CENTRUL DE GREUTATE: PROPRIETĂȚI, CALCUL, EXEMPLE - FIZIC - 2025

Centrul de greutate al unui corp de dimensiune măsurabilă este punctul în care greutatea sa este considerată a fi aplicată. Prin urmare, este unul dintre conceptele principale ale staticii.

Prima abordare în problemele fizicii elementare constă în presupunerea că orice obiect se comportă ca o masă punctuală, adică nu are dimensiuni și toată masa este concentrată într-un singur punct. Acest lucru este valabil pentru o cutie, o mașină, o planetă sau o particulă subatomică. Acest model este cunoscut sub numele de model de particule.

Figura 1. În saltul înalt sportivul reușește astfel încât centrul său de greutate să fie în afara corpului. Sursa: Pixabay

Este desigur o aproximare, care funcționează foarte bine pentru multe aplicații. Nu este o sarcină ușoară să luăm în considerare comportamentul individual al miilor și milioanelor de particule pe care orice obiect le poate conține.

Cu toate acestea, dimensiunile reale ale lucrurilor trebuie luate în considerare dacă se obțin rezultate care sunt mai aproape de realitate. Întrucât suntem în general în apropierea Pământului, forța permanentă a oricărui corp este tocmai greutatea.

Considerații pentru găsirea centrului de greutate

Dacă trebuie luată în considerare dimensiunea corpului, unde trebuie aplicată greutatea? Atunci când aveți un obiect continuu în formă arbitrară, greutatea acestuia este o forță distribuită între fiecare dintre particulele sale constitutive.

Fie ca aceste particule să fie m ₁ , m ₂ , m ₃ … Fiecare dintre ele experimentează forța sa gravitațională corespunzătoare m ₁ g, m ₂ g, m ₃ g …, toate paralele. Acest lucru este așa, deoarece câmpul gravitațional al Pământului este considerat constant în marea majoritate a cazurilor, deoarece obiectele sunt mici în comparație cu dimensiunea planetei și sunt aproape de suprafața sa.

Figura 2. Greutatea obiectului este o masă distribuită. Sursa: creată de sine.

Suma vectorială a acestor forțe are ca rezultat greutatea obiectului, aplicată la punctul numit centru de greutate notat în figura ca CG, care apoi coincide cu centrul de masă. La rândul său, centrul de masă este punctul în care toată masa poate fi considerată concentrată.

Greutatea rezultată are magnitudinea Mg unde M este masa totală a obiectului și, desigur, este direcționată vertical spre centrul Pământului. Notarea sumară este utilă pentru exprimarea masei totale a corpului:

Centrul de greutate nu coincide întotdeauna cu un punct material. De exemplu, CG-ul unui inel se află în centrul său geometric, unde nu există nicio masă. Chiar și așa, dacă doriți să analizați forțele care acționează pe un cerc, trebuie să aplicați greutatea în acest punct precis.

În acele cazuri în care obiectul are o formă arbitrară, dacă este omogen, centrul său de masă poate fi calculat în continuare prin găsirea centroidului sau a centrului de greutate al figurii.

Cum se calculează centrul de greutate?

În principiu, dacă centrul de greutate (CG) și centrul de masă (cm) coincid întrucât câmpul gravitațional este uniform, atunci cm poate fi calculat și greutatea aplicată acestuia.

Să luăm în considerare două cazuri: primul este unul în care distribuția de masă este discretă; adică fiecare masă care alcătuiește sistemul poate fi numărată și atribuită un număr i, așa cum s-a făcut în exemplul precedent.

Coordonatele centrului de masă pentru o distribuție discretă a masei sunt:

Desigur, suma tuturor maselor este egală cu masa totală a sistemului M, așa cum este indicat mai sus.

Cele trei ecuații sunt reduse la o formă compactă când se ia în considerare vectorul r _cm sau vectorul de poziție al centrului de masă:

Și în cazul unei distribuții continue a masei, unde particulele au dimensiuni diferențiale și nu se pot distinge pentru a le număra, suma este înlocuită cu o integrală care se realizează peste volumul ocupat de obiectul în cauză:

În cazul în care r este vectorul de poziție al unei mase diferențiale dm și definiția densității masei a fost utilizată pentru a exprima diferențialul de masă dm conținut într-un diferențial de volum dV:

Proprietăți

Câteva considerații importante despre centrul de masă sunt următoarele:

- Deși este necesar un sistem de referință pentru a stabili pozițiile, centrul de masă nu depinde de alegerea făcută a sistemului, deoarece este o proprietate a obiectului.

- Când obiectul are o axă sau un plan de simetrie, centrul de masă este pe acea axă sau plan. Profitând de această circumstanță economisește timp de calcul.

- Toate forțele externe care acționează asupra obiectului pot fi aplicate la centrul de masă. Urmărirea mișcării acestui punct oferă o imagine de ansamblu asupra mișcării obiectului și facilitează studierea comportamentului acestuia.

-Cadrarea centrului de greutate al unui corp în echilibru static

Să presupunem că doriți să faceți ca corpul figurii anterioare să fie în echilibru static, adică să nu se traducă sau să se rotească în jurul unei axe arbitrare de rotație care poate fi O.

Figura 3. Schema de calcul al cuplului greutății în raport cu punctul O.

-Exemplu rezolvat

O bară subțire de material uniform are 6 m lungime și cântărește 30 N. O greutate de 50 N este atârnată la capătul stâng și o greutate de 20 N este atârnată la capătul său drept. Găsiți: a) Mărimea forței ascendente necesare pentru a menține echilibrul barei, b) Centrul de greutate al ansamblului.

Soluţie

Diagrama de forțe este prezentată în figura următoare. Greutatea barei se aplică la centrul său de greutate, care coincide cu centrul său geometric. Singura dimensiune a barei luate în considerare este lungimea sa, deoarece declarația raportează că este subțire.

Figura 4. Diagrama forțelor pentru bara.

Pentru ca sistemul bara + greutăți să rămână în echilibru translațional, suma forțelor trebuie să fie zero. Forțele sunt verticale, dacă avem în vedere sus cu semn + și jos cu semn - atunci:

F- 50 - 20-30 N = 0

F = 100 N

Această forță garantează echilibrul translațional. Luând momentele de torsiune ale tuturor forțelor cu privire la o axă care trece prin stânga extremă a sistemului și aplicând definiția:

t = rx F

Momentele tuturor acestor forțe despre punctul selectat sunt perpendiculare pe planul barei:

Prin urmare:

Centrul de greutate al barei + greutăți setate este situat la 2,10 metri de capătul stâng al barei.

Diferența de centrul de masă

Centrul de greutate coincide cu centrul de masă, după cum este indicat, atâta timp cât câmpul gravitațional al Pământului este constant pentru toate punctele obiectului care trebuie luate în considerare. Câmpul gravitațional al Pământului nu este altceva decât valoarea cunoscută și familiară a g = 9,8 m / s ² direcționată vertical în jos.

Deși valoarea g variază în funcție de latitudine și altitudine, acestea nu afectează de obicei obiectele care sunt de cele mai multe ori discutate. Ar fi foarte diferit dacă ai lua în considerare un corp mare din apropierea Pământului, de exemplu un asteroid care este foarte aproape de planetă.

Asteroidul are propriul său centru de masă, dar centrul său de greutate nu ar mai trebui să coincidă cu acest lucru, deoarece probabil că g ar experimenta variații substanțiale ale mărimii, având în vedere dimensiunea asteroidului și că greutățile fiecărei particule ar putea să nu fie paralele.

O altă diferență fundamentală este că centrul de masă se găsește indiferent dacă există sau nu o forță numită greutate aplicată obiectului. Este o proprietate intrinsecă a obiectului care ne dezvăluie modul în care masa sa este distribuită în raport cu geometria sa.

Centrul de masă există indiferent dacă există greutate aplicată sau nu. Și este situat în aceeași poziție chiar dacă obiectul se deplasează pe o altă planetă în care câmpul gravitațional este diferit.

Pe de altă parte, centrul de greutate este clar legat de aplicarea greutății, așa cum am văzut de-a lungul alineatelor anterioare.

Exemple de centru de greutate

Centrul de greutate al obiectelor neregulate

Este foarte ușor de aflat unde se află centrul de greutate al unui obiect neregulat, precum o cană. În primul rând, este suspendat din orice punct și de acolo este desenată o linie verticală (în figura 5 este linia fuchsia din imaginea din stânga).

Acesta este apoi suspendat dintr-un alt punct și este desenată o nouă verticală (linia turcoaz în imaginea din dreapta). Intersecția ambelor linii este centrul de greutate al cupei.

Figura 5. Locația CG a unei cani. Sursa: modificat de la Pixabay.

Echilibrarea obiectelor

Să analizăm stabilitatea unui camion care circulă pe șosea. Când centrul de greutate este deasupra bazei camionului, camionul nu se va ridica. Imaginea din stânga este cea mai stabilă poziție.

Figura 6. Echilibrarea camionului. Sursa: creată de sine.

Chiar și atunci când camionul se înclină spre dreapta, acesta va putea reveni la o poziție de echilibru stabilă, ca în desenul din mijloc, deoarece verticala încă trece prin bază. Cu toate acestea, atunci când această linie va ieși în afara camionului va coborî.

Diagrama arată forțele de la fulcrum: normală în galben, greutate în verde și statică statică la stânga în fuchsia. Normal și frecare sunt aplicate pe axa de rotație, astfel încât acestea nu exercită cuplul. Prin urmare, nu vor contribui la răsturnarea camionului.

Greutatea rămâne, care exercită un cuplu, din fericire în sensul acelor de ceasornic și care tinde să readucă camionul în poziția de echilibru. Rețineți că linia verticală trece prin suprafața de sprijin, care este anvelopa.

Când camionul se află în poziția extremă dreaptă, cuplul greutății se schimbă în sensul acelor de ceasornic. Imposibil de a fi contracarat pentru altă dată, camionul se va răsturna.

Referințe

1. Bauer, W. 2011. Fizică pentru inginerie și științe. Volumul 1. Mc Graw Hill. 247-253.
2. Giancoli, D. 2006. Fizică: Principii cu aplicații. Al 6-lea .. Sala Ed Prentice. 229-238.
3. Resnick, R. (1999). Fizic. Vol. 1. Ediția a 3-a în spaniolă. Compañía Editorial Continental SA de CV 331-341.
4. Rex, A. 2011. Fundamentele fizicii. Pearson. 146-155.
5. Sears, Zemansky. 2016. Universitatea de fizică cu fizică modernă. 14. Ed. Volumul 1.340-346.