TEOREMA LUI VARIGNON: EXEMPLE ȘI EXERCIȚII REZOLVATE - MATEMATICA - 2025

Teorema Varignon prevede că în cazul în care orice patrulater sunt conectate în mod continuu punctele din mijloc ale laturilor, un paralelogram este generat. Această teoremă a fost formulată de Pierre Varignon și publicată în 1731 în cartea Elemente de matematică ”.

Publicarea cărții a avut loc la ani după moartea sa. Întrucât Varignon a fost cel care a introdus această teoremă, paralelograma este numită după el. Teorema se bazează pe geometria euclidiană și prezintă relații geometrice ale patrulaterilor.

Care este teorema lui Varignon?

Varignon a afirmat că o cifră care este definită de punctele medii ale unui patrulater va rezulta întotdeauna într-un paralelogram, iar aria paralelogramului va fi întotdeauna jumătate din suprafața patrulaterului dacă este plană și convexă. De exemplu:

În figură puteți vedea un patrulater cu zona X, unde punctele medii ale laturilor sunt reprezentate de E, F, G și H și, atunci când sunt unite, formează un paralelogram. Zona patrulaterului va fi suma zonelor triunghiurilor formate, iar jumătate din aceasta corespunde zonei paralelogramei.

Deoarece aria paralelogramei este jumătate din suprafața patrulaterului, se poate determina perimetrul paralelogramei.

Astfel, perimetrul este egal cu suma lungimilor diagonalelor patrulaterului; aceasta deoarece medianele patrulaterului vor fi diagonalele paralelogramei.

Pe de altă parte, dacă lungimile diagonalelor patrulaterului sunt exact aceleași, paralelograma va fi un rombo. De exemplu:

Din figură se poate observa că, prin unirea punctelor de mijloc ale laturilor patrulaterului, se obține un rombo. Pe de altă parte, dacă diagonalele patrulaterului sunt perpendiculare, paralelograma va fi un dreptunghi.

De asemenea, paralelograma va fi un pătrat atunci când patrulaterul are diagonalele cu aceeași lungime și sunt, de asemenea, perpendiculare.

Teorema nu este îndeplinită numai în patrulaterele plane, ci este implementată și în geometrie spațială sau în dimensiuni mari; adică în acele patrulatere care nu sunt convexe. Un exemplu în acest sens poate fi un octaedru, în care punctele mijlocii sunt centrele fiecărei fețe și formează un paralelipiped.

În acest fel, prin unirea punctelor medii ale diferitelor cifre, se pot obține paralelograme. O modalitate ușoară de a verifica dacă acest lucru este adevărat este că părțile opuse trebuie să fie paralele atunci când sunt extinse.

Exemple

Primul exemplu

Extensia laturilor opuse pentru a arăta că este o paralelogramă:

Al doilea exemplu

Prin unirea punctelor medii ale unui romboi, se obține un dreptunghi:

Teorema este folosită în unirea punctelor situate în mijlocul laturilor unui patrulater și poate fi folosită și pentru alte tipuri de puncte, cum ar fi o trisecție, o secțiune penta sau chiar un număr infinit de secțiuni ( nth), pentru a împărți laturile oricărui patrulater în segmente proporționale.

Exerciții rezolvate

Exercitiul 1

În figură avem un patrulater ABCD din zona Z, unde punctele medii ale laturilor acestuia sunt PQSR. Verificați dacă este formată o paralelogramă Varignon.

Soluţie

Se poate verifica că la unirea punctelor PQSR se formează o paralelogramă Varignon, tocmai pentru că punctele intermediare ale unui patrulater sunt date în enunț.

Pentru a demonstra acest lucru, mai întâi punctele mijlocii PQSR sunt unite, astfel încât se poate vedea că se formează un alt patrulater. Pentru a arăta că este o paralelogramă, trebuie doar să desenați o linie dreaptă de la punctul C la punctul A, astfel încât se poate vedea că CA este paralelă cu PQ și RS.

În același mod, la extinderea laturilor PQRS se poate observa că PQ și RS sunt paralele, așa cum se arată în imaginea următoare:

Exercițiul 2

Avem un dreptunghi astfel încât lungimile tuturor laturilor sale să fie egale. Prin unirea punctelor medii ale acestor laturi, se formează un rombo ABCD, care este împărțit la două diagonale AC = 7cm și BD = 10cm, care coincid cu măsurătorile laturilor dreptunghiului. Determinați zonele rombului și dreptunghiului.

Soluţie

Amintind că aria paralelogramei rezultate este jumătate din patrulater, aria acestora poate fi determinată știind că măsura diagonalelor coincide cu laturile dreptunghiului. Deci, trebuie să:

AB = D

CD = d

Un _dreptunghi = (AB _* CD) = (10cm _* 7cm) = 70cm ²

Un _romb = Un _dreptunghi / 2

A _romburi = 70 cm ² /2 = 35 cm ²

Exercițiul 3

În figură există un patrulater care are unirea punctelor EFGH, lungimile segmentelor sunt date. Determinați dacă unirea EFGH este o paralelogramă.

AB = 2,4 CG = 3,06

EB = 1,75 GD = 2,24

BF = 2,88 DH = 2,02

HR = 3,94 HA = 2,77

Soluţie

Pe măsură ce lungimile segmentelor sunt date, se poate verifica dacă există proporționalitate între segmente; adică puteți ști dacă acestea sunt paralele, raportând segmentele patrulaterului după cum urmează:

- AE / EB = 2,4 / 1,75 = 1,37

- AH / HD = 2,77 / 2,02 = 1,37

- CF / FB = 3,94 / 2,88 = 1,37

- CG / GD = 3,06 / 2,24 = 1,37

Apoi se verifică proporționalitatea, deoarece:

AE / EB = AH / HD = CF / FB = CG / GD

În mod similar, atunci când se trasează o linie din punctul B în punctul D, se poate observa că EH este paralel cu BD, la fel cum BD este paralel cu FG. Pe de altă parte, EF este paralel cu GH.

Astfel se poate determina că EFGH este un paralelogram, deoarece laturile opuse sunt paralele.

Referințe

1. Andres, T. (2010). Olimpiada matematică Tresure. Springer. New York.
2. Barbosa, JL (2006). Geometrie euclidiană plană. SBM. Rio de Janeiro.
3. Howar, E. (1969). Studiul Geometriilor. Mexic: hispano-american.
4. Ramo, GP (1998). Soluții necunoscute la problemele Fermat-Torricelli. ISBN - Lucrare independentă.
5. Vera, F. (1943). Elemente de geometrie. Bogota
6. Villiers, M. (1996). Câteva aventuri în geometria euclidiană. Africa de Sud.