TEOREMA LUI MOIVRE: PROBE ȘI EXERCIȚII REZOLVATE - MATEMATICA - 2025

Teorema Moivre aplicate algebra procese fundamentale, cum ar fi puteri și rădăcini de extracție în numere complexe. Teorema a fost declarată de renumitul matematician francez Abraham de Moivre (1730), care a asociat numere complexe cu trigonometria.

Abraham Moivre a realizat această asociere prin expresiile sinusului și cosinusului. Acest matematician a generat un fel de formulă prin care este posibil să se ridice un număr complex z la puterea n, care este un număr întreg pozitiv mai mare sau egal cu 1.

Care este teorema lui Moivre?

Teorema lui Moivre afirmă următoarele:

Dacă avem un număr complex în forma polară z = r _Ɵ , unde r este modulul numărului complex z, iar unghiul Ɵ se numește amplitudinea sau argumentul oricărui număr complex cu 0 ≤ Ɵ ≤ 2π, pentru a calcula n– puterea nu va trebui să fie multiplicată de la sine n-times; adică nu este necesar să se facă următorul produs:

Z ⁿ = z _* z _* z _{*. . . *} z = r _{Ɵ *} r _{Ɵ *} r _{Ɵ *. . . *} r _Ɵ n-ori.

Dimpotrivă, teorema spune că, atunci când scriem z în forma trigonometrică, pentru a calcula a noua putere, procedăm astfel:

Dacă z = r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) atunci z ⁿ = r ⁿ (cos n * Ɵ + i _* sin n * Ɵ).

De exemplu, dacă n = 2, atunci z ² = r ² . Dacă n = 3, atunci z ³ = z ² _* z. De asemenea:

z ³ = r ² _* r = r ³ .

În acest fel, raporturile trigonometrice ale sinusului și cosinusului pot fi obținute pentru multiplii unui unghi, atât timp cât sunt cunoscute raporturile trigonometrice ale unghiului.

În același mod, poate fi utilizat pentru a găsi expresii mai precise și mai puțin confuze pentru rădăcina a-n-a unui număr complex z, astfel încât z ⁿ = 1.

Pentru a demonstra teorema lui Moivre, se folosește principiul inducției matematice: dacă un număr întreg "a" are o proprietate "P", iar dacă pentru un număr întreg "n" mai mare decât "a" care are proprietatea "P" Îndeplinește faptul că n + 1 are și proprietatea „P”, atunci toate numerele întregi mai mari sau egale cu „a” au proprietatea „P”.

Demonstrație

Astfel, dovada teoremei se face cu următorii pași:

Baza inductivă

Se verifică pentru prima dată n = 1.

Deoarece z ¹ = (r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ)) ¹ = r ¹ (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ¹ = r ¹ , teorema este valabilă pentru n = 1.

Ipoteză inductivă

Se presupune că formula este adevărată pentru un număr întreg pozitiv, adică n = k.

z ^k = (r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ)) ^k = r ^k (cos k Ɵ + i _* sin k Ɵ).

Verificare

Sa dovedit a fi adevărat pentru n = k + 1.

Deoarece z ^{k + 1} = z ^k _* z, atunci z ^{k + 1} = (r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ)) ^{k + 1} = r ^k (cos kƟ + i _* sin kƟ) _* r (cos Ɵ + i _* senƟ).

Apoi, expresiile sunt înmulțite:

z ^{k + 1} = r ^{k + 1} ((cos kƟ) _* (cosƟ) + (cos kƟ) _* (i _* sinƟ) + (i _* sin kƟ) _* (cosƟ) + (i _* sin kƟ) _* (i _* senƟ)).

Pentru o clipă, factorul r ^{k + 1} este ignorat și factorul comun i este luat:

(cos kƟ) _* (cosƟ) + i (cos kƟ) _* (sinƟ) + i (sin kƟ) _* (cosƟ) + i ² (sin kƟ) _* (sinƟ).

Deoarece i ² = -1, o înlocuim în expresie și obținem:

(cos kƟ) _* (cosƟ) + i (cos kƟ) _* (sinƟ) + i (sin kƟ) _* (cosƟ) - (sin kƟ) _* (sinƟ).

Acum partea reală și partea imaginară sunt ordonate:

(cos kƟ) _* (cosƟ) - (sin kƟ) _* (sinƟ) + i.

Pentru a simplifica expresia, identitatea trigonometrică a sumei unghiurilor se aplică pentru cosinus și sine, care sunt:

cos (A + B) = cos A _* cos B - sin A _* sin B.

sin (A + B) = sin A _* cos B - cos A _* cos B.

În acest caz, variabilele sunt unghiurile Ɵ și kƟ. Aplicând identitățile trigonometrice, avem:

cos kƟ _* cosƟ - sin kƟ _* sinƟ = cos (kƟ + Ɵ)

sin kƟ _* cosƟ + cos kƟ _* sinƟ = sin (kƟ + Ɵ)

În acest fel, expresia este:

z ^{k + 1} = r ^{k + 1} (cos (kƟ + Ɵ) + i _* sin (kƟ + Ɵ))

z ^{k + 1} = r ^{k + 1} (cos + i _* sin).

Astfel, s-ar putea arăta că rezultatul este adevărat pentru n = k + 1. Prin principiul inducției matematice, se concluzionează că rezultatul este adevărat pentru toate numerele întregi pozitive; adică n ≥ 1.

Un număr întreg negativ

Teorema lui Moivre se aplică și atunci când n ≤ 0. Să luăm în considerare un număr întreg negativ «n»; atunci „n” poate fi scris ca „-m”, adică n = -m, unde „m” este un număr întreg pozitiv. Prin urmare:

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ^-m

Pentru a obține exponentul „m” într-un mod pozitiv, expresia este scrisă invers:

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = 1 ÷ (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ^m

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = 1 ÷ (cos mƟ + i _* sin mƟ)

Acum, se folosește că dacă z = a + b * i este un număr complex, atunci 1 ÷ z = ab * i. Prin urmare:

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = cos (mƟ) - i _* sin (mƟ).

Folosind acel cos (x) = cos (-x) și că -sen (x) = sin (-x), avem:

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ =

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = cos (- mƟ) + i _* sin (-mƟ)

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = cos (nƟ) - i _* sin (nƟ).

Astfel, se poate spune că teorema se aplică tuturor valorilor întregi de „n”.

Exerciții rezolvate

Calcularea puterilor pozitive

Una dintre operațiunile cu numere complexe în forma lor polară este înmulțirea cu două dintre acestea; în acest caz, modulele se înmulțesc și se adaugă argumentele.

Dacă aveți două numere complexe z _{1 și} z ₂ și doriți să calculați (z ₁ * z ₂ ) ² , procedați astfel:

z ₁ z ₂ = *

Proprietatea distributivă se aplică:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂ (cos Ɵ _{1 *} cos Ɵ ₂ + i _* cos Ɵ _{1 *} i _* sin Ɵ ₂ + i _* sin Ɵ _{1 *} cos Ɵ ₂ + i ² _* sin Ɵ _{1 *} sin Ɵ ₂ ).

Acestea sunt grupate, luând termenul "i" ca factor comun al expresiilor:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂

Deoarece i ² = -1, este înlocuit în expresia:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂

Termenii reali sunt regrupați cu real, iar imaginar cu imaginar:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂

În cele din urmă, proprietățile trigonometrice se aplică:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂ .

In concluzie:

(z ₁ * z ₂ ) ² = (r ₁ r ₂ ) ²

= r ₁ ² r ₂ ² .

Exercitiul 1

Scrieți numărul complex în formă polară dacă z = - 2 -2i. Apoi, folosind teorema lui Moivre, calculați z ⁴ .

Soluţie

Numărul complex z = -2 -2i este exprimat sub forma dreptunghiulară z = a + bi, unde:

a = -2.

b = -2.

Știind că forma polară este z = r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ), trebuie să determinăm valoarea modulului „r” și valoarea argumentului „Ɵ”. Deoarece r = √ (a² + b²), valorile date sunt înlocuite:

r = √ (a² + b²) = √ ((- 2) ² + (- 2) ²)

= √ (4 + 4)

= √ (8)

= √ (4 * 2)

= 2√2.

Apoi, pentru a determina valoarea „Ɵ”, se aplică forma dreptunghiulară, care este dată de formula:

tan Ɵ = b ÷ a

tan Ɵ = (-2) ÷ (-2) = 1.

Deoarece tan (Ɵ) = 1 și avem un <0, atunci avem:

Ɵ = arctan (1) + Π.

= Π / 4 + Π

= 5Π / 4.

Deoarece valoarea „r” și „Ɵ” a fost deja obținută, numărul complex z = -2 -2i poate fi exprimat sub formă polară prin substituirea valorilor:

z = 2√2 (cos (5Π / 4) + i _* sin (5Π / 4)).

Acum folosim teorema lui Moivre pentru a calcula z ⁴ :

z ⁴ = 2√2 (cos (5Π / 4) + i _* sin (5Π / 4)) ⁴

= 32 (cos (5Π) + i _* sin (5Π)).

Exercițiul 2

Găsiți produsul numerelor complexe, exprimându-l sub formă polară:

z1 = 4 (cos 50 ^o + i _* sin 50 ^o )

z2 = 7 (cos 100 ^o + i _* sin 100 ^o ).

Apoi calculați (z1 * z2) ².

Soluţie

Mai întâi se formează produsul numerelor date:

z ₁ z ₂ = *

Apoi modulele se înmulțesc între ele și se adaugă argumentele:

z ₁ z ₂ = (4 _* 7) _*

Expresia este simplificată:

z ₁ z ₂ = 28 _* (cos 150 ^o + (i _* sin 150 ^o ).

În cele din urmă, teorema lui Moivre se aplică:

(z1 * z2) ² = (28 _* (cos 150 ^o + (i _* sin 150 ^o )) ² = 784 (cos 300 ^o + (i _* sin 300 ^o )).

Calcularea puterilor negative

Pentru a împărți două numere complexe z _{1 și} z ₂ în forma lor polară, modulul este împărțit și argumentele sunt scăzute. Astfel, coeficientul este z ₁ ÷ z ₂ și este exprimat astfel:

z ₁ ÷ z ₂ = r1 / r2 ().

Ca și în cazul precedent, dacă dorim să calculăm (z1 ÷ z2) ³, diviziunea se realizează mai întâi și apoi se folosește teorema Moivre.

Exercițiul 3

Zaruri:

z1 = 12 (cos (3π / 4) + i * sin (3π / 4)),

z2 = 4 (cos (π / 4) + i * sin (π / 4)),

calculați (z1 ÷ z2) ³.

Soluţie

Urmând pașii descriși mai sus, se poate concluziona că:

(z1 ÷ z2) ³ = ((12/4) (cos (3π / 4 - π / 4) + i * sin (3π / 4 - π / 4)) ³

= (3 (cos (π / 2) + i * sin (π / 2))) ³

= 27 (cos (3π / 2) + i * sin (3π / 2)).

Referințe

1. Arthur Goodman, LH (1996). Algebra și trigonometria cu geometrie analitică. Pearson Education.
2. Croucher, M. (nd). Din teorema lui Moivre pentru identități Trig. Proiectul demonstrații Wolfram
3. Hazewinkel, M. (2001). Enciclopedia de matematică.
4. Max Peters, WL (1972). Algebră și trigonometrie.
5. Pérez, CD (2010). Pearson Education.
6. Stanley, G. (nd). Algebră liniară. Graw-Hill.
7. , M. (1997). Precalculation. Pearson Education.