Bayes Teorema este o procedura care ne permite să -și exprime probabilitatea condiționată a unui eveniment aleator un anumit B, în ceea ce privește distribuția de probabilitate a evenimentului A și B , deoarece distribuția de probabilitate de numai A.
Această teoremă este foarte utilă, deoarece mulțumită acesteia putem lega probabilitatea ca un eveniment A să aibă loc știind că B s-a produs, cu probabilitatea ca opusul să se producă, adică să apară B dată A.
Teorema lui Bayes a fost o propunere de argint a reverendului Thomas Bayes, un teolog englez din secolul al XVIII-lea, care era și matematician. El a fost autorul mai multor lucrări în teologie, dar în prezent este cunoscut pentru câteva tratate matematice, printre care se menționează teorema Bayes menționată ca rezultat principal.
Bayes s-a ocupat de această teoremă într-o lucrare intitulată „Un eseu către rezolvarea unei probleme în doctrina șanselor”, publicată în 1763 și despre care s-au dezvoltat un număr mare. studii cu aplicații în diverse domenii de cunoaștere.
Explicaţie
În primul rând, pentru o mai bună înțelegere a acestei teoreme, sunt necesare câteva noțiuni de bază ale teoriei probabilității, în special teorema înmulțirii pentru probabilitatea condițională, care afirmă că
Pentru evenimentele E și A arbitrare ale unui spațiu de probă S.
Și definiția partițiilor, care ne spune că dacă avem A 1 , A 2 , …, A n evenimente ale unui spațiu de probă S, acestea vor forma o partiție a lui S, în cazul în care A i se exclud reciproc și uniunea lor este S.
Având în vedere acest lucru, să fie B un alt eveniment. Deci putem vedea B ca
În cazul în care A am intersectat cu B sunt evenimente reciproc excluse.
În consecință,
Apoi, aplicând teorema înmulțirii
Pe de altă parte, probabilitatea condiționată de Ai dată B este definită de
Substituind în mod corespunzător avem asta pentru orice i
Aplicații ale teoremei lui Bayes
Datorită acestui rezultat, grupurile de cercetare și diverse corporații au reușit să îmbunătățească sistemele care se bazează pe cunoștințe.
De exemplu, în studiul bolilor, teorema lui Bayes poate ajuta la deosebirea probabilității de a se găsi o boală la un grup de persoane cu o caracteristică dată, luând ca date ratele globale ale bolii și prevalența acestor caracteristici în atât persoanele sănătoase, cât și persoanele bolnave.
Pe de altă parte, în lumea tehnologiilor înalte, a influențat companiile mari care au dezvoltat, datorită acestui rezultat, software „bazat pe cunoștințe”.
Ca exemplu zilnic avem asistentul Microsoft Office. Teorema lui Bayes ajută software-ul să evalueze problemele pe care utilizatorul le prezintă și să determine ce sfaturi trebuie să ofere, astfel încât să poată oferi un serviciu mai bun în conformitate cu obiceiurile utilizatorului.
În mod special, această formulă a fost ignorată până în ultima perioadă, aceasta fiind în principal pentru că atunci când acest rezultat a fost dezvoltat în urmă cu 200 de ani, nu au existat prea puține practici pentru acestea. Cu toate acestea, pe vremea noastră, grație unor mari progrese tehnologice, oamenii de știință au găsit modalități de a pune în practică acest rezultat.
Exerciții rezolvate
Exercitiul 1
O companie de telefonie mobilă are două mașini A și B. 54% din telefoanele mobile produse sunt făcute de mașina A și restul de mașina B. Nu toate telefoanele mobile produse sunt în stare bună.
Proporția de telefoane mobile defecte realizate de A este 0,2 și de B este de 0,5. Care este probabilitatea ca un telefon mobil din fabrica respectivă să fie defect? Care este probabilitatea ca, știind că un telefon mobil este defect, provine de la mașina A?
Soluţie
Aici, aveți un experiment care se face în două părți; în prima parte au loc evenimentele:
A: celulă fabricată de mașina A.
B: celulă fabricată de mașina B.
Deoarece mașina A produce 54% din telefoanele mobile, iar restul sunt produse de mașina B, rezultă că mașina B produce 46% din telefoanele mobile. Probabilitățile acestor evenimente sunt date, și anume:
P (A) = 0,54.
P (B) = 0,46.
Evenimentele din a doua parte a experimentului sunt:
D: telefon mobil defect.
E: telefon mobil defect.
După cum se spune în declarație, probabilitățile acestor evenimente depind de rezultatul obținut în prima parte:
P (DA) = 0,2.
P (DB) = 0,5.
Folosind aceste valori, probabilitățile complementelor acestor evenimente pot fi de asemenea determinate, adică:
P (EA) = 1 - P (DA)
= 1 - 0,2
= 0,8
și
p (EB) = 1 - P (DB)
= 1 - 0,5
= 0,5.
Acum evenimentul D poate fi scris după cum urmează:
Utilizarea teoremei înmulțirii pentru rezultatele probabilității condiționale:
Prin urmare, se răspunde la prima întrebare.
Acum trebuie doar să calculăm P (AD), pentru care se aplică Teorema Bayes:
Mulțumită teoremei lui Bayes, se poate afirma că probabilitatea ca un telefon mobil să fie făcut de mașina A, știind că telefonul mobil este defect, este de 0,319.
Exercițiul 2
Trei cutii conțin bile alb-negru. Compoziția fiecăruia dintre ele este următoarea: U1 = {3B, 1N}, U2 = {2B, 2N}, U3 = {1B, 3N}.
Una dintre cutii este aleasă la întâmplare și o minge este desenată la întâmplare, care se dovedește a fi albă. Care este cea mai probabilă căsuță a fost aleasă?
Soluţie
Folosind U1, U2 și U3, vom reprezenta și caseta aleasă.
Aceste evenimente constituie o partiție a lui S și se verifică că P (U1) = P (U2) = P (U3) = 1/3, deoarece alegerea casetei este aleatorie.
Dacă B = {bila desenată este albă}, vom avea P (B-U1) = 3/4, P (B-U2) = 2/4, P (B-U3) = 1/4.
Ceea ce vrem să obținem este probabilitatea ca mingea să fie scoasă din caseta Ui știind că mingea respectivă era albă, adică P (Ui -B) și să vedem care dintre cele trei valori a fost cea mai mare de știut. cutia a fost cel mai probabil extragerea mingii cue.
Aplicarea teoremei lui Bayes la prima dintre casete:
Și pentru ceilalți doi:
P (U2-B) = 2/6 și P (U3-B) = 1/6.
Apoi, prima dintre cutii este cea cu cea mai mare probabilitate de a fi fost aleasă pentru extragerea mingii cue.
Referințe
- Kai Lai Chung. Teoria elementară a probabilității cu procese stocastice. Springer-Verlag New York Inc
- Kenneth.H. Rosen. Matematica discretă și aplicațiile sale. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
- Paul L. Meyer. Probabilitate și aplicații statistice. SA ALHAMBRA MEXICANA.
- Seymour Lipschutz Ph.D. 2000 Probleme rezolvate ale matematicii discrete. McGraw-Hill.
- Seymour Lipschutz Ph.D. Probleme de teorie și probabilitate. McGraw-Hill.