RAȚIONAMENT ALGEBRIC (CU EXERCIȚII REZOLVATE) - MATEMATICA - 2025

Raționamentul algebrică constă , în esență , argumentul matematic comunică printr - un limbaj special, ceea ce face ca ea variabile mai riguroase și generale , folosind operații algebrice definite și reciproc. O caracteristică a matematicii este rigoarea logică și tendința abstractă folosită în argumentele sale.

Aceasta necesită cunoașterea „gramaticii” corecte pe care să o utilizați în această scriere. Mai mult, raționamentul algebric evită ambiguitățile în justificarea unui argument matematic, care este esențial pentru a dovedi orice rezultat în matematică.

Variabile algebice

O variabilă algebrică este pur și simplu o variabilă (o literă sau un simbol) care reprezintă un anumit obiect matematic.

De exemplu, literele x, y, z, sunt adesea folosite pentru a reprezenta numerele care satisfac o ecuație dată; literele p, qr, pentru a reprezenta formule propoziționale (sau literele majuscule respective pentru a reprezenta propoziții specifice); iar literele A, B, X etc., pentru a reprezenta mulțimi.

Termenul „variabilă” subliniază că obiectul în cauză nu este fixat, ci variază. Acesta este cazul unei ecuații, în care variabilele sunt utilizate pentru a determina soluții care sunt, în principiu, necunoscute.

În termeni generali, o variabilă algebrică poate fi considerată o literă care reprezintă un obiect, indiferent dacă este fixă ​​sau nu.

La fel cum variabilele algebrice sunt folosite pentru a reprezenta obiecte matematice, putem considera, de asemenea, simboluri care să reprezinte operații matematice.

De exemplu, simbolul "+" reprezintă operația "adăugare". Alte exemple sunt notările simbolice diferite ale conectivilor logici în cazul propozițiilor și seturilor.

Expresii algebrice

O expresie algebrică este o combinație de variabile algebre prin intermediul operațiilor definite anterior. Exemple în acest sens sunt operațiunile de bază de adunare, scădere, înmulțire și divizare între numere sau conectivitățile logice din propoziții și seturi.

Raționamentul algebric este responsabil de exprimarea unui raționament matematic sau a unui argument prin expresii algebice.

Această formă de exprimare ajută la simplificarea și prescurtarea scrierii, deoarece folosește notări simbolice și permite o mai bună înțelegere a raționamentului, prezentând-o într-un mod mai clar și mai precis.

Exemple

Să ne uităm la câteva exemple care arată cum se folosește raționamentul algebric. Este folosit foarte regulat pentru rezolvarea problemelor de logică și raționament, așa cum vom vedea în scurt timp.

Luați în considerare propoziția matematică binecunoscută „suma a două numere este comutativă”. Să vedem cum putem exprima această propoziție în mod algebric: date două numere „a” și „b”, ceea ce înseamnă această propoziție este faptul că a + b = b + a.

Raționamentul folosit pentru interpretarea enunțului inițial și exprimarea ei în termeni algebrici este raționamentul algebric.

Am putea menționa, de asemenea, faimoasa expresie „ordinea factorilor nu modifică produsul”, care se referă la faptul că produsul a două numere este, de asemenea, comutativ și este exprimat algebric ca axb = bxa.

În mod similar, proprietățile asociative și distributive pentru adaos și produs, în care sunt incluse scăderea și divizarea, pot fi (și sunt) exprimate algebric.

Acest tip de raționament cuprinde un limbaj foarte larg și este utilizat în multe contexte diferite. În funcție de fiecare caz, în aceste contexte este necesară recunoașterea tiparelor, interpretarea propozițiilor și generalizarea și formalizarea expresiei lor în termeni algebrici, oferind raționamente valide și secvențiale.

Exerciții rezolvate

Următoarele sunt câteva probleme de logică, pe care le vom rezolva folosind raționamentul algebric:

Primul exercițiu

Care este numărul care, scoțând jumătate din acesta, este egal cu unul?

Soluţie

Pentru a rezolva acest tip de exercițiu, este foarte util să reprezentăm valoarea pe care dorim să o determinăm cu ajutorul unei variabile. În acest caz, dorim să găsim un număr care, la preluarea a jumătății acestuia, are ca rezultat numărul unu. Să notăm prin x numărul căutat.

„A lua jumătate” dintr-un număr implică împărțirea lui la 2. Deci, cele de mai sus pot fi exprimate algebric ca x / 2 = 1, iar problema se reduce la rezolvarea unei ecuații, care în acest caz este liniară și foarte ușor de rezolvat. Rezolvând x obținem că soluția este x = 2.

În concluzie, 2 este numărul care atunci când ia jumătate este egal cu 1.

Al doilea exercițiu

Câte minute până la miezul nopții dacă acum 10 minute 5/3 din ce a mai rămas acum?

Soluţie

Să notăm prin „z” numărul de minute până la miezul nopții (se poate folosi orice altă literă). Asta înseamnă că acum sunt minute „z” până la miezul nopții. Aceasta implică faptul că acum 10 minute, „z + 10” minute lipseau pentru miezul nopții, iar acest lucru corespunde cu 5/3 din ceea ce lipsește acum; adică (5/3) z.

Apoi, problema se reduce la rezolvarea ecuației z + 10 = (5/3) z. Înmulțind ambele părți ale egalității cu 3, obținem ecuația 3z + 30 = 5z.

Acum, când grupăm variabila "z" pe o parte a egalității, obținem acea 2z = 15, ceea ce implică faptul că z = 15.

Deci sunt 15 minute până la miezul nopții.

Al treilea exercițiu

Într-un trib care practică schimbul, există aceste echivalențe:

- O suliță și un colier sunt schimbate pentru un scut.

- O suliță este echivalentă cu un cuțit și un colier.

- Se schimbă două scuturi pentru trei unități de cuțite.

Câte coliere este echivalent cu o suliță?

Soluţie

Sean:

Co = un colier

L = o suliță

E = un scut

Cu = un cuțit

Avem deci următoarele relații:

Co + L = E

L = Co + Cu

2E = 3Cu

Deci problema se reduce la rezolvarea unui sistem de ecuații. În ciuda faptului că avem mai multe necunoscute decât ecuații, acest sistem poate fi rezolvat, deoarece nu ne solicită o soluție specifică, ci una dintre variabile în funcție de alta. Ceea ce trebuie să facem este să exprimăm „Co” în termeni de „L” exclusiv.

Din a doua ecuație avem că Cu = L - Co. Înlocuind în a treia obținem că E = (3L - 3Co) / 2. În cele din urmă, substituirea primei ecuații și simplificarea acesteia se obține că 5Co = L; adică o suliță este egală cu cinci coliere.

Referințe

1. Billstein, R., Libeskind, S., & Lott, JW (2013). Matematică: o abordare de rezolvare a problemelor pentru profesorii de educație elementară. Editori López Mateos.
2. Fuentes, A. (2016). MATH DE BAZĂ. O introducere în calcul. Lulu.com.
3. García Rua, J., & Martínez Sánchez, JM (1997). Matematică de bază elementară. Ministerul Educației.
4. Rees, PK (1986). Algebră. Reverte.
5. Rock, NM (2006). Algebra I este ușor! Atât de ușor. Echipa Rock Press.
6. Smith, SA (2000). Algebră. Pearson Education.
7. Szecsei, D. (2006). Matematica de bază și prealgebră (ed. Ilustrată). Presa în carieră.