TEOREMA LUI EUCLID: DOVADĂ, APLICARE ȘI EXERCIȚII - MATEMATICA - 2025

Teorema lui Euclid prezintă proprietățile unui triunghi tragerii la sorți o linie care împarte - l în două triunghiuri noi , care sunt similare și, la rândul lor, sunt similare cu triunghiul inițial; apoi, există o relație de proporționalitate.

Euclid a fost unul dintre cei mai mari matematicieni și geometrici ai epocii antice care a efectuat mai multe dovezi ale teoremelor importante. Una dintre principalele este cea care îi poartă numele, care a avut o aplicație largă.

Acest lucru a fost cazul, deoarece, prin această teoremă, explică într-un mod simplu relațiile geometrice existente în triunghiul drept, în care picioarele triunghiului sunt legate de proiecțiile lor pe hipotenuză.

Formule și demonstrație

Teorema lui Euclid propune ca în fiecare triunghi drept, atunci când este trasată o linie - care reprezintă înălțimea care corespunde vertexului unghiului drept față de ipotenuză - din triunghi sunt formate două triunghiuri drepte.

Aceste triunghiuri vor fi similare între ele și vor fi, de asemenea, similare cu triunghiul inițial, ceea ce înseamnă că laturile lor similare sunt proporționale între ele:

Unghiurile celor trei triunghiuri sunt congruente; adică, atunci când sunt rotite cu 180 de grade în jurul vârfului lor, un unghi coincide cu celălalt. Aceasta presupune că toți vor fi la fel.

În acest fel, asemănarea care există între cele trei triunghiuri poate fi verificată, de asemenea, prin egalitatea unghiurilor lor. Din similitudinea triunghiurilor, Euclid stabilește proporțiile acestora din două teoreme:

- Teorema înălțimii.

- Teorema picioarelor.

Această teoremă are o aplicație largă. În vechime era folosit pentru calcularea înălțimilor sau distanțelor, reprezentând un avans mare pentru trigonometrie.

În prezent este aplicat în diferite domenii care se bazează pe matematică, precum inginerie, fizică, chimie și astronomie, printre multe alte domenii.

Teorema înălțimii

În această teoremă se stabilește că în orice triunghi drept, înălțimea trasă din unghiul drept față de ipotenuză este media proporțională geometrică (pătratul înălțimii) dintre proiecțiile picioarelor pe care le determină pe hipotenuză.

Adică pătratul înălțimii va fi egal cu înmulțirea picioarelor proiectate care formează ipotenuză:

h _c ² = m _* n

Demonstrație

Având în vedere un triunghi ABC, care este chiar la vertexul C, reprezentând înălțimea generează două triunghiuri similare drepte, ADC și BCD; prin urmare, laturile lor corespunzătoare sunt proporționale:

În așa fel încât înălțimea h _c care corespunde segmentului CD, corespunde ipotenuzei AB = c, astfel avem:

La rândul său, aceasta corespunde:

Rezolvând hipotenuză (h _c ), pentru a multiplica cei doi membri ai egalității, avem:

h _{c *} h _{c =} m _* n

h _c ² = m _* n

Astfel, valoarea ipotenuzei este dată de:

Teorema picioarelor

În această teoremă, se stabilește că, în fiecare triunghi drept, măsura fiecărui picior va fi media proporțională geometrică (pătratul fiecărui picior) între măsura ipotenuzei (complete) și proiecția fiecăruia pe ea:

b ² = c _* m

a ² = c _* n

Demonstrație

Având în vedere un triunghi ABC, care este chiar la vertexul C, în așa fel încât hipotenuză este c, atunci când se trasează înălțimea (h) sunt determinate proiecțiile picioarelor a și b, care sunt segmentele m și n respectiv, și care se află pe hipotenuză.

Astfel, înălțimea desenată pe triunghiul drept ABC generează două triunghiuri similare drepte, ADC și BCD, astfel încât laturile corespunzătoare să fie proporționale, astfel:

DB = n, care este proiecția piciorului CB pe hipotenuză.

AD = m, care este proiecția AC piciorului pe hipotenuză.

Apoi, ipotenuză c este determinată de suma picioarelor proiecțiilor sale:

c = m + n

Datorită asemănării triunghiurilor ADC și BCD, avem:

Cele de mai sus sunt identice cu:

Rezolvând piciorul „a” pentru înmulțirea celor doi membri ai egalității, avem:

a _* a = c _* n

a ² = c _* n

Astfel, valoarea piciorului "a" este dată de:

În același mod, datorită asemănării triunghiurilor ACB și ADC, avem:

Cele de mai sus sunt egale cu:

Rezolvând pentru piciorul "b" să înmulțească cei doi membri ai egalității, avem:

b _* b = c _* m

b ² = c _* m

Astfel, valoarea piciorului "b" este dată de:

Relația dintre teoremele lui Euclid

Teoremele privind înălțimea și picioarele sunt legate între ele, deoarece măsura ambelor se face cu privire la ipotenuză a triunghiului drept.

Prin relația teoremelor lui Euclid se poate găsi și valoarea înălțimii; acest lucru este posibil prin rezolvarea valorilor m și n din teorema picioarelor și acestea sunt înlocuite în teorema înălțimii. În acest fel, se înțelege că înălțimea este egală cu înmulțirea picioarelor, împărțită prin hipotenuză:

b ² = c _* m

m = b ² c

a ² = c _* n

n = a ² c

În teorema înălțimii înlocuim m și n:

h _c ² = m _* n

h _c ² = (b ² ÷ c) _* (a ² ÷ c)

h _c = (b ² _* a ² ) ÷ c

Exerciții rezolvate

Exemplul 1

Având în vedere triunghiul ABC, chiar la A, determinați măsura AC și AD, dacă AB = 30 cm și BD = 18 cm

Soluţie

În acest caz, avem măsurătorile unuia dintre picioarele proiectate (BD) și ale unuia dintre picioarele triunghiului inițial (AB). În acest fel, teorema picioarelor poate fi aplicată pentru a găsi valoarea piciorului î.Hr.

AB ² = BD _* BC

(30) ² = 18 _* î

900 = 18 _* î

BC = 900 ÷ 18

BC = 50 cm

Valoarea CD-ului poate fi găsită știind că BC = 50:

CD = BC - BD

CD = 50 - 18 = 32 cm

Acum este posibil să se determine valoarea AC AC, aplicând din nou teorema picioarelor:

AC ² = CD _* BD

AC ² = 32 _* 50

AC ² = 160

AC = √1600 = 40 cm

Pentru a determina valoarea înălțimii (AD), se aplică teorema înălțimii, deoarece valorile picioarelor proiectate CD și BD sunt cunoscute:

AD ² = 32 _* 18

AD ² = 576

AD = √576

AD = 24 cm

Exemplul 2

Determinați valoarea înălțimii (h) a unui triunghi MNL, chiar în N, cunoscând măsurile segmentelor:

NL = 10 cm

MN = 5 cm

PM = 2 cm

Soluţie

Avem măsura unuia dintre picioare proiectate pe hipotenuză (PM), precum și măsurile picioarelor triunghiului inițial. În acest fel, teorema picioarelor poate fi aplicată pentru a găsi valoarea celuilalt picior proiectat (LN):

NL ² = PM _* LM

(10) ² = 5 _* LM

100 = 5 _* LM

PL = 100 ÷ 5 = 20

Deoarece valoarea picioarelor și a hipotenuzei este deja cunoscută, prin relația teoremelor înălțimii și picioarelor, valoarea înălțimii poate fi determinată:

NL = 10

MN = 5

LM = 20

h = (b ² _* a ² ) ÷ c.

h = (10 ² _* 5 ² ) ÷ (20)

h = (100 _* 25) ÷ (20)

h = 2500 ÷ 20

h = 125 cm.

Referințe

1. Braun, E. (2011). Haos, fractale și lucruri ciudate. Fondul Culturii Economice.
2. Cabrera, VM (1974). Matematică modernă, volumul 3.
3. Daniel Hernandez, DP (2014). Anul 3 matematica. Caracas: Santillana.
4. Encyclopaedia Britannica, i. (o mie noua sute nouazeci si cinci). Enciclopedia hispanică: Macropedia. Editura Encyclopedia Britannica.
5. Euclid, RP (1886). Elementele de geometrie ale lui Euclid.
6. Guardeño, AJ (2000). Moștenirea matematicii: de la Euclid la Newton, geniile prin cărțile lor. Universitatea din Sevilla.