- Formule și proprietăți
- Zona de sub curbă
- Exerciții rezolvate
- - Exercitiul 1
- Soluţie
- - Exercițiul 2
- Soluţie
- Referințe
Suma Riemann este denumirea dată la calculul aproximativ al unei integrale definite, cu ajutorul unei însumări discrete cu un număr finit de termeni. O aplicație obișnuită este aproximarea zonei funcțiilor pe un grafic.
Matematicianul german Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866) a oferit pentru prima dată o definiție riguroasă a integralei unei funcții într-un interval dat. El a făcut-o cunoscută într-un articol publicat în 1854.
Figura 1. Suma Riemann este definită pe o funcție f și pe o partiție în interval. Sursa: Fanny Zapata.
Suma Riemann este definită pe o funcție y = f (x), cu x aparținând intervalului închis. Pe acest interval, se face o partiție P a n elemente:
P = {x 0 = a, x 1 , x 2 , …, x n = b}
Aceasta înseamnă că intervalul este împărțit după cum urmează:
x k-1 ≤ t k ≤ x k
Figura 1 arată grafic suma Riemann a funcției f în intervalul de pe o partiție de patru subintervale, dreptunghiurile gri.
Suma reprezintă suprafața totală a dreptunghiurilor și rezultatul acestei sume aproximează numeric aria de sub curba f, între abscisa x = x 0 și x = x 4 .
Desigur, aproximarea la zona de sub curbă se îmbunătățește foarte mult cu cât numărul n de partiții este mai mare. În acest fel, suma converg spre zona de sub curbă, când numărul n de partiții tinde la infinit.
Formule și proprietăți
Suma Riemann a funcției f (x) din partiție:
P = {x 0 = a, x 1 , x 2 , …, x n = b}
Definit pe interval, este dat de:
S (P, f) = ∑ k = 1 n f (t k ) (x k - x k-1 )
Unde t k este o valoare în interval. În suma Riemann, se folosesc de regulă intervale regulate de lățime Δx = (b - a) / n, unde a și b sunt valorile minime și maxime ale abscisei, în timp ce n este numărul de subdiviziuni.
În acest caz, suma corectă a lui Riemann este:
Sd (f, n) = * Δx
Figura 2. Suma corectă a lui Riemann. Sursa: Wikimedia Commons. 09glasgow09.
În timp ce suma stângă Riemann este exprimată astfel:
Dacă (f, n) = * Δx
Figura 3. Suma Riemann stângă. Sursa: Wikimedia Commons. 09glasgow09
În sfârșit, suma centrală a Riemann este:
Original text
Sc (f, n) = * Δx
Figura 4. Suma Riemann intermediară. Sursa: Wikimedia Commons. 09glasgow09
În funcție de locul în care punctul t k este situat în interval, suma Riemann poate supraestima sau subestima valoarea exactă a ariei sub curba funcției y = f (x). Cu alte cuvinte, dreptunghiurile pot ieși din curbă sau pot fi puțin sub ea.
Zona de sub curbă
Proprietatea principală a sumei Riemann și de la care derivă importanța ei este că, dacă numărul de subdiviziuni tinde spre infinit, rezultatul sumei se transformă în integralitatea definitivă a funcției:
Exerciții rezolvate
- Exercitiul 1
Calculați valoarea integralului definit între a = -2 până b = +2 din funcția:
f (x) = x 2
Utilizați o sumă Riemann. Pentru a face acest lucru, mai întâi găsiți suma pentru n partiții regulate ale intervalului și apoi luați limita matematică pentru cazul în care numărul de partiții tinde la infinit.
Soluţie
Acesta este pasul de urmat:
-În primul rând, intervalul de partiție este definit ca:
Δx = (b - a) / n.
-Apoi, suma Riemann din dreapta corespunzătoare funcției f (x) arată astfel:
-Apoi, este înlocuit cu atenție în rezumare:
-Următorul pas este să separați sumele și să luați cantitățile constante ca factor comun al fiecărei sume. Este necesar să se țină seama de faptul că indicele este i, de aceea numerele și termenii cu n sunt considerați constanți:
-Fiecare sumă este evaluată, deoarece pentru fiecare dintre ele există expresii adecvate. De exemplu, prima dintre sume dă n:
-În final, integralul care trebuie calculat este:
Cititorul poate verifica dacă acesta este rezultatul exact, care poate fi obținut prin rezolvarea integralei nedeterminate și evaluarea limitelor de integrare prin regula lui Barrow.
- Exercițiul 2
Determină aproximativ zona din funcție:
f (x) = (1 / √ (2π)) e (-x cu 2 /2)
Introduceți x = -1 și x = + 1, folosind o sumă centrală Riemann cu 10 partiții. Comparați cu rezultatul exact și estimați diferența procentuală.
Soluţie
Etapa sau incrementul dintre două valori discrete succesive este:
Δx = (1 - (-1) / 10 = 0,2
Deci, partiția P pe care sunt definite dreptunghiurile arată astfel:
P = {-1,0; -0.8; -0.6; -0.4; -0.2; 0.0; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8; 1.0}
Dar, deoarece ceea ce se dorește este suma centrală, funcția f (x) va fi evaluată la punctele de mijloc ale subintervalelor, adică în set:
T = {-0,9; -0.7; -0.5; -0.3; -0.1; 0,1; 0,3; 0,5; 0,7; 0,9}.
Suma (centrală) de Riemann arată astfel:
S = f (-0,9) * 0,2 + f (-0,7) * 0,2 + f (-0,5) * 0,2 +… + f (0,7) * 0,2 + f (0,9) * 0,2
Deoarece funcția f este simetrică, este posibilă reducerea sumei la doar 5 termeni, iar rezultatul este înmulțit cu doi:
S = 2 * 0,2 * {f (0,1) + f (0,3) + f (0,5) + f (0,7) + f (0,9)}
S = 2 * 0,2 * {0,397+ 0,381+ 0,352+ 0,312+ 0,266} = 0,683
Funcția dată în acest exemplu nu este alta decât binecunoscutul clopot gaussian (normalizat, cu medie egală cu zero și abatere standard). Zona de sub curbă în intervalul pentru această funcție este cunoscută a fi 0,6827.
Figura 5. Zona sub un clopot gaussian aproximat de o sumă Riemann. Sursa: F. Zapata.
Aceasta înseamnă că soluția aproximativă cu doar 10 termeni se potrivește cu soluția exactă la trei zecimale. Eroarea procentuală între valoarea aproximativă și integrală exactă este de 0,07%.
Referințe
- Casteleiro, JM, și Gómez-Álvarez, RP (2002). Calcul integral (ed. Ilustrată). Madrid: ESIC Editorial.
- Unican. Istoria conceptului de integrală. Recuperat din: repositorio.unican.es
- UIS. Riemann însumează. Recuperat din: matematicas.uis.edu.co
- Wikipedia. Riemann suma. Recuperat din: es.wikipedia.com
- Wikipedia. Integrarea Riemann. Recuperat din: es.wikipedia.com