Pentru a afla care este suma pătratelor a două numere consecutive , se poate găsi o formulă, cu care este suficient să înlocuim numerele implicate pentru a obține rezultatul.
Această formulă poate fi găsită într-un mod general, adică poate fi folosită pentru orice pereche de numere consecutive.
Spunând „numere consecutive”, spuneți implicit că ambele numere sunt numere întregi. Și prin „pătrate” se referă la pătratul fiecărui număr.
De exemplu, dacă se iau în considerare numerele 1 și 2, pătratele lor sunt 1² = 1 și 2² = 4, prin urmare, suma pătratelor este 1 + 4 = 5.
Pe de altă parte, dacă se iau numerele 5 și 6, pătratele lor sunt 5² = 25 și 6² = 36, cu care suma pătratelor este 25 + 36 = 61.
Care este suma pătratelor a două numere consecutive?
Scopul acum este generalizarea a ceea ce s-a făcut în exemplele anterioare. Pentru a face acest lucru, este necesar să găsiți o modalitate generală de a scrie un număr întreg și numărul său consecutiv.
Dacă vă uitați la două întregi consecutive, de exemplu 1 și 2, puteți vedea că 2 pot fi scrise ca 1 + 1. De asemenea, dacă se observă numerele 23 și 24, se concluzionează că 24 pot fi scrise ca 23 + 1.
Pentru numere întregi negative, acest comportament poate fi, de asemenea, verificat. Într-adevăr, dacă sunt luate în considerare -35 și -36, se poate observa că -35 = -36 + 1.
Prin urmare, dacă se alege orice „n” întreg, atunci numărul întreg consecutiv la „n” este „n + 1”. Astfel, a fost deja stabilită o relație între două întregi consecutive.
Care este suma pătratelor?
Dat fiind două întregi consecutive "n" și "n + 1", atunci pătratele lor sunt "n²" și "(n + 1) ²". Folosind proprietățile produselor notabile, acest ultim termen poate fi scris după cum urmează:
(n + 1) ² = n² + 2 * n * 1 + 1² = n² + 2n + 1 .
În sfârșit, suma pătratelor celor două numere consecutive este dată de expresia:
n² + n² + 2n + 1 = 2n² + 2n +1 = 2n (n + 1) +1 .
Dacă formula anterioară este detaliată, se poate observa că este suficient să cunoaștem cel mai mic număr întreg "n", pentru a ști care este suma pătratelor, adică este suficient să folosim cea mai mică dintre cele două numere întregi.
O altă perspectivă a formulei obținute este: numerele alese sunt înmulțite, apoi rezultatul obținut se înmulțește cu 2 și în final se adaugă 1.
Pe de altă parte, primul supliment din partea dreaptă este un număr egal, iar adăugarea 1 va avea ca rezultat impar. Acest lucru spune că rezultatul adăugării pătratelor a două numere consecutive va fi întotdeauna un număr impar.
De asemenea, se poate remarca faptul că, deoarece se adaugă două numere pătrate, atunci acest rezultat va fi întotdeauna pozitiv.
Exemple
1.- Luați în considerare numerele întregi 1 și 2. Cel mai mic număr întreg este 1. Folosind formula anterioară, se concluzionează că suma pătratelor este: 2 * (1) * (1 + 1) +1 = 2 * 2 + 1 = 4 + 1 = 5. Ceea ce este de acord cu numărările făcute la început.
2.- Dacă se iau numerele întregi 5 și 6, atunci suma pătratelor va fi de 2 * 5 * 6 + 1 = 60 + 1 = 61, ceea ce coincide și cu rezultatul obținut la început.
3.- Dacă se aleg numerele întregi -10 și -9, atunci suma pătratelor lor este: 2 * (- 10) * (- 9) + 1 = 180 + 1 = 181.
4.- Fie numerele întregi din această oportunitate -1 și 0, atunci suma pătratelor lor este dată de 2 * (- 1) * (0) + 1 = 0 +1 = 1.
Referințe
- Bouzas, PG (2004). Algebra Liceului: Lucru de cooperare în matematică. Ediții Narcea.
- Cabello, RN (2007). Puteri și rădăcini Publică-ți cărțile.
- Cabrera, VM (1997). Calcul 4000. Editorial Progreso.
- Guevara, MH (nd). Setul de numere întregi. EUNED.
- Oteyza, E. d. (2003). Albegra. Pearson Education.
- Smith, SA (2000). Algebră. Pearson Education.
- Thomson. (2006). Trecerea GED: Matematică. Editura InterLingua.