- Numere combinative
- Demonstrație
- Exemple
- Identitate 1
- Identitate 2
- O altă demonstrație
- Dovadă de inducție
- curiozităţi
- Referințe
Teorema binomial este o ecuație care ne spune cum să dezvolte o expresie a formei (a + b) n pentru un număr natural n. Un binom nu este altceva decât suma a două elemente, cum ar fi (a + b). De asemenea, ne permite să știm pentru un termen dat de a k b n-k care este coeficientul care îl însoțește.
Această teoremă este în mod obișnuit atribuită inventatorului, fizicianului și matematicianului englez Sir Isaac Newton; Cu toate acestea, au fost găsite diverse înregistrări care indică faptul că existența sa era deja cunoscută în Orientul Mijlociu, în jurul anului 1000.
Numere combinative
Teorema binomului ne spune matematic următoarele:
În această expresie a și b sunt numere reale și n este un număr natural.
Înainte de a oferi demo-ul, să analizăm câteva concepte de bază care sunt necesare.
Numărul sau combinațiile de n în k este exprimată după cum urmează:
Această formă exprimă valoarea câte subseturi cu k elemente pot fi alese dintr-un set de n elemente. Expresia sa algebrică este dată de:
Să vedem un exemplu: să presupunem că avem un grup de șapte bile, dintre care două sunt roșii, iar restul sunt albastre.
Vrem să știm câte modalități le putem aranja la rând. O modalitate ar putea fi poziționarea celor două roșii în prima și a doua poziție, iar restul bilelor în pozițiile rămase.
Similar cu cazul precedent, am putea da bile roșii prima și ultima poziție, respectiv, și să le ocupăm pe celelalte cu bile albastre.
Acum un mod eficient de a număra câte moduri putem aranja bilele la rând este folosind numere combinatorii. Putem vedea fiecare poziție ca un element din setul următor:
Atunci rămâne doar să alegeți un subset de două elemente, în care fiecare dintre aceste elemente reprezintă poziția pe care o vor ocupa bile roșii. Putem face această alegere în funcție de relația dată de:
În acest fel, trebuie să existe că există 21 de modalități de a comanda aceste bile.
Ideea generală a acestui exemplu va fi foarte utilă în dovedirea teoremei binomiale. Să ne uităm la un caz particular: dacă n = 4, avem (a + b) 4 , care nu este altceva decât:
Când dezvoltăm acest produs, ne rămâne suma sumelor obținute prin înmulțirea unui element din fiecare dintre cei patru factori (a + b). Astfel, vom avea termeni care vor avea forma:
Dacă am dorit să obținem termenul în forma a 4 , trebuie doar să înmulțim după cum urmează:
Rețineți că există un singur mod de a obține acest element; dar ce se întâmplă dacă acum căutăm termenul formei a 2 b 2 ? Întrucât „a” și „b” sunt numere reale și, prin urmare, se aplică legea comutativă, avem o modalitate de a obține acest termen este de a înmulți cu membrii, așa cum sunt indicate de săgeți.
Efectuarea tuturor acestor operații este de obicei oarecum obositoare, dar dacă vedem termenul „a” ca o combinație în care vrem să știm câte moduri putem alege două „a” dintr-un set de patru factori, putem folosi ideea din exemplul anterior. Deci, avem următoarele:
Astfel, știm că în extinderea finală a expresiei (a + b) 4 vom avea exact 6a 2 b 2 . Folosind aceeași idee pentru celelalte elemente, trebuie să:
Apoi adăugăm expresiile obținute anterior și avem asta:
Aceasta este o dovadă formală pentru cazul general în care „n” este orice număr natural.
Demonstrație
Rețineți că termenii lăsați prin extinderea (a + b) n sunt de forma a k b n-k , unde k = 0,1,…, n. Folosind ideea din exemplul precedent, modalitatea de a alege variabilele «k» «a» ale factorilor «n» este:
Alegând în acest fel, alegem automat variabilele nk "b". Din aceasta rezultă că:
Exemple
Având în vedere (a + b) 5 , care ar fi dezvoltarea sa?
Prin teorema binomului avem:
Teorema binomială este foarte utilă dacă avem o expresie în care vrem să știm care este coeficientul unui termen specific fără a fi nevoie să facem expansiunea completă. Ca exemplu, putem lua următoarea necunoscută: care este coeficientul de x 7 și 9 în expansiunea (x + y) 16 ?
Prin teorema binomului, avem că coeficientul este:
Un alt exemplu ar fi: care este coeficientul x 5 și 8 în expansiunea (3x-7y) 13 ?
Mai întâi rescriem expresia într-un mod convenabil; aceasta este:
Apoi, folosind teorema binomului, avem că coeficientul căutat este atunci când avem k = 5
Un alt exemplu de utilizări ale acestei teoreme este în dovada unor identități comune, precum cele pe care le vom menționa în continuare.
Identitate 1
Dacă «n» este un număr natural, avem:
Pentru dovada folosim teorema binomială, unde ambele „a” și „b” iau valoarea 1. Atunci avem:
În acest fel am dovedit prima identitate.
Identitate 2
Dacă „n” este un număr natural, atunci
Prin teorema binomului avem:
O altă demonstrație
Putem face o dovadă diferită pentru teorema binomială folosind metoda inductivă și identitatea lui Pascal, care ne spune că, dacă „n” și „k” sunt numere întregi pozitive care satisfac n ≥ k, atunci:
Dovadă de inducție
Să vedem mai întâi că baza inductivă ține. Dacă n = 1, avem:
Într-adevăr, vedem că aceasta este îndeplinită. Acum, să n = j astfel încât:
Vrem să vedem că pentru n = j + 1 este adevărat că:
Deci trebuie să:
Prin ipoteză știm că:
Apoi, folosind proprietatea distributivă:
Ulterior, dezvoltând fiecare dintre sume, avem:
Acum, dacă ne grupăm într-un mod convenabil, avem asta:
Folosind identitatea pascalului, avem:
În sfârșit, rețineți că:
Prin urmare, vedem că teorema binomului ține pentru toate „n” aparținând numerelor naturale și cu aceasta se încheie dovada.
curiozităţi
Numărul combinatorial (nk) se numește și coeficient binomial, deoarece este tocmai coeficientul care apare în dezvoltarea binomului (a + b) n .
Isaac Newton a prezentat o generalizare a acestei teoreme pentru cazul în care exponentul este un număr real; Această teoremă este cunoscută sub numele de teorema binomială a lui Newton.
Deja în antichitate acest rezultat era cunoscut pentru cazul particular în care n = 2. Acest caz este menționat în Elementele lui Euclid.
Referințe
- Johnsonbaugh Richard. Matematică discretă. PHH
- Kenneth.H. Rosen. Matematica discretă și aplicațiile sale. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
- Dr. Seymour Lipschutz și Marc Lipson. Matematică discretă. McGraw-Hill.
- Ralph P. Grimaldi. Matematică discretă și combinativă. Addison-Wesley Iberoamericana
- Green Star Luis. . Antropuri matematice discrete și combinate