Green „s teorema este o metodă de calcul utilizată pentru integralele linia de conexiune integralele duble sau suprafață. Funcțiile implicate trebuie notate ca câmpuri vectoriale și definite pe calea C.
De exemplu, o expresie integrală de linie poate fi foarte dificil de rezolvat; cu toate acestea, prin implementarea teoremei Green, integrale duble devin destul de fundamentale. Este întotdeauna important să respectați direcția pozitivă a traiectoriei, aceasta se referă la direcția anti-ceas.
Teorema lui Green este un caz particular al teoremei lui Stokes, în care proiecția funcției vectoriale se realizează în planul xy.
Definiție
Expresia teoremei lui Green este următoarea:
Primul termen arată linia integrală definită de calea „C” a produsului scalar între funcția vectorială „F” și cea a vectorului „r”.
C: Este calea definită pe care va fi proiectată funcția vectorială, atât timp cât este definită pentru acel plan.
F: Funcția vectorială, unde fiecare dintre componentele sale este definită de o funcție ca atare (f, g).
r: Este un vector tangent la regiunea R peste care este definită integrala. În acest caz, acționăm cu un diferențial al acestui vector.
În al doilea termen, vedem teorema lui Green dezvoltată, unde se observă dubla integră definită în regiunea R a diferenței derivatelor parțiale ale g și f, în raport cu x și respectiv y. Prin un diferențial de zonă care nu este altceva decât produsul ambelor diferențiale bidimensionale (dx.dy).
Această teoremă se aplică perfect pentru integrale de spațiu și suprafață.
Demonstrație
Pentru a dovedi teorema lui Green într-un mod simplu, această sarcină va fi împărțită în 2 părți. În primul rând, vom presupune că funcția vectorială F are o definiție doar în versiunea i. În timp ce funcția „g” corespunzătoare versorului j va fi egală cu zero.
Autor
F = f (x, y) i + g (x, y) j = f (x, y) i + 0
r = x i + y j
dr = dx i + dy j
Mai întâi dezvoltăm linia integrală pe calea C, pentru care calea a fost sectorizată în 2 secțiuni care merg mai întâi de la a la b și apoi de la b la a.
Definiția teoremei fundamentale a calculului este aplicată pentru o integrală definitivă.
Expresia este rearanjată într-o singură integrală, negativul devine un factor comun și ordinea factorilor este inversată.
Când observăm în detaliu această expresie, devine evident că atunci când aplicăm criteriile funcției primitive, suntem în prezența integralei expresiei derivate din f în raport cu y. Evaluat în parametri
Acum este suficient să presupunem că funcția vectorială F este definită doar pentru g (x, y) j . În cazul în care funcționează într-un mod similar cu cazul precedent, se obțin următoarele:
Pentru a termina, cele 2 dovezi sunt luate și unite în cazul în care funcția vectorială ia valori pentru ambele versete. În acest fel, este arătat cum linia integrală după ce a fost definită și considerată ca o traiectorie unidimensională, poate fi complet dezvoltată pentru plan și spațiu.
F = f (x, y) i + g (x, y) j
În acest fel, teorema lui Green este dovedită.
Aplicații
Aplicațiile teoremei lui Green sunt largi în ramurile fizicii și matematicii. Acestea se extind la orice aplicație sau utilizare care poate fi dată integrării liniei.
Lucrarea mecanică realizată de o forță F printr-o cale C, poate fi dezvoltată de o integrală liniară care este exprimată ca o dublă integrală a unei zone prin teorema lui Green.
Momentele de inerție ale multor corpuri supuse forțelor externe în diferite puncte de aplicare răspund, de asemenea, la integrale de linie care pot fi dezvoltate cu teorema lui Green.
Aceasta are multiple funcționalități în studiile de rezistență ale materialelor utilizate. În cazul în care valorile externe pot fi cuantificate și luate în considerare înainte de dezvoltarea diferitelor elemente.
În general, teorema lui Green facilitează înțelegerea și definirea zonelor în care funcțiile vectoriale sunt definite cu privire la o regiune de-a lungul unei căi.
Istorie
A fost publicat în 1828 în lucrarea Analiza matematică la teoriile electricității și magnetismului, scrisă de matematicianul britanic George Green. În ea sunt examinate secțiuni destul de decisive în aplicarea calculului în fizică, precum conceptul de funcții potențiale, funcțiile lui Green și aplicațiile teoremei sale auto-intitulate.
George Green și-a oficializat cariera de student la 40 de ani, fiind până acum un matematician complet autodidact. După ce a studiat la Universitatea din Cambridge, și-a continuat cercetările, contribuind în acustică, optică și hidrodinamică, care sunt încă valabile și în prezent.
Relația cu alte teoreme
Teorema lui Green este un caz special și provine din alte 2 teoreme foarte importante în domeniul calculului. Acestea sunt teorema Kelvin-Stokes și teorema divergenței sau Gauss Ostrogradski.
Pornind de la oricare dintre cele două teoreme, se poate ajunge la teorema lui Green. Anumite definiții și propoziții sunt necesare pentru a dezvolta astfel de dovezi.
Exerciții
- Exercițiul următor arată modul de transformare a unei linii integrale într-o dublă integrală față de regiunea R
Expresia originală este următoarea:
De unde se iau funcțiile corespunzătoare af și g
f (x, y) = x 3 g (x, y) = yx
df / dy = 0 dg / dx = y
Nu există o modalitate unică de a defini limitele integrării atunci când aplicăm teorema lui Green. Există însă moduri în care integralele după ce au fost definite pot fi mai simple. Deci, optimizarea limitelor de integrare merită atenție.
Unde se rezolvă integralele obținem:
Această valoare corespunde în unități cubice regiunii de sub funcția vectorială și peste regiunea triunghiulară definită de C.
În cazul integralei liniei fără a efectua metoda Green, ar fi fost necesară parametrizarea funcțiilor din fiecare secțiune a regiunii. Adică, efectuați 3 integrale parametrizate pentru rezoluție. Aceasta este o dovadă suficientă a eficienței pe care Robert Green a adus-o cu teorema sa la calcul.
Referințe
- Introducere în mecanica continuă. W Michael Lai, David H. Rubin, Erhard Krempl, David Rubin Butterworth-Heinemann, 23 iul. 2009
- Calcul multivariat. James Stewart. Cengage Learning, 22 mar 2011
- O istorie informală a teoremei lui Green și a ideilor asociate. James Joseph Cross. Departamentul de Matematică, Universitatea din Melbourne, 1975
- Conducerea căldurii folosind funcții verzi. Kevin D. Cole, James V. Beck, A. Haji-Sheikh, Bahman Litkouhi. Taylor & Francis, 16 iul 2010
- Aplicarea teoremei lui Green la Extremizarea integrelor liniare. Centrul de informare tehnică a apărării, 1961