În Tipurile de integralelor pe care le găsim în calcul sunt integralele nedefinite și integralele definite. Deși integralele definite au multe mai multe aplicații decât integralele nedeterminate, este necesar să învățați mai întâi cum să rezolvați integrale nedeterminate.
Una dintre cele mai atractive aplicații ale integrelor definite este calcularea volumului unui solid de revoluție. Ambele tipuri de integrale au aceleași proprietăți ale linearității și, de asemenea, tehnicile de integrare nu depind de tipul integralei.
Solidul Revoluției
Dar, în ciuda faptului că sunt foarte similare, există o diferență principală; în primul tip de integral rezultatul este o funcție (care nu este specifică), în timp ce în al doilea tip rezultatul este un număr.
Tipuri de bază de integrale
Lumea integralelor este foarte largă, dar în cadrul ei putem distinge două tipuri de bază de integrale, care au o mare aplicabilitate în viața de zi cu zi.
1- Integrale indefinite
Dacă F '(x) = f (x) pentru toate x în domeniul lui f, spunem că F (x) este un antiderivativ, un primitiv sau o integrală a lui f (x).
Pe de altă parte, să observăm că (F (x) + C) '= F' (x) = f (x), ceea ce implică faptul că integralitatea unei funcții nu este unică, deoarece oferind valori diferite constantei C vom obține diferite antiderivatives.
Din acest motiv F (x) + C se numește Integra Indefinită a f (x) și C se numește constanta integrării și o scriem în felul următor
Integrală indefinită
După cum putem vedea, integrala nedeterminată a funcției f (x) este o familie de funcții.
De exemplu, dacă doriți să găsiți integrala nedeterminată a funcției f (x) = 3x², trebuie mai întâi să găsiți un antiderivant al lui f (x).
Este ușor de observat că F (x) = x³ este un antiderivativ, deoarece F '(x) = 3x². Prin urmare, se poate concluziona că
∫f (x) dx = ∫3x²dx = x³ + C.
2- Integrale definitive
Fie y = f (x) o funcție reală continuă pe un interval închis și fie F (x) un antideriv al lui f (x). Integrala definitivă a lui f (x) între limitele a și b se numește numărul F (b) -F (a) și se notează după cum urmează
Teorema fundamentală a calculului
Formula prezentată mai sus este mai bine cunoscută sub numele de „Teorema fundamentală a calculului”. Aici „a” se numește limita inferioară și „b” se numește limita superioară. După cum puteți vedea, integralitatea definitivă a unei funcții este un număr.
În acest caz, dacă integralul definit al lui f (x) = 3x² este calculat în interval, se va obține un număr.
Pentru a determina acest număr, alegem F (x) = x³ ca antiderivativ al lui f (x) = 3x². Apoi, calculăm F (3) -F (0) care ne dă rezultatul 27-0 = 27. În concluzie, integralitatea definitivă a f (x) pe interval este 27.
Se poate remarca faptul că dacă se alege G (x) = x3 + 3, atunci G (x) este un antideriv al lui f (x) diferit de F (x), dar acest lucru nu afectează rezultatul deoarece G (3) -G ( 0) = (27 + 3) - (3) = 27. Din acest motiv, constanta integrării nu apare în integralele definite.
Una dintre cele mai utile aplicații ale acestui tip de integrală este aceea că ne permite să calculăm aria (volumul) unei figuri plane (a unui solid de revoluție), stabilind funcții și limite adecvate de integrare (și o axă de rotație).
În cadrul integrelor definite putem găsi diverse extensii ale acesteia, cum ar fi integrale de linie, integrale de suprafață, integrale improprii, integrale multiple, printre altele, toate cu aplicații foarte utile în știință și inginerie.
Referințe
- Casteleiro, JM (2012). Este ușor de integrat? Manual de auto-studiu. Madrid: ESIC.
- Casteleiro, JM, și Gómez-Álvarez, RP (2002). Calcul integral (ed. Ilustrată). Madrid: ESIC Editorial.
- Fleming, W., & Varberg, DE (1989). Precalculus Matematica. Sala Prentice PTR.
- Fleming, W., & Varberg, DE (1989). Precalculus matematica: o abordare de rezolvare a problemelor (2, ed. Ilustrată). Michigan: Sala Prentice.
- Kishan, H. (2005). Calcul integral. Atlantic Publisher & Distributors.
- Purcell, EJ, Varberg, D., & Rigdon, SE (2007). Calcul (ediția a noua). Sala Prentice.