TEOREMA POVEȘTILOR MILETUS: PRIMUL, AL DOILEA ȘI EXEMPLE - MATEMATICA - 2025

Prima și a doua teoremă a lui Thales din Milet se bazează pe determinarea triunghiurilor din cele similare (prima teoremă) sau din cercuri (a doua teoremă). Au fost foarte utile în diverse domenii. De exemplu, prima teoremă a fost foarte utilă pentru măsurarea structurilor mari atunci când nu existau instrumente de măsurare sofisticate.

Thales of Miletus a fost un matematician grec care a furnizat contribuții mari la geometrie, dintre care aceste două teoreme ies în evidență (în unele texte este scris și ca Thales) și aplicațiile lor utile. Aceste rezultate au fost utilizate de-a lungul istoriei și au făcut posibilă rezolvarea unei largi varietăți de probleme geometrice.

Thales din Milet

Prima teoremă a lui Thales

Prima teoremă a lui Thales este un instrument foarte util care, printre altele, permite construirea unui triunghi similar cu altul, cunoscut anterior. De aici sunt derivate diverse versiuni ale teoremei care pot fi aplicate în mai multe contexte.

Înainte de a da declarația dvs., să ne amintim câteva noțiuni de similitudine a triunghiurilor. În esență, două triunghiuri sunt similare dacă unghiurile lor sunt congruente (au aceeași măsură). Aceasta rezultă în faptul că dacă două triunghiuri sunt similare, laturile lor corespunzătoare (sau omologe) sunt proporționale.

Prima teoremă a lui Thales afirmă că dacă o linie este trasată paralel cu oricare dintre laturile sale într-un triunghi dat, noul triunghi obținut va fi similar cu triunghiul inițial.

De asemenea, se obține o relație între unghiurile care se formează, așa cum se arată în figura următoare.

cerere

Printre numeroasele sale aplicații, un interes deosebit iese în evidență și are legătură cu unul dintre modurile în care măsurătorile au fost făcute de structuri mari în Antichitate, o perioadă în care Thales a trăit și în care nu existau dispozitive moderne de măsurare care ele există acum.

Se spune că așa a reușit Thales să măsoare cea mai înaltă piramidă din Egipt, Cheops. Pentru aceasta, Thales a presupus că reflexiile razelor solare au atins pământul formând linii paralele. În conformitate cu această presupunere, a bătut un băț sau un baston vertical în pământ.

El a folosit apoi asemănarea celor două triunghiuri rezultate, unul format din lungimea umbrei piramidei (care poate fi ușor calculată) și înălțimea piramidei (necunoscutul), iar celălalt format de lungimile umbrei și înălțimea tijei (care poate fi, de asemenea, ușor calculată).

Folosind proporționalitatea dintre aceste lungimi, înălțimea piramidei poate fi rezolvată și cunoscută.

Deși această metodă de măsurare poate da o eroare de aproximare semnificativă în ceea ce privește precizia înălțimii și depinde de paralelismul razelor solare (care la rândul său depinde de un timp precis), trebuie recunoscut că este o idee foarte ingenioasă și că a furnizat o alternativă bună de măsurare pentru timp.

Exemple

Găsiți valoarea x în fiecare caz:

A doua teoremă a lui Thales

A doua teoremă a lui Thales determină un triunghi drept înscris într-un cerc în fiecare punct al aceluiași.

Un triunghi înscris pe o circumferință este un triunghi ale cărui vârfuri sunt pe circumferință, rămânând astfel conținut în ea.

Concret, a doua teoremă a lui Thales precizează următoarele: dat un cerc cu centrul O și diametrul AC, fiecare punct B de pe circumferință (altul decât A și C) determină un triunghi drept ABC, cu unghiul drept

Prin justificare, să notăm că atât OA, cât și OB și OC corespund razei circumferinței; prin urmare, măsurătorile lor sunt aceleași. De aici rezultă că triunghiurile OAB și OCB sunt izoscele, unde

Se știe că suma unghiurilor unui triunghi este egală cu 180º. Folosind acest lucru cu triunghiul ABC avem:

2b + 2a = 180º.

În mod echivalent, avem că b + a = 90º și b + a =

Rețineți că triunghiul drept furnizat de a doua teoremă a lui Thales este tocmai acela a cărui ipotenuză este egală cu diametrul circumferinței. Prin urmare, este determinat complet de semicercul care conține punctele triunghiului; în acest caz, semicercul superior.

Să observăm, de asemenea, că în triunghiul drept obținut prin intermediul celei de-a doua teoreme a lui Thales, hipotenuză este împărțită în două părți egale de OA și OC (raza). La rândul său, această măsură este egală cu segmentul OB (de asemenea raza), care corespunde medianei triunghiului ABC de B.

Cu alte cuvinte, lungimea medianei triunghiului drept ABC corespunzător vertexului B este complet determinată de jumătate din ipotenuză. Reamintim că mediana unui triunghi este segmentul de la unul dintre vârfurile la punctul mijlociu al laturii opuse; în acest caz, segmentul BO.

Circumscripția circumscrisă

Un alt mod de a privi al doilea teorem al lui Thales este printr-o circumferință circumscrisă unui triunghi drept.

În general, o circumferință circumscrisă unui poligon constă din circumferința care trece prin fiecare dintre vârfurile sale, ori de câte ori este posibil să se deseneze.

Folosind a doua teoremă a lui Thales, dat un triunghi drept, putem construi întotdeauna o circumferință circumscrisă, cu o rază egală cu jumătate din hipotenuză și un circumcentru (centrul circumferinței) egal cu punctul mediu al hipotenuzei.

cerere

O aplicație foarte importantă a celei de-a doua teoreme a lui Thales, și poate cea mai utilizată, este găsirea liniilor tangente către un cerc dat, printr-un punct P extern (cunoscut).

Rețineți că, dat fiind un cerc (desenat în albastru în figura de mai jos) și un punct exterior P, există două linii tangente cu cercul care trec prin P. Fie T și T 'să fie punctele de tangență, r raza cercului și Sau centrul.

Se știe că segmentul care merge de la centrul unui cerc la un punct de tangență al aceluiași este perpendicular pe această linie tangentă. Deci unghiul OTP este corect.

Din ceea ce am văzut mai devreme în prima teoremă a lui Thales și în versiunile sale diferite, vedem că este posibilă înscrierea triunghiului OTP într-un alt cerc (în roșu).

În mod similar, se obține că triunghiul OT'P poate fi înscris în aceeași circumferință anterioară.

Prin cea de-a doua teoremă a lui Thales obținem și faptul că diametrul acestei noi circumferințe este tocmai ipotenuză a triunghiului OTP (care este egal cu ipotenuză a triunghiului OT'P), iar centrul este punctul mediu al acestei ipotenuze.

Pentru a calcula centrul noii circumferințe, este suficient să calculăm punctul de mijloc între centrul - să zicem M - al circumferinței inițiale (pe care îl cunoaștem deja) și punctul P (pe care îl știm și noi). Atunci raza va fi distanța dintre acest punct M și P.

Cu raza și centrul cercului roșu putem găsi ecuația ei carteziană, pe care o amintim este dată de (xh) ² + (yk) ² = c ² , unde c este raza și punctul (h, k) este centrul circumferinței.

Cunoscând acum ecuațiile ambelor cercuri, le putem intersecta rezolvând sistemul ecuațiilor formate de ele, obținând astfel punctele de tangență T și T '. În cele din urmă, pentru a cunoaște liniile tangente dorite, este suficient să găsim ecuația liniilor care trec prin T și P și prin T 'și P.

Exemplu

Luați în considerare o circumferință de diametru AC, centru O și rază de 1 cm. Fie B un punct pe circumferință astfel încât AB = AC. Cât de înalt este AB?

Soluţie

Prin a doua teoremă a lui Thales, triunghiul ABC este drept și ipotenuză corespunde diametrului, care în acest caz măsoară 2 cm (raza este de 1 cm). Apoi, prin teorema lui Pitagora avem:

Referințe

1. Ana Lira, PJ (2006). Geometrie și trigonometrie. Zapopan, Jalisco: Ediciones Umbral.
2. Goodman, A., & Hirsch, L. (1996). Algebra și trigonometria cu geometrie analitică. Pearson Education.
3. Gutiérrez, Á. LA. (2004). Metodologia și aplicațiile matematicii în Ministerul Educației din ESO.
4. IGER. (2014). Matematica Semestrul II Zaculeu. Guatemala: IGER.
5. José Jiménez, LJ (2006). Matematică 2. Zapopan, Jalisco: Ediciones Umbral.
6. M., S. (1997). Trigonometrie și geometrie analitică. Pearson Education.
7. Pérez, MA (2009). O istorie a matematicii: provocări și cuceriri prin personajele sale. Editorial Vision Libros.
8. Viloria, N., & Leal, J. (2005). Geometrie analitică plan. Editorial Venezolana CA