TEHNICI DE NUMĂRARE: TEHNICI, APLICAȚII, EXEMPLE, EXERCIȚII - DUDAS - 2025

Cele Tehnicile de numărare sunt o serie de metode de probabilitate pentru a contoriza numărul de posibile aranjamente în cadrul unui set sau mai multe seturi de obiecte. Acestea sunt utilizate atunci când faceți conturile manual devine complicat din cauza numărului mare de obiecte și / sau variabile.

De exemplu, soluția la această problemă este foarte simplă: imaginați-vă că șeful dvs. vă cere să numărați cele mai noi produse care au ajuns în ultima oră. În acest caz, puteți merge și număra produsele unul câte unul.

Cu toate acestea, imaginați-vă că problema este aceasta: șeful dumneavoastră vă cere să numărați câte grupuri de 5 produse de același tip pot fi formate cu cele care au ajuns în ultima oră. În acest caz, calculul este complicat. Pentru acest tip de situații se folosesc așa-numitele tehnici de numărare.

Aceste tehnici sunt diferite, dar cele mai importante sunt împărțite în două principii de bază, care sunt multiplicativul și aditivul; permutări și combinații.

Principiul multiplicativ

Aplicații

Principiul multiplicativ, împreună cu aditivul, sunt de bază pentru a înțelege funcționarea tehnicilor de numărare. În cazul multiplicativului, acesta constă din următoarele:

Să ne imaginăm o activitate care implică un număr specific de pași (notăm totalul ca „r”), unde primul pas poate fi făcut în moduri N1, al doilea pas în N2 și pasul „r” în moduri Nr. În acest caz, activitatea ar putea fi realizată din numărul de forme rezultate din această operațiune: N1 x N2 x ……… .x Nr

De aceea, acest principiu se numește multiplicativ și presupune că fiecare dintre pașii care sunt necesari pentru desfășurarea activității trebuie să fie derulați unul după altul.

Exemplu

Să ne imaginăm o persoană care vrea să construiască o școală. Pentru a face acest lucru, luați în considerare că baza clădirii poate fi construită în două moduri diferite, ciment sau beton. În ceea ce privește pereții, acestea pot fi realizate din adob, ciment sau cărămidă.

În ceea ce privește acoperișul, acesta poate fi realizat din ciment sau tablă galvanizată. În cele din urmă, tabloul final nu poate fi realizat decât într-un singur fel. Întrebarea care apare este următoarea: Câte modalități are de construit școala?

În primul rând, avem în vedere numărul de trepte, care ar fi baza, pereții, acoperișul și vopseaua. În total, 4 pași, deci r = 4.

Următoarele ar fi listarea numerelor N:

N1 = modalități de a construi baza = 2

N2 = modalități de construire a zidurilor = 3

N3 = modalități de realizare a acoperișului = 2

N4 = moduri de vopsire = 1

Prin urmare, numărul de forme posibile ar fi calculat folosind formula descrisă mai sus:

N1 x N2 x N3 x N4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 moduri de a face școală.

Principiul aditiv

Aplicații

Acest principiu este foarte simplu și constă în faptul că, în cazul existenței mai multor alternative pentru a desfășura aceeași activitate, căile posibile constau în suma diferitelor moduri posibile de a realiza toate alternativele.

Cu alte cuvinte, dacă dorim să desfășurăm o activitate cu trei alternative, unde prima alternativă poate fi realizată în moduri M, a doua în N moduri și ultima în moduri W, activitatea poate fi realizată în: M + N + ……… + W forme.

Exemplu

Să ne imaginăm de această dată o persoană care vrea să cumpere o rachetă de tenis. Pentru a face acest lucru, aveți trei mărci din care să alegeți: Wilson, Babolat sau Head.

Când mergeți la magazin vedeți că racheta Wilson poate fi cumpărată cu mânerul în două dimensiuni diferite, L2 sau L3, în patru modele diferite și poate fi înțepată sau neîngrijită.

Racheta Babolat, pe de altă parte, are trei mânere (L1, L2 și L3), există două modele diferite și poate fi, de asemenea, înfășurată sau nestingherită.

Racheta pentru cap, din partea sa, este disponibilă doar cu un singur mâner, L2, pe două modele diferite și doar cu unstrung. Întrebarea este: de câte moduri are această persoană pentru a-și cumpăra racheta?

M = Numărul de modalități de a selecta o rachetă Wilson

N = Numărul de modalități de a selecta o rachetă Babolat

W = numărul de moduri de a selecta o rachetă pentru cap

Realizăm principiul multiplicatorului:

M = 2 x 4 x 2 = 16 forme

N = 3 x 2 x 2 = 12 căi

L = 1 x 2 x 1 = 2 căi

M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 moduri de a alege o rachetă.

Pentru a ști când să utilizați principiul multiplicativ și aditivul, trebuie doar să analizați dacă activitatea are o serie de pași de îndeplinit și dacă există mai multe alternative, aditivul.

permutări

Aplicații

Pentru a înțelege ce este o permutare, este important să explici ce este o combinație, astfel încât să le poți diferenția și să știi când să le folosești.

O combinație ar fi un aranjament de elemente în care nu suntem interesați de poziția pe care o ocupă fiecare dintre ei.

Pe de altă parte, o permutare ar fi un aranjament de elemente în care suntem interesați de poziția pe care o ocupă fiecare dintre ei.

Să punem un exemplu pentru a înțelege mai bine diferența.

Exemplu

Să ne imaginăm o clasă cu 35 de studenți și cu următoarele situații:

1. Profesorul dorește ca trei dintre elevii săi să-l ajute să mențină sala de clasă curată sau să predea materiale celorlalți elevi atunci când este nevoie.
2. Profesorul vrea să numească delegații clasei (un președinte, un asistent și un finanțator).

Soluția ar fi următoarea:

1. Să ne imaginăm că, prin vot, Juan, María și Lucía sunt alese pentru curățarea clasei sau livrarea materialelor. Evident, s-ar fi putut forma alte grupuri de trei, dintre cei 35 de studenți posibili.

Trebuie să ne întrebăm următoarele: este importantă ordinea sau poziția fiecărui elev atunci când le selectăm?

Dacă ne gândim la asta, vedem că acesta nu este cu adevărat important, deoarece grupul va fi responsabil de cele două sarcini în mod egal. În acest caz, este o combinație, deoarece nu ne interesează poziția elementelor.

1. Acum să ne imaginăm că Juan este ales ca președinte, Maria ca asistent și Lucia ca finanțator.

În acest caz, ar fi importantă comanda? Răspunsul este da, pentru că dacă schimbăm elementele, rezultatul se schimbă. Adică, dacă în loc să-l punem pe Juan în funcția de președinte, l-am pune ca asistent, iar pe Maria ca președinte, rezultatul final s-ar schimba. În acest caz, este o permutare.

Odată ce diferența este înțeleasă, vom obține formulele pentru permutări și combinații. Cu toate acestea, mai întâi trebuie să definim termenul "n!" (factorial ene), deoarece va fi utilizat în diferite formule.

n! = produsul de la 1 la n.

n! = 1 x 2 x 3 x 4 x ……… ..xn

Folosind-o cu numere reale:

10! = 1 x 2 x 3 x 4 x ……… x 10 = 3.628.800

5! = 1 x 2 x 3 x 4 x ……….. x 5 = 120

Formula pentru permutări ar fi următoarea:

nPr = n! / (nr)!

Cu aceasta putem afla aranjamentele în care comanda este importantă și unde cele n elemente sunt diferite.

Combinații

Aplicații

După cum am comentat anterior, combinațiile sunt aranjamentele în care nu ne interesează poziția elementelor.

Formula sa este următoarea:

nCr = n! / (nr)! r!

Exemplu

Dacă există 14 studenți care vor să facă voluntariat pentru curățarea clasei, câte grupuri de curățare pot fi formate dacă fiecare grup trebuie să fie format din 5 persoane?

Prin urmare, soluția ar fi următoarea:

n = 14, r = 5

14C5 = 14! / (14 - 5)! 5! = 14! / 9! 5! = 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9! / 9! 5! = 2002 grupuri

Exerciții rezolvate

Exercitiul 1

Sursa: Pixabay.com

Natalia este rugată de mama ei să meargă la un magazin alimentar și să-i cumpere un sodă pentru a se răci. Când Natalia îi cere funcționarului o băutură, el îi spune că există patru arome de băuturi răcoritoare, trei tipuri și trei mărimi.

Aromele bauturilor racoritoare pot fi: cola, lamaie, portocala si menta.

Tipurile de cola pot fi: obișnuite, fără zahăr, fără cafeină.

Dimensiunile pot fi: mici, medii și mari.

Mama Nataliei nu a specificat ce fel de băutură răcoritoare dorea.Câte moduri are Natalia de a cumpăra băutura?

Soluţie

M = Mărimea și numărul de tip pe care îl puteți selecta atunci când alegeți cola.

N = Numărul de mărime și tip pe care îl puteți selecta atunci când alegeți sodă de lămâie.

W = Mărimea și numărul de tip pe care îl puteți selecta atunci când alegeți sodă portocalie.

Y = Numărul de mărime și tip pe care îl puteți selecta atunci când alegeți sodă de mentă.

Realizăm principiul multiplicatorului:

M = 3 × 3 = 9 căi

N = 3 × 3 = 9 căi

L = 3 × 3 = 9 căi

Y = 3 × 3 = 9 căi

M + N + W + Y = 9 + 9 + 9 + 9 = 36 moduri de a selecta soda.

Exercițiul 2

Sursa: pixabay.com

Un club sportiv face reclamă atelierelor de acces gratuit pentru copii, pentru a învăța să patineze. 20 de copii sunt înscriși, deci decid să îi împartă în două grupuri de zece persoane, astfel încât instructorii să poată preda clasele mai confortabil.

La rândul lor, ei decid să deseneze în ce grup va intra fiecare copil. În câte grupuri diferite ar putea intra un copil?

Soluţie

În acest caz, modalitatea de a găsi un răspuns este folosind tehnica de combinație, a cărei formulă a fost: nCr = n! / (Nr)! R!

n = 20 (număr de copii)

r = 10 (dimensiunea grupului)

20C10 = 20! / (20 - 10)! 10! = 20! / 10! 10! = 20 x 19 x 18 x 17 x 16 x 15x 14x 13x 12x 11x 10! / 10! 10! = 184.756 grupuri.

Referințe

1. Jeffrey, RC, Probability and the Art of Judgment, Cambridge University Press. (1992).
2. William Feller, „O introducere în teoria probabilității și aplicațiile sale”, (vol. 1), ediția a 3-a, (1968), Wiley
3. Finetti, Bruno de (1970). „Bazele logice și măsurarea probabilității subiective” Acta Psychologica.
4. Hogg, Robert V .; Craig, Allen; McKean, Joseph W. (2004). Introducere în statisticile matematice (ediția a 6-a). Râul superior de șa: Pearson.
5. Franklin, J. (2001) The Science of Conjecture: Evidence and Probability Before Pascal, Johns Hopkins University Press.