Exercițiul 2
Factorul trinomial x 2 + 42x + 432.
Soluţie
Trinomul este rescris sub forma (x + a). (x + b) și trebuie să găsim valorile a și b, astfel încât:
a + b = 42; ab = 432
Numărul 432 este descompus în factori primi și de acolo combinația corespunzătoare este aleasă prin încercare și eroare, astfel încât factorii adăugați să dea 42.
432 = 2 4 × 3 3 = 2 × 3 3 × 2 3 = 2 4 × 3 2 × 3 = …
De aici există mai multe posibilități de a scrie 432:
432 = 16 × 27 = 24 × 18 = 54 × 8 = 6 × 72 …
Și toate pot fi găsite combinând produsele între factorii primi, dar pentru a rezolva exercițiul propus, singura combinație potrivită este: 432 = 24 × 18, deoarece 24 + 18 = 42, apoi:
x 2 + 42x + 432 = (x + 24). (x +18)
Referințe
- Baldor, A. 1986. Aritmetica practică teoretică. Compañía Cultural Editora de Textos Americanos SA
- BBC World. Codul ascuns al naturii. Recuperat de pe: bbc.com.
- De Leon, Manuel.Numere prime: paznicii internetului. Recuperat de pe: blogs.20minutos.es.
- UNAM. Teoria numărului I: Teorema fundamentală a aritmeticii. Recuperat de la: teoriadenumeros.wikidot.com.
- Wikipedia. Teorema fundamentală a aritmeticii. Recuperat de la: es.wikipedia.org.