SUMARE TELESCOPICĂ: MODUL ÎN CARE SE REZOLVĂ ȘI SE REZOLVĂ EXERCIȚIILE - MATEMATICA - 2025

Suma telescopic este o serie numerică operațiuni de ramură. Tratează cu rezumarea elementelor de la o valoare inițială la „n” de expresii al căror argument se supune oricăruia dintre următoarele modele:

(F _x - F _{x + 1} ); (F _{x + 1} - F _x )

De asemenea:

Sursa: Pixabay.com

Ele reprezintă o însumare a elementelor care, atunci când este dezvoltat, este supus anulărilor de termeni opuși. Permite definirea următoarei egalități pentru rezumările telescopice:

Numele său provine din relația cu aspectul unui telescop clasic, care ar putea fi pliat și desfășurat, schimbându-și în special dimensiunea. În același mod, rezumările telescopice, de natură infinită, pot fi rezumate în expresia simplificată:

F ₁ - F _{n + 1}

Demonstrație

La elaborarea rezumării termenilor, eliminarea factorilor este destul de evidentă. În cazul în care pentru fiecare dintre cazuri, în următoarea iterație vor apărea elemente opuse.

Primul caz, (F _x - F _{x + 1} ), va fi luat ca exemplu , deoarece procesul funcționează într-un mod omolog pentru (F _{x + 1} –F _x ).

Dezvoltând primele 3 valori {1, 2, 3} se observă tendința de simplificare

X ₁ (F ₁ - F _{1 + 1} ) = F ₁ - F ₂

X ₂ (F ₂ - F _{2 + 1} ) = F ₂ - F ₃

X ₃ (F ₃ - F _{3 + 1} ) = F ₃ - F ₄

În cazul în care se exprimă suma elementelor descrise:

X ₁ + X ₂ + X ₃ = F ₁ - F ₂ + F ₂ - F ₃ + F ₃ - F ₄

Se observă că termenii F ₂ și F ₃ sunt descriși împreună cu opusele lor, ceea ce face ca simplificarea lor să fie inevitabilă. În același mod, se observă că termenii F ₁ și F ₄ sunt menținuți.

Dacă suma a fost făcută de la x = 1 la x = 3, înseamnă că elementul F ₄ corespunde termenului generic F _{n + 1.}

Demonstrând astfel egalitatea:

Cum se rezolvă?

Scopul rezumărilor telescopice este de a facilita munca, astfel încât nu este necesar să se dezvolte un număr infinit de termeni sau să se simplifice un lanț de completări prea lung.

Pentru rezoluția sa, va fi necesară doar evaluarea termenilor F ₁ și F _{n + 1} . Aceste substituții simple constituie rezultatul final al însumării.

Totalitatea termenilor nu va fi exprimată, devenind necesară doar pentru demonstrarea rezultatului, dar nu și pentru procesul normal de calcul.

Important este să observăm convergența seriei de numere. Uneori, argumentul rezumării nu va fi exprimat telescopic. În aceste cazuri, implementarea metodelor alternative de factoring este foarte frecventă.

Metoda de factorizare caracteristică în adăugările telescopice este aceea a fracțiilor simple. Aceasta se produce atunci când o fracțiune originală este descompusă într-o sumă de mai multe fracții, în care se poate observa modelul telescopic (F _x - F _{x + 1} ) sau (F _{x + 1} - F _x ).

Descompunerea în fracții simple

Pentru a verifica convergența seriilor numerice, este foarte comună transformarea expresiilor raționale cu metoda fracției simple. Scopul este modelarea graficului în forma unei rezumări telescopice.

De exemplu, următoarea egalitate reprezintă o descompunere în fracții simple:

Când se dezvoltă seria de numere și se aplică proprietățile corespunzătoare, expresia ia următoarea formă:

În cazul în care se apreciază forma telescopică (F _x - F _{x + 1} ).

Procedura este destul de intuitivă și constă în găsirea valorilor numărătorului care, fără a încălca egalitatea, ne permit să separăm produsele găsite în numitor. Ecuațiile care apar în determinarea acestor valori sunt ridicate în funcție de comparații între ambele părți ale egalității.

Această procedură este respectată pas cu pas în dezvoltarea exercițiului 2.

Istorie

Este destul de incert să se poată defini momentul istoric în care au fost prezentate rezumările telescopice. Cu toate acestea, implementarea sa începe să fie văzută în secolul al XVII-lea, în studiile seriilor numerice efectuate de Leibniz și Huygens.

Ambii matematicieni, care explorează rezumările numerelor triunghiulare, încep să observe tendințele în convergența anumitor serii de elemente succesive. Dar și mai interesant este începutul modelării acestor expresii, în elemente care nu se succed neapărat una pe cealaltă.

De fapt, expresia folosită anterior pentru a face referire la fracții simple:

A fost introdus de Huygens și a atras imediat atenția lui Leibniz. Cine de-a lungul timpului a putut observa convergența la valoarea 2. Fără să o știe, a implementat formatul de însumare telescopică.

Exerciții

Exercitiul 1

Definiți la ce termen converge următoarea sumă:

Când se dezvoltă manual suma, se observă următorul model:

(2 ³ - 2 ⁴ ) + (2 ⁴ - 2 ⁵ ) + (2 ⁵ - 2 ⁶ ). . . . (2 ¹⁰ - 2 ¹¹ )

În cazul în care factorii de la 2 ⁴ la 2 ¹⁰ prezintă părți pozitive și negative, ceea ce face anularea lor evidentă. Apoi, singurii factori care nu vor fi simplificați vor fi primii „2 ³ ” și ultimii „2 ¹¹ ”.

În acest fel, la implementarea criteriului de însumare telescopică, se obțin următoarele:

Exercițiul 2

Transformă argumentul într-o însumare de tip telescopic și definește convergența seriei:

Așa cum este indicat în enunț, primul lucru de făcut este să se descompună în fracții simple, pentru a restabili argumentul și a-l exprima într-un mod telescopic.

Trebuie să găsiți 2 fracțiuni ai căror numitori sunt respectiv „n” și „n + 1”, unde metoda folosită mai jos trebuie să obțină valorile numărătorului care să satisfacă egalitatea.

Procedăm la definirea valorilor lui A și B. Mai întâi, adăugăm fracțiile.

Apoi numitorii sunt simplificați și se stabilește o ecuație liniară.

În pasul următor, expresia din dreapta este acționată, până când se realizează un model comparabil cu „3” din stânga.

Pentru a defini ecuațiile care trebuie utilizate, trebuie comparate rezultatele ambelor părți ale egalității. Cu alte cuvinte, nu se observă valori ale variabilei pe partea stângă, în acest fel A + B va trebui să fie egală cu zero.

A + B = 0; A = -B

Pe de altă parte, valoarea constantă A va trebui să fie egală cu valoarea constantă 3.

A = 3

Prin urmare.

A = 3 și B = -3

Odată ce valorile numărătorului pentru fracțiile simple sunt deja definite, însumarea este restabilită.

În cazul în care forma generică a rezumării telescopice a fost deja realizată. Seria telescopică este dezvoltată.

În cazul în care, atunci când se împarte la un număr foarte mare, rezultatul se va apropia tot mai mult de zero, observând convergența seriei la valoarea 3.

Acest tip de serie nu a putut fi rezolvat în alt mod, din cauza numărului infinit de iterații care definesc problema. Cu toate acestea, această metodă, împreună cu multe altele, încadrează ramura de studiu a seriilor numerice, al căror obiectiv este de a determina valorile de convergență sau de a defini divergența seriei menționate.

Referințe

1. Lecții de calcul infinitim. Manuel Franco, Manuel Franco Nicolás, Francisco Martínez González, Roque Molina Legaz. EDITUM, 1994.
2. Calcul integral: secvențe și serii de funcții. Antonio Rivera Figueroa. Grupo Editorial Patria, 21 oct. 2014.
3. Un curs de calcul și analiză reală. Sudhir R. Ghorpade, Balmohan V. Limaye. Springer Science & Business Media, 5 iunie. 2006.
4. Serie infinită. Fortul Tomlinson. The Clarendon Press, 1930.
5. Elemente ale teoriei proceselor infinite. Lloyd Leroy Smail. McGraw-Hill Book Company, Incorporated, 1923.