TEOREMA LUI CHEBIȘOV: CE ESTE, APLICAȚII ȘI EXEMPLE - MATEMATICA - 2025

Teorema Cebîșev (Cebîșev sau inegalitate) este una dintre cele mai multe rezultate clasice importante ale teoriei probabilității. Permite estimarea probabilității unui eveniment descris în termenii unei variabile aleatoare X, oferindu-ne o legătură care nu depinde de distribuția variabilei aleatorii, ci de variația lui X.

Teorema este numită după matematicianul rus Pafnuty Chebyshov (scris și ca Chebychev sau Tchebycheff) care, deși nu a fost primul care a declarat teorema, a fost primul care a dat dovada în 1867.

Această inegalitate sau cele care, datorită caracteristicilor lor sunt numite inegalitatea lui Chebyshov, este utilizată în principal pentru aproximarea probabilităților prin calcularea înălțimilor.

În ce constă?

În studiul teoriei probabilităților, se întâmplă că dacă funcția de distribuție a unei variabile aleatorii X este cunoscută, valoarea estimată a acesteia - sau așteptarea matematică E (X) - și variația sa Var (X) poate fi calculată, atât timp cât astfel de sume există. Cu toate acestea, contrariul nu este neapărat adevărat.

Adică, cunoscând E (X) și Var (X) nu este neapărat posibilă obținerea funcției de distribuție a lui X, prin urmare cantități precum P (-X-> k) pentru unii k> 0 sunt foarte greu de obținut. Dar, datorită inegalității lui Chebyshov, este posibilă estimarea probabilității variabilei aleatorii.

Teorema lui Chebyshov ne spune că dacă avem o variabilă aleatorie X peste un spațiu de probă S cu funcția de probabilitate p și dacă k> 0, atunci:

Aplicații și exemple

Printre numeroasele aplicații ale teoremei lui Chebișov, pot fi menționate următoarele:

Limitarea probabilităților

Aceasta este cea mai comună aplicație și este utilizată pentru a da o limită superioară pentru P (-XE (X) -≥k) unde k> 0, numai cu variația și așteptarea variabilei aleatoare X, fără a cunoaște funcția de probabilitate. .

Exemplul 1

Să presupunem că numărul de produse fabricate într-o companie pe parcursul unei săptămâni este o variabilă aleatorie cu o medie de 50.

Dacă se știe că variația unei săptămâni de producție este egală cu 25, atunci ce putem spune despre probabilitatea ca săptămâna aceasta producția să difere cu mai mult de 10 față de medie?

Soluţie

Aplicând inegalitatea lui Chebyshov avem:

Din aceasta putem obține că probabilitatea ca în săptămâna de producție numărul de articole să depășească media cu peste 10 este cel mult 1/4.

Dovada teoremelor limită

Inegalitatea lui Chebyshov joacă un rol important în dovedirea celor mai importante teoreme de limită. Ca exemplu, avem următoarele:

Legea slabă a numărului mare

Această lege prevede că, dată o secvență X1, X2,…, Xn,… de variabile aleatoare independente cu aceeași distribuție medie E (Xi) = μ și variație Var (X) = σ ² și un eșantion mediu cunoscut de:

Apoi pentru k> 0 avem:

Sau, în mod echivalent:

Demonstrație

Să observăm mai întâi următoarele:

Deoarece X1, X2,…, Xn sunt independente, rezultă că:

Prin urmare, este posibil să se precizeze următoarele:

Apoi, folosind teorema lui Chebișov, avem:

În cele din urmă, teorema rezultă din faptul că limita din dreapta este zero pe măsură ce n se apropie de infinit.

Trebuie menționat că acest test a fost realizat doar pentru cazul în care există variația Xi; adică nu diverge. Astfel, observăm că teorema este întotdeauna adevărată dacă E (Xi) există.

Teorema limitării lui Chebyshov

Dacă X1, X2,…, Xn,… este o secvență de variabile aleatoare independente, astfel încât există unele C <infinit, astfel încât Var (Xn) ≤ C pentru toate n natural, atunci pentru orice k> 0:

Demonstrație

Deoarece secvența variațiilor este delimitată uniform, avem acea Var (Sn) ≤ C / n, pentru toate n natural. Dar știm că:

Făcând n tendința spre infinit, următoarele rezultate:

Deoarece o probabilitate nu poate depăși valoarea de 1, se obține rezultatul dorit. Ca urmare a acestei teoreme, am putea menționa cazul particular al lui Bernoulli.

Dacă un experiment se repetă de n ori independent cu două rezultate posibile (eșecul și succesul), unde p este probabilitatea succesului în fiecare experiment și X este variabila aleatoare care reprezintă numărul de succese obținute, atunci pentru fiecare k> 0 trebuie să:

Marime de mostra

În ceea ce privește variația, inegalitatea lui Chebyshov ne permite să găsim o mărime a eșantionului n care să fie suficientă pentru a garanta că probabilitatea ca -Sn-μ -> = k să fie la fel de mică pe cât dorim, ceea ce ne permite să avem o aproximare la medie

Mai exact, să fie X1, X2, … Xn un eșantion de variabile aleatoare independente de mărimea n și să presupunem că E (Xi) = μ și variația sa σ ² . Apoi, prin inegalitatea lui Chebyshov avem:

Exemplu

Să presupunem că X1, X2, … Xn sunt un eșantion de variabile aleatoare independente cu distribuție Bernoulli, astfel încât acestea să ia valoarea 1 cu probabilitatea p = 0,5.

Care trebuie să fie dimensiunea eșantionului pentru a putea garanta că probabilitatea ca diferența dintre media aritmetică Sn și valoarea așteptată a acesteia (depășind cu mai mult de 0,1) să fie mai mică sau egală cu 0,01?

Soluţie

Avem că E (X) = μ = p = 0,5 și că Var (X) = σ ² = p (1-p) = 0,25. Prin inegalitatea lui Chebyshov, pentru orice k> 0 avem:

Acum, luând k = 0,1 și δ = 0,01, avem:

În acest fel, se concluzionează că este necesară o mărime a eșantionului de cel puțin 2.500 pentru a garanta că probabilitatea evenimentului -Sn - 0,5 -> = 0.1 este mai mică de 0,01.

Inegalități de tip Chebișov

Există mai multe inegalități legate de inegalitatea lui Chebișov. Una dintre cele mai cunoscute este inegalitatea din Markov:

În această expresie X este o variabilă aleatorie non-negativă cu k, r> 0.

Inegalitatea din Markov poate lua diferite forme. De exemplu, să fie Y o variabilă aleatorie non-negativă (deci P (Y> = 0) = 1) și să presupunem că E (Y) = μ există. Să presupunem, de asemenea, că (E (Y)) ^r = µ _r există pentru un număr întreg r> 1. Asa de:

O altă inegalitate este Gaussianul, care ne spune că, dată fiind o variabilă aleatorie unimodală X cu modul la zero, apoi pentru k> 0,

Referințe

1. Kai Lai Chung. Teoria elementară a probabilității cu procese stocastice. Springer-Verlag New York Inc
2. Kenneth.H. Rosen. Matematica discretă și aplicațiile sale. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
3. Paul L. Meyer. Probabilitate și aplicații statistice. SA ALHAMBRA MEXICANA.
4. Seymour Lipschutz Ph.D. 2000 Probleme rezolvate ale matematicii discrete. McGraw-Hill.
5. Seymour Lipschutz Ph.D. Probleme de teorie și probabilitate. McGraw-Hill.