TEORIA SETURILOR: CARACTERISTICI, ELEMENTE, EXEMPLE, EXERCIȚII - MATEMATICA - 2025

Teoria mulțimilor este o ramură a logicii care-matematice este responsabil pentru studiul relațiilor dintre entități numite seturi. Seturile se caracterizează prin a fi colecții de obiecte de aceeași natură. Obiectele menționate sunt elementele setului și pot fi: numere, litere, figuri geometrice, cuvinte care reprezintă obiecte, obiectele în sine și altele.

A fost Georg Cantor, către sfârșitul secolului al XIX-lea, cel care a propus teoria seturilor. În timp ce alți matematicieni notabili din secolul XX și-au făcut formalizarea: Gottlob Frege, Ernst Zermelo, Bertrand Russell, Adolf Fraenkel, printre alții.

Figura 1. Diagrama lui Venn a mulțimilor A, B și a intersecției lor A⋂ B. (Elaborare proprie).

Diagramele Venn sunt modul grafic de a reprezenta un set și constă dintr-o figură plană închisă în interiorul căreia se află elementele setului.

De exemplu, în figura 1 sunt prezentate două seturi A și B, care au elemente în comun, elementele comune A și B. Acestea formează un nou set numit setul de intersecție din A și B, care este scris în forma simbolică după cum urmează:

A ∩ B

caracteristici

Setul este un concept primitiv, deoarece este în geometrie conceptul de punct, linie sau plan. Nu există o modalitate mai bună de a exprima conceptul decât arătând exemple:

Set E format din culorile steagului Spaniei. Acest mod de exprimare a setului este numit prin înțelegere. Același set E scris prin extensie este:

E = {roșu, galben}

În acest caz, roșul și galbenul sunt elemente ale setului E. Trebuie menționat că elementele sunt listate în paranteze și nu se repetă. În cazul steagului spaniol, există trei dungi colorate (roșu, galben, roșu), dintre care două se repetă, dar elementele nu se repetă atunci când se exprimă întregul.

Să presupunem mulțimea V formată din primele trei litere vocale:

V = {a, e, i}

Setul de putere V, notat cu P (V) este setul tuturor seturilor care se pot forma cu elementele lui V:

P (V) = {{a}, {e}, {i}, {a, e}, {a, i}, {e, i}, {a, e, i}}

Tipuri de seturi

Set finit

Este un set în care elementele sale sunt numărabile. Exemple de seturi finite sunt literele alfabetului spaniol, vocalele spaniolei, planetele sistemului solar, printre altele. Numărul de elemente dintr-un set finit se numește cardinalitatea sa.

Set infinit

Un set infinit se înțelege a fi tot ceea ce numărul elementelor sale este nenumărat, deoarece oricât de mare ar fi numărul elementelor sale, este întotdeauna posibil să găsești mai multe elemente.

Un exemplu de mulțime infinită este setul de numere naturale N, care în formă extinsă este exprimat după cum urmează:

N = {1, 2, 3, 4, 5,….} Este în mod clar un set infinit, deoarece oricât de mare ar fi un număr natural, următorul cel mai mare poate fi întotdeauna găsit, într-un proces fără sfârșit. În mod clar, cardinalitatea unui set infinit este ∞.

Set gol

Este setul care nu conține niciun element. Setul gol V este notat cu Ø sau cu o pereche de taste fără elemente din interior:

V = {} = Ø.

Setul gol este unic, de aceea trebuie să fie incorect să spui „un set gol”, forma corectă este să spui „setul gol”.

Printre proprietățile setului gol avem că este un subset al oricărui set:

Ø ⊂ A

Mai mult, dacă un set este un subset al setului gol, atunci în mod necesar setul menționat va fi vidul:

A ⊂ Ø ⇔ A = Ø

Set unitar

Un set de unități este orice set care conține un singur element. De exemplu, setul de sateliți naturali ai Pământului este un set unitar, al cărui singur element este Luna. Multimea B de numere întregi mai mică de 2 și mai mare de zero are numai elementul 1, prin urmare este un set de unități.

Set binar

Un set este binar dacă are doar două elemente. De exemplu setul X, astfel încât x este o soluție de număr real de x ^ 2 = 2. Acest set prin extensie este scris astfel:

X = {-√2, + √2}

Set universal

Setul universal este un set care conține alte seturi de același tip sau natură. De exemplu, setul universal de numere naturale este setul de numere reale. Numerele reale sunt însă un set universal al numerelor întregi și al numerelor raționale.

Articole de bază

- Relațiile dintre seturi

În ansambluri se pot stabili diferite tipuri de relații între ele și elementele lor. Dacă două seturi A și B au exact aceleași elemente între ele, se stabilește o relație de egalitate care se notează după cum urmează:

A = B

Dacă toate elementele unui set A aparțin unui set B, dar nu toate elementele lui B aparțin A, atunci între aceste mulțimi există o relație de incluziune care este notată astfel:

A ⊂ B, dar B ⊄ A

Expresia de mai sus scrie: A este un subset de B, dar B nu este un subset de A.

Pentru a indica faptul că unele elemente sau elemente aparțin unui set, simbolul membership este utilizat, de exemplu, pentru a spune că x elementul sau elementele aparțin setului A este scris simbolic astfel:

x ∈ A

Dacă un element nu aparține setului A, această relație este scrisă astfel:

și ∉ A

Relația de apartenență există între elementele unui set și set, cu excepția exclusivă a setului de putere, setul de putere fiind colectarea sau setul tuturor seturilor posibile care pot fi formate cu elementele setului menționat.

Să presupunem că V = {a, e, i}, setul său de putere este P (V) = {{a}, {e}, {i}, {a, e}, {a, i}, {e, i} , {a, e, i}}, în acest caz setul V devine un element al mulțimii P (V) și poate fi scris:

V ∈ P (V)

- Proprietățile incluziunii

Prima proprietate a incluziunii stabilește că fiecare set este conținut în sine sau, cu alte cuvinte, că este un subset de sine:

A ⊂ A

Cealaltă proprietate a incluziunii este tranzitivitatea: dacă A este un subset de B și B la rândul său este un subset de C, atunci A este un subset de C. În formă simbolică, relația de tranzitivitate este scrisă astfel:

(A ⊂ B) ^ (B ⊂ C) => A ⊂ C

Mai jos este diagrama Venn corespunzătoare tranzitivității incluziunii:

Figura 2. (A ⊂ B) ^ (B ⊂ C) => A ⊂ C

- Operații între seturi

Intersecție

Intersecția este o operație între două seturi care dă naștere unui nou set aparținând aceluiași set universal ca primele două. În acest sens, este o operație închisă.

Simbolic, operația de intersecție este formulată astfel:

A⋂B = {x / x∈A ^ x∈B}

Un exemplu este următorul: setul A al literelor din cuvântul „elemente” și setul B al literelor cuvântului „repetate”, intersecția dintre A și B este scrisă astfel:

A⋂B = {e, l, m, n, t, s} ⋂ {r, e, p, t, i, d, o, s} = {e, t, s}. Setul universal U al lui A, al lui B și, de asemenea, al lui A⋂B este mulțimea literelor alfabetului spaniol.

Uniune

Unirea a două mulțimi este mulțimea formată din elementele comune celor două mulțimi și elementele neobișnuite ale celor două mulțimi. Operațiunea de unire între seturi este exprimată simbolic astfel:

A∪B = {x / x∈A vx∈B}

Diferență

Diferența de operare a mulțimii A minus setul B este notată de AB. AB este un set nou format din toate elementele care sunt în A și care nu aparțin lui B. Simbolic, este scris astfel:

A - B = {x / x ∈ A ^ x ∉ B}

Figura 3. A - B = {x / x ∈ A ^ x ∉ B}

Diferență simetrică

Diferența simetrică este o operație între două seturi în care setul rezultat este format din elemente care nu sunt comune celor două seturi. Diferența simetrică este reprezentată simbolic astfel:

A⊕B = {x / x∈ (AB) ^ x∈ (BA)}

Exemple

Exemplul 1

Diagrama Venn este un mod grafic de a reprezenta seturi. De exemplu, setul C al literelor din setul de cuvinte este reprezentat astfel:

Exemplul 2

În diagramele Venn se arată mai jos că mulțimea vocalelor din cuvântul „set” este un subset al setului de litere din cuvântul „set”.

Exemplul 3

Setul Ñ al literelor alfabetului spaniol este un set finit, acest set prin extensie este scris astfel:

Ñ = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, ñ, o, p, q, r, s, t, u, v, w , x, y, z} iar cardinalitatea sa este 27.

Exemplul 4

Setul V al vocalelor în spaniolă este un subset al mulțimii Ñ:

Prin urmare, V ⊂ Ñ este un set finit.

Setul finit V în formă extinsă este scris astfel: V = {a, e, i, o, u}, iar cardinalitatea sa este 5.

Exemplul 5

Având în vedere mulțimile A = {2, 4, 6, 8} și B = {1, 2, 4, 7, 9}, determinați AB și BA.

A - B sunt elementele lui A care nu sunt în B:

A - B = {6, 8}

B - A sunt elementele lui B care nu sunt în A:

B - A = {1, 7, 9}

Exerciții rezolvate

Exercitiul 1

Scrieți în formă simbolică și, de asemenea, prin extensie, setul P de numere naturale mai mici de 10.

Soluție: P = {x∈ N / x <10 ^ x mod 2 = 0}

P = {2, 4, 6, 8}

Exercițiul 2

Să presupunem mulțimea A care este formată din numerele naturale care sunt factori de 210, și mulțimea B care este formată din numerele naturale prime mai mici de 9. Determinați prin extensie ambele mulțimi și stabiliți ce relație există între cele două mulțimi.

Soluție: Pentru a determina elementele mulțimii A, trebuie să începem prin a găsi factorii numărului natural 210:

210 = 2 * 3 * 5 * 7

Apoi setul A este scris:

A = {2, 3, 5, 7}

Considerăm acum mulțimea B, care este primele mai mici de 9. 1 nu este primă deoarece nu respectă definiția primei: „un număr este prim dacă și numai dacă are exact doi divizori, 1 și numărul în sine”. 2 este egal și, în același timp, este primar, deoarece îndeplinește definiția unui prim, celelalte prime mai mici de 9 sunt 3, 5 și 7. Deci, mulțimea B este:

B = {2, 3, 5, 7}

Prin urmare, cele două mulțimi sunt egale: A = B.

Exercițiul 3

Determinați setul ale cărui elemente x sunt diferite de x.

Soluție: C = {x / x ≠ x}

Deoarece fiecare element, număr sau obiect este egal cu el însuși, setul C nu poate fi altul decât setul gol:

C = Ø

Exercițiul 4

Fie mulțimea lui N de numere naturale și Z să fie setul de numere întregi. Determinați N ⋂ Z și N ∪ Z.

Soluţie:

N ⋂ Z = {x ∈ Z / x ≤ 0} = (-∞, 0]

N ∪ Z = Z deoarece N ⊂ Z.

Referințe

1. Garo, M. (2014). Matematică: ecuații patratice: Cum rezolvați o ecuație patratică. Marilù Garo.
2. Haeussler, EF, & Paul, RS (2003). Matematică pentru management și economie. Pearson Education.
3. Jiménez, J., Rodríguez, M., Estrada, R. (2005). Matematică 1 SEP. Prag.
4. Preciado, CT (2005). Curs de matematica a 3-a. Editorial Progreso.
5. Matematica 10 (2018). „Exemple de seturi finite”. Recuperat de la: matematicas10.net
6. Wikipedia. Teoria de seturi. Recuperat din: es.wikipedia.com